专项攻略五 函数的实际应用问题-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

中考冲刺数学 专项攻略五 函数的实际应用问题(10年8考) 类型1行程、工程问题 2.(2024河北石家庄摸拟)如图，在一条笔直 1.在救灾期间，甲市派一辆货车将蔬菜运往 的公路上依次有A,B,C三个汽车站，它们 240km远的乙市，途中因故障停留一段时 之间依次相距60km,400km,甲、乙两辆汽 间，之后降速16km/h行驶.一辆轿车沿同 车分别在A站和B站，两车同时向终点站C 一条公路从乙市前往甲市，到达甲市停留半 出发，甲、乙两车的速度之和为140km/h, 小时后，原路原速返回.如图是两车距各自 它们与A站的距离分别为y甲，yz,设两车 出发地的路程y(单位：km)与货车出发的时 运动的时间为xh. 间x(单位：h)之间的函数图象，结合图象回 (1)若甲车的速度为80km/h, 答下列问题： ①分别求y甲，yz与x之间的函数解析式； (1)图中m的值是 ,n的值是 ②x为何值时，两车相距10km? 轿车的速度是 km/h; (2)若甲车的速度为akm/h,甲车在终点站 (2)求货车从甲市前往乙市的过程中，货车 C处恰好追上乙车，求a的值 距出发地的路程y(单位：km)与出发时间 A B C x(单位：h)之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距 21km. ←y/km 240 165 AB G 00.5 2.5n m x/h 190 第二部分河北中考·专项攻略 中考冲刺数学 3.(2025天津)已知小华的家、书店、公园依次 类型2消费问题 在同一条直线上，书店离家0.6km,公园离 4.(2025河北邯郸二摸)一文具店购进甲、乙 家1.8km.小华从家出发，先匀速步行了 两种品牌的书包共80个，其进价与售价情 6min到书店，在书店停留了12min,之后匀 况如表所示： 速步行了12min到公园，在公园停留 甲品牌 乙品牌 25min后，再用15min匀速跑步返回家.下 进价/（元/件） 60 56 面图中x表示时间，y表示离家的距离.图 售价/（元/件）】 80 72 象反映了这个过程中小华离家的距离与时 间之间的对应关系 设购进甲品牌书包x个，销售完这80个书 包所获得的总利润是y元. y/km 1.8 (1)求y与x的函数解析式； 0.6 (2)该文具店是否会获得利润1406元？说 061830 55 70 x/min 明理由； 请根据相关信息，回答下列问题： (3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超 (1)①填表： 过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方 小华离开家的时 案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 6 18 50 间/min 小华离家的距 0.6 离/km ②填空：小华从公园返回家的速度为 km/min; ③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的 距离y关于时间x的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小 华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接 到公园，在从家到公园的过程中，对于同一 个x的值，小华离家的距离为y1,小华的妈 妈离家的距离为y2,当y<y2时，求x的取 值范围（直接写出结果即可） 191 中考冲刺数学 5.(2025四川南充)学校计划租用客车送师生 类型3实物模型问题 到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国 6.(2025新疆)天山胜利隧道预计于2025年建 有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成 成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧 相关问题. 道，能大大提升区域交通效率，促进经济发 租车公司有A,B两种型号的客车可供租 展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作 用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车 是抛物线的一部分.若隧道底部宽12m,高 比每辆B型客车多载客15人；用A型客 8m,按照如图所示的方式建立平面直角坐 车载客600人与用B型客车载客450人 标系。 的车辆数相同. (1)求抛物线的函数解析式； A型客车租车费用为3200元/辆；B型客 (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶 车租车费用为3000元/辆. 部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 料 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用 0.5m,当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿 (3200-50m)元/辆；租用B型客车，租车 中心线两侧行驶，且两车至少间隔2m(中 费用打八折. 心线宽度不计).若宽3m,高3.5m的两辆 租车公司最多提供8辆A型客车； 车并排行驶，能否安全通过？请说明理由. 料 学校参加研学活动师生共有530人，租用 A,B两种型号客车共10辆. P (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是 甲 车 车 多少？ 12 (2)本次研学活动学校的最少租车费用是 多少？ 192 第二部分河北中考·专项攻略 中考冲刺数学 7.