2026年中考数学二轮复习《二次函数综合压轴题》常考热点题型分类考前冲刺专题训练

**基本信息** 以二次函数为核心，系统整合周长、面积、角度、特殊三角形、平行四边形五大几何综合模块，通过典例提炼待定系数法、对称转化、坐标参数法等解题策略，构建“代数表达—几何性质—动态最值”的逻辑链条。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周长问题|4题|对称化折为直、二次函数最值|抛物线解析式→动点坐标表示→线段长度函数化| |面积问题|4题|割补法、铅垂高法|面积比转化→坐标参数表示面积→二次函数求最值| |角度问题|4题|相似三角形、三角函数|角度关系转化→构造直角三角形或相似→方程求解| |特殊三角形|4题|几何性质列方程、分类讨论|等腰/直角三角形判定→边长关系坐标化→解方程| |平行四边形|4题|中点坐标公式、对边平行|平行四边形性质→顶点坐标关系→参数求解|

2026年春九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》 常考热点题型分类考前冲刺专题训练（附答案） 一、二次函数与周长问题综合 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 2．如图1，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的拋物线上，连接，交直线于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求的最大值； (3)当时，点坐标为____________； (4)如图2，为直线上的一点，且，当的周长最小时，点坐标为_________． 3．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 y轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点 M是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 M的坐标； (3)在（2）的条件下，点 N是抛物线上一点，且的面积是 面积的 2 倍，求点 N的坐标． 4．如图，抛物线与轴的负半轴交于点，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在抛物线上，并直接写出取何值时，； (3)设抛物线分别交轴、轴正半轴于点、，点为直线上方抛物线上一点，轴交于点，轴交轴于，以，为邻边作矩形，求矩形周长的最大值． 二、二次函数与面积问题综合 5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线l过点，且垂直于y轴．过点B的直线交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当时，求点N的坐标； (3)如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线下方的抛物线上一动点，连接，其中交于点E，设的面积为，的面积为，求的最小值． 6．如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出、、的坐标及抛物线的对称轴； (2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由： (3)如图2，点是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点，和的面积差为，当的值最大时求点的坐标和直线的解析式． 8．如图（1），已知抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，与轴交于点，且． (1)请直接写出：抛物线的解析式为 ； (2)点在第四象限内的抛物线上，连接交轴于点，在点右侧的轴上取点，且，过点作轴交于点，连接，若四边形的面积为，求点的坐标； (3)如图（2），过点的直线交抛物线于另一点，为第二象限内的一个定点，过点任作直线交抛物线于、两个不同点(点在第四象限内)，若在直线的变化过程中，射线始终平分，求定点的坐标． 三、二次函数与角度问题综合 9．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 10．如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． (2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (3)当时，求点M的坐标 11．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 12．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 四、二次函数与特殊三角形综合 13．如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线与轴的负半轴的交点为，过点作直线交轴交于点，点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第三象限），当且时，求出点及点的坐标． 14．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图（1），抛物线与轴交于，两点，与轴交于，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点，点的坐标； (2)连接，在上方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在，求面积的最大值，若不存在请说明理由； (3)直线交抛物线于点，（点在点的右边），交直线于点，若，求的值； (4)如图（2），点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是直角三角形时，的值为______． 16．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 五、二次函数与平行四边形综合 17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点P为直线上方抛物线上的一点（不与B、C重合），连接，若点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，的面积最大，并求出最大值； (3)当时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点M作x轴的垂线交直线于点N．为等腰直角三角形，则m的值为 ； (4)抛物线的对称轴上有两点E、F，且满足四边形是平行四边形，连接的最小值为 ． 18．已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 19．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，连接，． (1)求直线的解析式； (2)过点作直线轴，分别交抛物线于，两点（点在点的左侧），连接，在直线上找一点，若在轴右侧且满足，求点坐标； (3)若为抛物线图象上一点，在抛物线的对称轴上，是否存在一点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，直线过点B，C． 