2026年中考数学二轮复习《实际问题与函数》知识点分类考前冲刺专题训练

**基本信息** 聚焦一次、反比例、二次函数实际应用，以问题为载体系统提炼建模方法，强化从实际情境抽象函数关系的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数|5题|待定系数法、图像信息提取、分段函数处理|从行程/收费问题抽象线性关系，应用增减性解决距离/费用问题| |反比例函数|5题|反比例关系判断、k值意义应用|结合物理情境（杠杆/药熏）建立反比例模型，通过图像分析变量关系| |二次函数|10题|顶点式求解析式、最值应用、运动轨迹分析|以利润/面积/运动问题为背景，构建二次函数模型，运用最值性质解决优化问题|

2026年春九年级数学中考二轮复习《实际问题与函数》 知识点分类考前冲刺专题训练（附答案） 一、实际问题与一次函数 1．已知甲、乙两地相距，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段、线段分别表示小宁、小波离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： (1)小宁行驶的速度为_____． (2)求小波离开甲地的路程与时间的函数表达式； (3)当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 2．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为弹簧悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． (1)图2中，点对应状态为______，点对应状态为______（前两空填图1中的图形序号），______，______； (2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数． 3．某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如表所示： 月用电量 每月用电不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时，不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时的部分 计费单价 元/千瓦时 元/千瓦时 元/千瓦时 设每月用电量为千瓦时，应交电费元． (1)当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________；当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________． (2)小新家十月份的用电量为千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费元，求他家十月份用电多少千瓦时． 4．游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下： 方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费； 方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费． 设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，其函数图象如图所示． (1)求直线的解析式； (2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义； (3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案． 5．春季的邀约，总是写在风里．本学期，昆明三中“樱为有你”活动在樱花烂漫的时节如约落幕．活动中，某班的同学们怀揣善意，以笔寄情、以墨传暖，计划购进甲、乙两种笔记本共60本进行义卖，所得善款将悉数用于公益帮扶．现将两种笔记本的进价与售价列于下表： 价格类型 进价（元/本） 售价（元/本） 甲 a 10 乙 b 20 (1)已知购进10本甲种笔记本、50本乙种笔记本共花费580元，购进20本甲种笔记本、40本乙种笔记本共花费560元．求甲、乙两种笔记本的进价分别为多少元？ (2)若设甲笔记本的数量为x本（），销售完甲、乙两种笔记本的利润为y元．已知乙笔记本的数量不能超过甲笔记本数量的2倍，为让爱心帮扶的善款更多一些，当甲笔记本购进多少本，同学们在销售完这两种笔记本后能获得利润最多？并求出最大利润． 二、实际问题与反比例函数 6．为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例．如图，这是含药量y与时间x的函数图象．现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克． 请根据题中所提供的信息，回答下列问题． (1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是__________；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是_______． (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于5毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 7．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 8．将某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图放在平面直角坐标系中（如图所示），其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一部分，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米． (1)求段所在反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)求点到轴的距离（的长）； (3)若滑梯上有一个小球距水面的高度不高于3米，求到距离的取值范围． 9．【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 10．综合与实践 素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B的左侧． 图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离． 根据以上素材解决如下问题： (1)当，时，求y（单位：）关于x（单位：）的函数解析式； (2)当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重．提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作．如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则____（填序号）是提起秤纽B时得到的图象； (3)甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重． 当时，哪个小组得到的y值误差更大？ 甲组的误差计算如下： 记为秤纽A与秤盘之间的水平距离，为秤砣磨损后的质量，与为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得： ，，所以甲组的误差为； 请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论． 三、实际问题与二次函数 11．