(2025山西)综合与实践 AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作 蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面 抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特 起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队 征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起 人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人 跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶 从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物. 段的运动路线相吻合， 请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳， 不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运 并落在水平地面上，其运动路线的最高点距 动路线在同一竖直平面内)， 地面60cm,起跳点与落地点的距离为 160cm. 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动 路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为 直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳 点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在 直线为x轴，过点O与OM所在水平地面 垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 y/cm 1 0 M O x/cm 图1 图2 (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物 线的函数解析式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动 路线形状保持不变，即抛物线的形状不变. (2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方 的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为 (0,75),点Q在x轴的正半轴上.求起跳点 P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物 时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上 的距离不少于3cm,才能安全通过.如图2， 水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边 形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90°， 193专项攻略五函数的实际应用问题 1.解：(1)53.5120[解析]对于轿车，DE段：路程为 240km,时间为2.5-0.5=2(h), 轿车的達度为2塑0-120(km/).。 ,原路原速返回，返回所需时间与前往时DE段的时间 相同，均为2h. 又到达甲市停留半小时，∴.m=0.5十2十0.5十2=5. 对于货车，OA段：路程为165km,时间为2.5h,则货车速 度2=6(km/M, BC段：路程为240-165=75(km),速度为66一 16=50(km/h), 则时间为75÷50=1.5(h),∴.n=m-1.5=3.5. (2)OA段：当0≤x<2.5时， 设直线OA的解析式为y=k1x(k1≠0)， 将A(2.5,165)代入得165=2.5k1,解得k1=66, 则直线OA的解析式为y=66x(0≤x<2.5); AB段：当2.5≤x<3.5时，解析式为y=165； BC段：当3.5≤x≤5时， 设直线BC的解析式为y=k2x十b(k2≠0)， 将B(3.5,165),C(5,240)代入，得 165=3.5k2+b, 解得 /k2=50, 240=5k2+b, 1b=-10, 则直线BC的解析式为y=50x一10， .货车距出发地的路程y(单位：km)与出发时间（单位：h) 之间的函数解析式为 66.x(0≤x<2.5), y=165(2.5≤x<3.5), (50x-10(3.5≤x≤5). (31h或器h或号h捉示：设桥车出发：h后与货车相 距21km, ①轿车到达甲市前， 相遇前：66(t十0.5)十120t=240-21,解得t=1, 相道后：6(+0.5)+120：=240+21，解得：器 ②轿车返回乙市时， 相遇前：货车停留时：165一21=120(t一3)， 解得4=器， 货车重新行驶后： 165+50(t+0.5-3.5)-21=120(t-3), 解得1=絮>5（合去）： 相遇后：165十50(t+0.5-3.5)+21=120(t-3), 解得4=>5（合去）： 综上，与货车相距21km是轿车出发1h或h或号h. 31 2.解：(1)①根据题意，得乙车的速度为140-80=60(km/h), 则y=80x,yz=60x十60， y甲与x之间的函数解析式为y甲=80x,y2与x之间的 函数解析式为y乙=60x十60； ②根据题意，得|80x一(60x十60)=10， 解得x=号或x=子， 7 当x=号或x=子时，两车相距10km (2)根据题意，得乙车的速度为(140一a)km/h. 根据甲、乙两车到达终，点站C所用时间相等，得400十60 a 400 140- a解得a=3220, 43 经检验，a=3220是所列分式方程的根，且特合题意， 43 a的值是3220 431 3.