以下对于此母题，设计若干常见问题，并进行分析． (1)求抛物线与直线的函数表达式． (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围． (3)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． (4)若点D为直线下方抛物线上一动点，当点D运动到某一位置时，的面积有最大值，求的最大面积及此时点D的坐标． (5)将直线向下平移k个单位长度后与抛物线只有一个公共点，求k的值和这个公共点的坐标． (6)将原抛物线沿x轴翻折后，再向右平移2个单位长度，得到新抛物线，请直接写出新抛物线的解析式． (7)①在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求出此时点P的坐标及的最小值； ②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，求出此时点Q的坐标． (8)若N为x轴上的一个动点，M为抛物线上的一个动点，使B，C，N，M四点构成平行四边形，求出点N的坐标． 参考答案 1．（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， 设抛物线解析式为， 代入得， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， 令，则，即， ∴设直线的解析式为， ∵，则， 解得， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， ∵、关于对称轴对称， ， ∴的周长． 当B、M、C三点共线时，最小，此时的周长最小，直线与对称轴的交点为M， 把代入得， ∴． 2．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，求得抛物线与x轴的交点坐标，从而可得，作轴，交于点F，证明，可得，即可知当最大时，的值最大，利用待定系数法求直线的解析式，设、，求得，即可得出当时，取最大值，从而求得结果； （3）作关于的对称点，连接,则,，证明得出,根据题意得出在上，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （4）过点作，且得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，作关于的对称点，连接，，则，同理可得，设直线，交于点，根据题意可得，即重合时，的周长最小，设的上方上一点，且得，进而确定点的位置，当与点重合时，满足题意，则在直线上，求得直线的解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴把点、代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵时，，解得：，， ∴， ∴， 如图，作轴，交于点F， ∵轴， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， ∴当最大时，的值最大， 设直线的解析式为：， ∵点，在直线上， 把点，代入可得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为：，则点F的坐标为：， ∴， ∴当时，取最大值， ∴的最大值为； （3）解：如图，作关于的对称点，连接,则,， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵，则， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在上， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点坐标为； （4）解：∵直线的解析式为：， 过点作，且 则直线的解析式为 设， ∴，解得 ∴点 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于的对称点，连接，，则， 则， ∴的周长为 ∴当在上时，的周长最小 设直线，交于点，即重合时，的周长最小 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式 联立 解得： ∴ ∵直线的解析式为：， 设的上方上一点，且， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴当与点重合时，满足题意，则在直线上 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数图象与x轴交点坐标、相似三角形的判定与性质、二次函数最值，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数与面积问题综合、线段最值问题综合，涉及待定系数法求解函数解析式等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）点A关于直线 l的对称点为点B，则，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求，而为定值，，故当取得最小值时，的周长取得最小值，因此当点共线时，，此时的周长取得最小值，然后求出直线表达式，即可求解点坐标； （3）先求出，由的面积是 面积的 2 倍，得到，设，则，再解方程求解坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 两点， ∴ 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线，， ∵点A关于直线 l的对称点为点B， ∴ 连接交函数对称轴于点M，则点M为所求， ∵为定值，， ∴当取得最小值时，的周长取得最小值， ∴当点共线时，，此时的周长取得最小值， 设直线 将点、的坐标代入一次函数表达式： 得 解得： 直线的表达式为：， 当时，， 故点； （3）解：如图， ， ∵的面积是 面积的 2 倍， ∴， 设， 则， ∴， ∴或 解得或， ∴或或或 4．(1) (2)当时， (3)矩形周长的最大值是8 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）先求出点A的坐标，然后把A的坐标代入（1）所求解析式验证即可，然后根据，得出关于x的不等式，再解不等式即可； （3）设点，且，先求出直线的解析式为：，则点，，，设矩形的周长为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的开口向下，顶点坐标为，而是由抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的， ，即； （2）解：点在抛物线上 当时，， 点在轴负半轴， 点 将代入中，得 说明点在抛物线上． 当时 ，则 当时，； （3）解：如图，设点，且 由（1）得 而当时，；当时，，解得， 点，点， 设直线的解析式为： 将点，点的坐标代入得 解得：， 的解析式为： 轴 点 ， 设矩形的周长为， 则 ， 抛物线开口向下， 又 当时，有最大值8， 即矩形周长的最大值是8． 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作对称轴的垂线，根据已知条件得出 ，进而列出方程，解方程，即可求解； （3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出 ，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴过点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为， 设，则， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：或， ∵其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧． ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； （3）解：依题意，点恰好在轴上，则， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，设直线的解析式为， 则， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴ ， 和以为公共底边， 这两个三角形的面积比等于点和点到直线的水平距离之比． ∴， 设，对其配方： 由题意，点在直线下方的抛物线上，且在对称轴右侧， ． 在时，随的增大而增大， ，分子为定值， 越大，越小． 当取最大值时， 的最小值为1． 6．(1) (2) (3)存在，最大值为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 7．(1)，，，对称轴为直线； (2)存在，的坐标为或； (3)，直线的解析式为 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据函数图象点的坐标特点分别求解即可； （2）设，的中点，，根据，求出M点坐标即可； （3）由题意可知和的面积差为S，设点P的坐标为，则，当时，S有最大值为，此时，再求直线的解析式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得或， ∴，； ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：存在点M，使，理由如下： 设， ∵，， ∴的中点，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：∵和的面积差为S， ∴和的面积差为S， 设点P的坐标为， ∴的面积，的面积， ∴， 当时，S有最大值为，此时， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． 8．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求抛物线与轴交点的坐标，结合确定点坐标，代入抛物线解析式求出参数，即可得到抛物线解析式． （2）先求出抛物线与轴的交点的坐标，设出点坐标，用待定系数法求出直线的解析式，得到点坐标；利用等腰三角形三线合一的性质求出点坐标，进而求出直线的解析式，得到点坐标；最后根据直角梯形的面积公式列方程，求解得到点的横坐标，进而确定点坐标． （3）先联立直线与抛物线的解析式，求出点坐标；通过作辅助线构造相似三角形，利用角平分线的性质得到角相等，证明三角形相似，得到、横坐标的数量关系；再联立直线与抛物线的解析式，结合韦达定理得到直线的解析式，最终确定直线恒过的定点的坐标． 【详解】（1）解：令，得， ∴，即， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， ∴， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线解析式，令，得， 解得，， ∴，， 过点作轴于点，设， 设直线的解析式为，将、代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将、代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴， ∵四边形为直角梯形，，，， ∴， ∵，，， ∴， 解得，， 当时，，即， 当时，，即， ∴点坐标为或； （3）解：联立，得， 解得，， 当时，，与点重合，舍去， 当时，， ∴， 过点作轴，轴，过点作于，过点作于， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴，， ，， ∴， 化简得， 整理得，即， 设直线的解析式为，联立， 得， 由韦达定理得，， ∴，得， 整理得， ∴直线的解析式为， 当时，，与的取值无关， ∴直线必过定点，即定点的坐标为． 9．(1) (2)①或；② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键． （1）运用待定系数法直接解答即可； （2）①过点作轴于，利用可知是等腰直角三角形，即．设，分在轴上方和下方两种情况，分别列方程求解，得到点坐标；②作轴，垂足为．由题意可得，证明，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解： 经过点、两点， ， 解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①    过点作轴于点，则． ∵， ∴是等腰直角三角形，． 设，则，． 当在轴上方时，，即， 解得或（与点重合，舍去）． 此时， ∴． 当在轴下方时，，即， 解得或（舍去）． 此时， ∴． ②作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，经检验符合题意； 10．(1)抛物线的解析式为：；直线的解析式为： (2)见解析 (3)M的坐标为或 【分析】（1）利用两点式求抛物线的表达式，进而得出直线的解析式； （2）先用表示出，再利用配方法求出最值； （3）分M在直线下方，M在直线上方两种情况讨论，分别求出M点的坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， ∴抛物线的解析式为：， 直线的解析式为：； （2） ∵， ∴当时取得最大值2； （3）①当M在直线下方时， 作点A关于y轴的对称点D， 由对称可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M在直线上， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，得， ∴； ②当M在直线上方时， 作点D关于直线的对称点， ∴， ∴， ，(由①得)，， ∴， ∴点M在直线上， 设直线的解析式为：， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，解得， ∴， 综上所述M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，的最值，角度问题(二次函数综合)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 11．(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当，可导角得到，由（1）可得点A坐标由勾股定理得即可求解； （3）过点P作轴垂线交直线于点E得将转化为，再利用二次函数的性质求解最值，即可求解取值范围 【详解】（1）解：将，两点代入得 ， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：存在， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 设点Q坐标为， 由（1）可知：，， ， ， ， 解得：， 故Q点的坐标为； （3）解：过点P作轴垂线交直线于点E如图： 设直线的解析式为：， 将代入得， ， 解得：， 直线的解析式为： 设点P的坐标为， ， ∴， 解得， 则E的坐标为， ∴， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 当或时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型． 