足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米．现以球门底部点为原点，水平地面为轴建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球门米，守门员最大防守高度米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正前方移动米再射门，足球恰好从之间射进球门（不含点和），求的取值范围． 12．某水果超市销售一种苹果，这种苹果的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种苹果的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该种苹果每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示； (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式； (3)当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 13．如图，已知女排球场的长度为18米，位于球场中线处的球网的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米处的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式． (2)在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． (3)排球从C点飞出去，要想排球既能过网又不会出界，直接写出球运行的最大高度h（米）的取值范围．（排球压线属于没出界） 14．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边____米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积有最大值吗？若有，求出边的长；若没有，请说明理由． 15．某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动． 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 (1)请求出抛物线 的解析式； (2)求出圆弧 所在圆的半径； 【应用模型】 (3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 16．如图，某市在公园设计了一块花卉展览区域，该花卉区域由抛物线与抛物线围成，为隔离带，与所围区域为花卉区，在与所围区域内修建一个矩形，作为赏花打卡点，用于游客赏花，摄影等，其他区域为草坪，点，在上（点在点左侧），点，在抛物线上，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中米，抛物线的最高点到的距离为12米，与关于轴对称． (1)求抛物线的表达式； (2)若修建矩形时，要求，请问是否存在这样的矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 18．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点C以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，s的值最小． (3)计算四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 19．【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 (1)设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式： 【实践探究】 (2)在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离； 【拓展应用】 (3)为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度． 20．项目学习 【项目主题】商品销售过程中的数学问题． 【问题情境】山西非遗刀削面，是山西文化的名片，其外滑内筋俱显匠心，承载着乡愁与晋商记忆．某速食品牌企业以山西刀削面为特色，设计生产了一种速食刀削面进行销售．某校综合实践小组的同学想要了解该品牌速食刀削面的销售情况，他们对速食刀削面的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该店这种速食刀削面日销量x（单位：份）的范围是． 信息②：速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系如下表所示． 信息③：如图所示，线段，表示该速食刀削面每份的售价（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系． 日销量 100 150 200 250 每份的成本 10 9.5 9.0 8.5 【问题解决】 (1)任务一：根据收集的信息可知，该速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间是______关系（填“一次函数”、“反比例函数”、“二次函数”）．与日销量x之间的函数关系式为______． (2)任务二：求与日销量之间的函数关系式，并直接写出该速食刀削面当日销售300份时的销售利润． (3)任务三：求当日该速食刀削面销量为多少份时，日销售利润最大． 参考答案 1．（1）解：由图可得，小宁行驶的速度为， 故答案为：； （2）解：设线段的函数表达式为，把点代入，得， 解得， ∴小波离开甲地的路程与时间的函数表达式为； （3）解：设线段的函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴线段的函数表达式为， 相遇前两人恰好相距，则， 解得； 相遇后两人恰好相距，则， 解得； 当或时，都在行驶中的两人恰好相距． 2．(1)②，④，12，6 (2)弹簧测力计显示的读数是 【分析】（1）根据圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全浸入水中，拉力一直在减小，并结合图形分析即可得解； （2）利用待定系数法求出线段对应的函数关系式为，再代入计算即可得解． 【详解】（1）解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全浸入水中，拉力一直在减小， ∴点对应状态为②，点对应状态为④， ∵弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和， ∴，； （2）解：设线段对应的函数关系式为（为常数，且）， 将和分别代入 得，解得． ∴线段对应的函数关系式为， 当时，， 此时弹簧测力计显示的读数是． 3．(1)； (2)元 (3)千瓦时 【分析】本题主要考查一次函数的应用． （1）根据题意分别列出两个函数关系式即可； （2）根据题意将其代入（1）中第二个函数关系式即可； （3）根据题意得出用电量超过了千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可；理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． 【详解】（1）解：当时，与的函数关系式为； 当时，与的函数关系式为，即． 故答案为：；． （2）解：， （元） 答：他家十月份应交电费元． （3）解：当时，（元） ， 小明家十月份的用电量超过了千瓦时． 把代入中，得． 答；他家十月份用电千瓦时． 4．