解：(1)①小华在最初的6min内的速度为0.6÷6= 0.1(km/min), 当x=1时，y=0.1×1=0.1, 当x=18时，y=0.6,当x=50时，y=1.8. ②0.12 ③当0≤x≤6时，y=0.1x,当6<x≤18，y=0.6, 当18<x≤30时，小华的速度为(1.8一0.6)÷12= 0.1(km/min),则y=0.6+0.1(x-18)=0.1x-1.2, 当0≤x≤30时，写出小华离家的距离y关于时间x的 0.1x(0≤x6), 函数解析式y=0.6(6<x≤18)， (0.1x-1.2(18<x≤30). (2)12<x<24.提示：妈妈从家到公园所用时间为1.8÷ 0.05=36(min),则小华的妈妈离家的距离为y2与x之间 的函数图象如图所示： y/km 1.8 0.6- 0618303655 70 x/min 2与x之间的函数解析式为y2=0.05x(0≤x≤36)， 当6≤x≤18时，当y1=y2时，得0.05x=0.6, 解得x=12, 当18<x≤30时，当y1=2时，得0.1x-1.2=0.05x, 解得x=24, 由图象可知，当<y时，x的取值范围为12<x<24. 4.解：(1)y=(80-60)x+(72-56)(80-x)=4x+1280, .y=4x+1280. (2)该文具店不会获得利润1406元.理由如下： 当x=1406时，得4x十1280=1406， 解得x=31.5. x应为整数，∴.该文具店不会获得利润1406元. (3)由条件可得≤分(80-.∴<9 在y=4x+1280中，y随x的增大而增大， x为整数， .当x=26时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元. 5.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆 载客量为(x一15)人， 根据题意，得600=450 xx-15,解得x=60, 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意， .x-15=60-15=45(人). 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为 45人. (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10一m)辆， 根据题意，得60m+45(10一m)≥530， 解得m>≥9， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w=(3200 50m)m+3000×0.8(10-m)=一50m2+800m十24000， 800 “抛物线的对称轴为直线m=一2X二50=8， ∴.m≤8时，w随着m的增大而增大. m取正整数，且m≥， .当m=6时，0取得最小值，最小值为一50×62十800× 6+24000=27000(元). 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 6解：1)由题意得，预点为（号8），即(6,8。 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0)， 代入，点(12,0)，得a(12-6)2+8=0, 解得a=一9， 2 抛物线的每折式为y=一号（红一6+80≤<12)。 (2)能安全通过，理由如下： 如图， 甲 A车 -12 由题意，得-号-号-3=2。 将x=2代入y=一 (x-6+8, 得y=-号×2-6加+8=智. 9-3.5=8>0.5 能安全通过. 7.解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵 坐标为60，.顶点坐标为(80,60). 设抛物线的函数解析式为y=a(x一80)2+60(a≠0)， 图象过原点， a(0-80)2+60=0,解得a=一320' 3 ÷y=品（x-80)2+60. (2)抛物线的形状不变，点(0,75)， 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75 个单位长度得到的， 新的鹅物线的解桥式为y=一写品（红一80)十60+75 -30(x-80)+135, 当y=0时，品高x-802+135=0, 解得x1=200,x2=一40（舍去）， 故起跳点P与落地，点Q的水平距离OQ的长为200cm. (3)6cm.提示：设该平台的高度为kcm,由题意，设新的函 数解新式为y=一高x一80)P+60十， .'AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm,仿青蛙机器人从 距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线 经过点(80十40,48十3)，即(120,51)， 3 把(128,51)代入y=320x-802+60+, 得51=一写品0（120-80)+60+，解得=6， 故该平台的高度为6cm. 专项攻略六三角形、四边形实践探究 1.解：(1)：在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB, .∠BAC=∠ABC=45. :在△CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°， .∠CDE=60, ∴.∠AFD=∠CDE-∠A=60°-45°=15°. 在R△ABC中，AC=AB·sin∠ABC=12X5=6V2(cm, 2 在R△CDE中，CD=CE,anBE=12x9=45(cm, .AD=AC-CD=(6√2-4√3)cm. (2)①如图，过，点C作CG⊥DE,垂足为G. B A 在△CDG中，∠CGD=90°，∠CDE=60°，CD=4√3cm, ∴.DG=CD·cos∠CDE=2V3cm,CG=CD·sin∠CDE= 6 cm.