12．(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中，求得a的值，即可求得解析式； （2）过点D作轴交于点E，交于点G，过点D作于F，由B、C的坐标知是等腰直角三角形，则，求出直线的解析式，则可得直线的解析式：设，则可得点E的坐标，求得的最大值，即可求得点D的坐标； （3）分两种情况考虑：在直线的下方；在直线的上方；分别求出直线的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，可得： 解得， 把代入， 得到抛物线的函数表达式为． （2）解：存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大； 如图1，过点作轴交于点，交于点，过点作于； 令，解得：，； 令，则， ， ， ， .， ， ∴，， ， 即是等腰直角三角形，则； 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为； 直线向下平移个单位长度得直线， 直线的解析式为； 设，则的坐标为， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值，的最大值为， 此时点的坐标为； 存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大． （3）解：①当在直线的下方时，如图2， 在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 设直线解析式为，则有， ∴直线解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式得， 解得，，舍去， ∴； ②在直线的上方时，如图3， 作点关于直线的对称点，连接，直线交抛物线于点， 由对称得：，，， ， 设直线的解析式为，则有， ∴， 直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，解得，舍去， ． 综上,满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，直线的平移，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是注意分类讨论，作出图像，防止漏解． 13．(1) (2)或 (3)， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的结合，利用等腰三角形的性质求点的坐标，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，列一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法先确定一次函数的解析式，通过一次函数解析式确定点的坐标，然后将顶点坐标代入到顶点式中求解即可； （2）设点，利用等腰三角形的性质，列出，然后进行求解即可； （3）根据题意画出图形，作于，作于，作于，在上截取，根据函数解析式求出相关点的坐标，设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出一元二次方程，最后求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 过， ， ， 抛物线的解析式为：，即； （2）解：设点， 是以为底边的等腰三角形, ∴， 化简，得，， ， 当时，， 当时，，` 或 （3）解：作于，作于，作于，在上截取， ， 由得，， 当二次函数解析式，函数值为0时，， 解得， ∴， 设， ， ， ， ∵, ∴ ， ， ， 由，，得，, ， ， ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得，（舍去），， ，，，， ，． 14．(1) (2)①，最大值为；②存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，掌握二次函数的性质，等腰直角三角形是解题的关键． （1）由抛物线过点，，可直接得出抛物线的表达式为，展开即可得出结论． （2）①过点作轴，交线段于点，则，根据二次函数的性质可得结论； ②由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表示及，可求出的值，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，点， 抛物线的表达式为； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ， 直线的表达式为， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设， ①如图，过点作轴的垂线，交线段于点，则， 当时，即，的值取最大，最大值为 ②存在， 由题意可知， 若是等腰直角三角形，则， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设，， ， 轴， ， ， ， 解得 舍去或或或 舍去， 当是等腰直角三角形时，点的坐标为或． 15．(1)，点，点 (2)存在，最大值为 (3)的值为或 (4)或或 【分析】本题考查了二次函数、一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，二次函数与线段（转化），分类讨论是解题的关键 （1）由顶点可知对称轴为直线，根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入，可得，故抛物线的解析式为，点，点； （2）先求直线的表达式为，作轴交于点，设，，故，，即当时，最大为 1 ，此时； （3）设对称轴直线交于点，如图 1 所示，先求出直线的解析式为，则，分时和时分别表示出点的坐标，代入二次函数解析式后，从而实现求解； （4）设，则，，再根据每个顶点处都可能出现直角分 3 种讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由顶点可知对称轴为直线， 又由抛物线与轴交于， 故根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入， 可得4＝－4a，解得a＝－1， 故抛物线的解析式为，点，点； （2）解：存在点满足条件，理由如下： ， ∴由待定系数法可知直线的表达式为， 作轴交于点， 设， 故， ， 当时，最大为 1 ，此时； （3）解：设对称轴直线交于点，如图所示， 由待定系数法可知直线的解析式为，则， 当时，由，可知， ∴，则， 故，再将点坐标代入中，得，解得或（舍去）； 当时，如图 所示， ， ， ，， ，把点坐标代入中， 得，解得或（舍去） 综上，的值为或； （4）解：设，，， 则，，， 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得， 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 16．