(1) (2)，点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，得每次游泳的原价为（元），设直线的解析式为，故．因为点为直线的交点，则，得点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元． （3）结合（2），则当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 由图可知的图象经过． 解得 ． （2）解：由可知，金卡会员每次游泳的费用为10元． 办理会员金卡后，每次游泳按原价的五折收费， 每次游泳的原价为（元） 设直线的解析式为， ． 点为直线的交点， 此时， 即． 解得． 此时． 点的坐标为． 点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元． （3）解：由（2）得游泳20次的时候，方案一与方案二的费用相同，此时选择方案一与方案二都可以； 当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠； 当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠． 5．(1)甲种笔记本进价为8元，乙种笔记本进价为10元， (2)购进甲笔记本20本时获得利润最大，最大利润为440元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，列出函数关系以及二元一次方程组． （1）根据题意，列出二元一次方程组，然后求解即可； （2）设利润为元，根据题意，列出与的函数关系，根据题意确定范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，，解得， 答：甲种笔记本进价为8元，乙种笔记本进价为10元； （2）解：由题意可得，乙种笔记本为本， 根据题意可得，，解得， 设利润为元，由题意可得，， ∵， ∴随增大而减小， 又∵ ∴当时，最大为元， 答：购进甲笔记本20本时获得利润最大，最大利润为440元． 6．(1)，，， (2)此次消毒有效，理由见详解 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用． （1）分别根据题意利用待定系数法可求得函数的解析式； （2）分别把代入两个函数解析式，从而求得时间差并进行比较． 【详解】（1）解：药物燃烧时，设函数关系式为， 将原点和分别代入得：，解得， ∴y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是， 药物燃烧后，设函数关系式为， 将代入得：，解得， ∴y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是， 故答案为：，，，． （2）解：此次消毒有效， 理由：药物燃烧时，y与x的函数关系式为， 当时，； 药物燃烧后，y与x的函数关系式为， 当时，， 而空气中每立方米的含药量不低于5毫克的持续时间为：， ∴此次消毒有效． 7．(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涵盖了反比例函数表达式求解、代入求值等知识，同时结合了物理中的杠杆平衡原理． （1）分别计算每组数据的乘积，对比发现只有第5组的乘积不等于，从而得出结论； （2）由（1）可知与成反比例关系，因此设函数表达式为，代入一组正确的数据即可求出的值； （3）已知弹簧秤的示数，将其代入已求出的函数表达式，即可解出对应的值． 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 8．(1) (2)米 (3)距离 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确求出点B坐标，得出反比例函数解析式是解题关键． （1）设段所在的反比例函数关系式为，根据、的长，得出点B坐标，代入可求出k值，根据为4米得出的长可求出x的取值范围，即可得答案； （2）把的长代入，求出的长即可得答案； （3）根据Q距水面的高度不高于3米得出，即可得出x的取值范围，进而可得出Q到的最小距离，可得答案． 【详解】（1）解：设段所在的反比例函数关系式为， ∵， ∴， 解得  . ∵出口C点到的距离为米， ∴.           ∴段所在的反比例函数关系式为； （2）解：∵，          当时，，           ∴C点到轴的距离长为米； （3）解：∵Q距水面的高度不高于米， ∴， 即， 解得  ， 又， ∴， 又所在直线为，到的距离为， 当时，距离为（米）， 当时，距离为（米）， 所以，到距离的取值范围是 到距离． 9．（1）；；（2）①见解析；②减小；（3）①见解析；②． 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，涉及根据函数关系式求值、绘制函数图象以及根据图象求解不等式的解集，用到的知识点有反比例函数的图象与性质、函数值的计算等． （1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）根据函数的表达式，通过确定两个点的坐标，然后连线画出函数的图象；根据所绘制的两个函数的图象，找出当时，函数的图象在函数的图象下方(包括相交)部分对应的的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得， 故答案为：；． （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象,如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． 故答案为：减小． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象，如图： ②由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象的下方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为， 故答案为：． 10．(1) (2)① (3)乙组的误差为；乙组的误差更大，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）根据反比例函数的性质即可解答； （3）根据题意可得乙组的误差为，再根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意，代入，得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：根据（1）可得 根据题意可得提起秤纽B时，变大，则变大， 则①是提起秤纽B时得到的图象， 故答案为：①； （3）解：记为秤纽B与秤盘之间的水平距离，与为磨损前后平衡时秤纽B与秤砣的水平距离. 依题意可得：，， 所以乙组的误差为； ∵，由反比例函数在第一象限的增减性， 可得， ∴. ∵， ∴， ∴， 即乙组的误差更大． 11．(1)抛物线的函数表达式为 (2)的取值范围为 【分析】（1）根据题意，先得出对应的顶点坐标和点坐标，由顶点式即可得出结果； （2）先得出移动后的函数表达式，由点，坐标即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可判断，抛物线顶点坐标为，， 令抛物线的函数表达式为， 将点代入 ， 得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：令移动米后得抛物线表达式为， 若恰达到点，即时，， 解得或（舍去）； 若恰达到点，即时，， 解得或（舍去）； 综上，的取值范围为． 12．(1) (2) (3)销售价为20元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【分析】（1）由图象得，y与x之间满足一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； （2）根据销售利润销售量每一件的销售利润，即可得到w和x的函数关系式； （3）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图象得，y与x之间满足一次函数关系， 设y与x之间的函数关系式为， 把，代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式为； （3）解：由（2）知， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，． ∴当销售价为20元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 13．(1) (2)球可以过网且不出界，见解析 (3) 【分析】（1）顶点坐标为，可设解析式为，再将点C坐标代入即可； （2）由解得的解析式，求得时y的值，时，y的值； （3）设解析式为，将点C坐标代入上式，再求出h的范围． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得，， 解得， ； （2）解：当时，， 当时，， ∴球可以过网且不出界； （3）解：设解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴解析式为， 由题意可知当时，， 解得， 当时， 解得， ∴． 14．(1) (2)边的长为米 (3)饲养场的面积有最大值，此时米 【分析】（1）直接根据图形计算即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积等于长乘以宽，即可列方程求解； （3）设饲养场的面积为，米，则米，由矩形的面积等于长乘以宽可得，根据二次函数的性质即可判定． 【详解】（1）解：（米）； （2）设米，则米， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，（米），，不合题意，舍去； 当时，（米），符合题意． 边的长为米； （3）饲养场的面积有最大值， 设饲养场的面积为，米，则米， 根据题意得， 整理得， ， 当时，饲养场的面积有最大值为平方米， 即饲养场的面积有最大值，此时米． 15．(1) (2)圆弧 所在圆的半径为 (3)锅盖能正常盖上 【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径； （3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上． 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴圆弧 所在圆的半径为； （3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接， 由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称， ∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴锅盖能正常盖上． 16．(1) (2)存在，点的坐标为 【分析】（1）根据题意得：点，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把代入即可求解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则点，，可得，，再根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵与关于轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，则点，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴此时点的坐标为． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：描点画图如答图所示： 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意得，对于，令， 则 解得， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）解：在中，令 则 解得（舍去）， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)， 则，即， ∴ 解得． 18．(1)秒或秒 (2)，时，的值最小 (3)，结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用及二次函数的应用， （1）设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出； （2）设运动时间为，首先表示出的面积，再利用，求出的值以及五边形最值即可； （3）根据表示出四边形面积，求出即可． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于则： ，， 所以，即， 解得：或， 即经过秒或秒，的面积等于． （2）解：根据（1）中所求出的， 整理得． 则， ∴ 当时，， 故当秒，五边形的面积最小，最小值是， （3）解：， ， ， 结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关． 19．(1) (2)该点到支架的水平距离为米或米； (3)支架的最大长度为． 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标和点D的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）利用（1）中函数解析式直接求解； （3）根据题意得出A，B两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，设，可得，利用配方法求的最大值； 【详解】（1）解：由题知，，抛物线的顶点坐标为， ， 代入点可得，，解得， ． （2）解：令，即， 解得， 答：该点到支架的水平距离为米或米； （3）解：由题知，， 当时，， ， 设直线的解析式为，代入，， 可得， 解得， 直线的解析式为， ， 设， 点F在线段上，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值1.125． 支架的最大长度为． 20．(1)一次函数； (2)，速食刀削面当日销售300份时销售利润为600元 (3)当日该速食刀削面销量为500份时，日销售利润最大 【分析】（1）根据表格数据的变化规律可判断为一次函数关系，用待定系数法即可求解析式； （2）根据图像信息，用待定系数法即可求解析式；再根据利润（售价成本）销售量计算即可； （3）设当日该速食刀削面日销售利润为元，分两种情况根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知x每增加50，减少，则与x之间是一次函数关系； 设，由题意得经过和， 则，解得， ∴； （2）解：设与之间的函数关系式为， 将，，代入，得． 解得 与之间的函数关系式为． 当时，，， 销售利润为（元）， 则速食刀削面当日销售300份时销售利润为600元． （3）解：设当日该速食刀削面日销售利润为元． 当时， ． ． ，抛物线开口向下，有最大值， 取整数， 当时，有最大值，． 当时，与之间的函数关系式为， ． ． ，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大； 当时，有最大值，． 综上所述，当日该速食刀削面销量为500份时，日销售利润最大． 答：当日该速食刀削面销量为500份时，日销售利润最大． 学科网（北京）股份有限公司 $