(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为，得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式，根据重合后的抛物线的顶点为，求出，，即可得平移前的抛物线的解析式为，将点代入求出即可解答． （2）①根据题意得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为，将代入解析式即可求解． ②根据是等边三角形，得出，则，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式， ∵重合后的抛物线的顶点为， ∴，， ∴，， ∴平移前的抛物线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 故平移前的抛物线的解析式为． （2）解：①平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，， 则． ②∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（负值舍）． 17．(1) (2)当时， (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与特殊三角形、平行四边形的存在性问题，与面积的综合问题，以及涉及线段周长最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，先求出直线，设，则，则，由建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）由题意得，，当为等腰直角三角形时，只能是，设，表示出，，再建立方程求解； （4）过点作y轴的对称点，连接，则，那么，故当点三点关系时，取得最小值即为，由平行四边形得到，求出，再由勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点， 对于， 当， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴当时，； （3）解：如图， 由题意得，， ∴当为等腰直角三角形时，只能是， 设 对于，对称轴为直线， ∴， ∴ 将代入，则， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍）， 故答案为：； （4）解：过点作y轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为的长， ∵平行四边形 ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 18．(1) (2)当时，取最大值，此时 (3)N点横坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据交点式求函数的解析式即可； （2）延长交x轴于点F，可推导出是等腰直角三角形，则的周长，当最大时，的周长取最大值，设，则，，当时，取最大值，此时D点坐标为； （3）设，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为． 【详解】（1）解：∵与x轴交于点两点， ∴； （2）解：延长交x轴于点F， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得-， ∴N点横坐标为； 综上所述：N点横坐标为或或． 19．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求出A、B、C的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）过D作轴交于E，根据割补法求出，过P作轴，交直线于F，设，根据待定系数法求出直线解析式为，则，根据割补法求出，结合，可得出关于p的方程，然后解方程即可； （3）分三种情况讨论：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线， 过D作轴交于E， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过P作轴，交直线于F，设， ， 同理可求直线解析式为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设，， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴； ③以、为对角线， 则， 解得， ∴， 综上所述，当N的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 20．(1)，； (2)或； (3)； (4)，； (5)，； (6)； (7)①，；② (8)或或或 【分析】（1）根据，得到，，交点式求出抛物线的解析式，进而求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式； （2）直接根据图象法，求出不等式的解集即可； （3）设，根据两点间距离公式结合勾股定理进行求解即可； （4）作轴交于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （5）根据平移，求出平移后的直线的解析式，根据直线与抛物线只有一个交点，得到对应的一元二次方程有2个相等的实数根，得到，进行求解即可； （6）根据翻折的性质，以及平移规则进行求解即可； （7）①根据两点之间线段最短，得到当在线段上时，的值最小，为的值，进行求解即可；②根据，得到当点在直线上时，，进行求解即可； （8）设，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴抛物线的解析式为：， ∴当时，， ∴， 把，代入，得 ，解得， ∴； （2）解：由图象可知：的解集为或； （3）解：设， ∵， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； ∴，即； （4）解：作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大为；此时； （5）解：由题意，平移后的解析式为， 令，整理，得， ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点， ∴，解得， ∴，解得， 当时，， ∴这个公共点的坐标为 （6）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线沿轴翻折后的抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∴再向右平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为； （7）解：①由两点之间线段最短，可知，当点在线段上时，的值最小为的长， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴，此时； ②∵， ∴， 同（1）法可得直线的解析式为， ∵， ∴当点在直线上时，，值最大为， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴； （8）解：，设， 当点组成平行四边形时，分3种情况： ①当为对角线时，则，解得或（舍去）； ∴； ②当为对角线时，则，解得或； ∴或； ③当为对角线时，则，解得或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $