精品解析：辽宁沈阳市第二十中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度（下）沈阳市第二十中学期中考试 高一年级数学试卷 命题人：王灿文 校对人：罗兰 考试时间：120分钟 分数：150分 试卷共两部分：第一部分选择题（1-1-11题共58分）；第二部分非选择题（12-19题共92分） 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题所给选项中有且只有一个正确选项） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 2. 若向量，满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件求出，，，再利用向量的模的公式求解即可 . 【详解】由得，， 由得，，即，所以. 又，所以，即，所以. 所以. 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式建立已知角与待求式中角的关系，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式计算即可． 【详解】由，得， 又，所以， 所以， ， 所以． 4. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式，结合同角三角函数商数关系即可求解. 【详解】因为，由正弦定理化边为角可得， 因为， 所以， 整理可得，所以，即，所以. 5. 已知，若恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若恒成立，即，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，求出，此时，则，由诱导公式即可得出答案. 【详解】， 其中，，所以当时，. 若恒成立，则， 此时，则，即， . 故选：A. 6. 已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取， 因为与的夹角不超过， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是， 故选：A 7. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数在上递减 【答案】C 【解析】 【分析】先对原函数化简，得到新函数.对A，取特殊值代入计算即可；对B、C，为开口向下的二次函数，最小值在端点处取得，最大值在对称轴处取得；对D，根据复合函数单调性的性质分析即可. 【详解】设，则 ，即，且 . 于是函数可转化为 选项A，取， ； ,故不是周期，A错误. 选项B，函数开口向下，对称轴为. 在区间上，最小值出现在端点： 时， 时， 故最小值为，不是，B错误. 选项C，函数在对称轴处取得最大值： 且 ，故最大值为，C正确. 选项D，在区间 内， ，故 ， ，在 时， ， 因为在 上单调递减，故 在 上单调递减. 而在 上单调递减. 在时，；在时，， 由同增异减可得在 上单调递增，D错误 8. 已知函数将函数图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍得到，若在区间上恰有个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用正弦函数的零点为以及自变量的取值范围即可求解. 【详解】因， 将其图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得到， 则，由，可得， 因为在区间上恰有个零点， 令，即，则，其中，因， ①使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，解得； ②使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，解得； ③使得的的取值是和时，即需使和在区间内，但和不在此区间内， 则有，无解； 同理，使得的的取值是和时，其中，同样无解， 综上所述，的取值范围为. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题所给的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为， B. 函数的值域为 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的单调递减区间是， 【答案】BD 【解析】 【分析】先化简函数解析式，然后根据正切函数的定义域、值域、周期和单调性逐项计算判断即可. 【详解】易知. 对于A项， 由题意得则定义域为且且，A项错误； 对于B项，的值域为，B项正确； 对于C项，因为没有意义，所以最小正周期不是，C项错误； 对于D项，由函数图象可知的单调递减区间是，D项正确. 故选：BD. 10. 如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；对C，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据条件可得，即可求解；对D，利用C中结果，可得，由三角函数的性质，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知， 所以 ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，由C知，， 则，又， 则，整理得到， 所以， 当时，取到最大值，最大值为，故D正确. 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 在中，，，若三角形有唯一解，则或 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据数量积公式，可得，分析可判断A的正误；对B，根据条件，借助图形得到或，即可判断B的正误；对C，根据同角三角函数的关系及正弦、余弦定理，可得，即可判断C的正误；对D，根据诱导公式、同角三角函数的关系，可得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】对于A，由向量数量积的定义得， 则，即A为锐角，但不确定B，C是否是锐角， 所以不一定是锐角三角形，故A错误. 对于B，如图，过C作所在直线于，则， 又，且三角形有唯一解，则或，即或，所以B正确， 对于C，因为，所以， 得到， 由正弦定理，得，即. 由余弦定理，得，则为钝角三角形，故C正确. 对于D，因为， 又，则， 所以，所以. 因为为锐角三角形，所以，所以. 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行化简，由此可求结果. 【详解】原式， 故答案为：. 13. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝，c＝2，D为BC中点，cosB＝，求AD的长度为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式求得的值，利用正弦定理求得边的值，进而由余弦定理求得. 【详解】解：因为cosB＝， 所以sinB＝， sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝， 由正弦定理得， 所以a＝2， 因为D为BC的中点，BD＝， △ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB＝26， 所以AD＝． 故答案为：． 14. 已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论： ①； ②集合的元素个数为9； ③对任意都成立，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是___. 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用给定定义直接判断①，由周期性可知，的周期为，故讨论即可，求出每个元素判断②，利用题意分离参数，得到，再结合给定定义求解，最后得到参数范围即可. 【详解】对于①，由知， ，故①正确. 对于②，由周期性可知，的周期为，故讨论即可， 易得当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故该集合元素个数为6，故②错误. 对于③，当时， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而对任意都成立，故恒成立， 令，即，而显然，可得恒成立， 即.， 故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算） 15. 已知函数，点是图象的一个对称中心. （1）求； （2）设函数，求的最大值和单调递增区间. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据对称中心结合正弦函数性质可得，即可得函数的解析式； （2）利用诱导公式以及倍角公式可得，结合余弦函数性质求最大值和单调递增区间. 【小问1详解】 由题意可知：， 且，则， 可得，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 当，即时，函数取到最大值， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 16. 已知是边长为2的等边所在平面内一点，是的中点，是的中点. （1）当时，用，表示，，并求的值； （2）若时，求的取值范围. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则表示出，，再由数量积的运算律计算可得； （2）建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意 ， ， 所以 . 【小问2详解】 如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，， 设， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 即. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，若. （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先用余弦定理写出关于边的表达式，再代入已知等式化简，之后结合正弦定理将边的比值转化为正弦的比值，再利用三角恒等变换公式证明角的等量关系； （2）首先根据锐角三角形的条件确定的取值范围，再利用正弦定理将​转化为关于角的正弦表达式，再结合和三角形内角和为，将表达式统一为关于的三角函数，最后根据三角函数的单调性求取值范围 【小问1详解】 由余弦定理得 因为，所以 由正弦定理得，，，代入上式得 因为，所以，， 代入得 ， 展开得， 整理得， 即. 因为，所以，故有两种情况： ，即； ，即（舍去）， 因此. 【小问2详解】 由（1）知，则 . 因为是锐角三角形，所以三个内角均小于， 所以， 解得. 由正弦定理得， 化简得， 又 ，所以， 令，因为，故 . 设函数，. 因为和都单调递增，所以在区间上单调递增. 时，， 时，， 因此 . 18. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期； （2）若时，方程有解，求实数的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简，由正弦型三角函数的周期公式求解； （2）令，利用正弦型函数的值域求出的取值范围，将原方程有解转化为在时有解，求解即可； （3）利用换元法化简不等式，求解后得出 ，转化为为的子集求解即可. 【小问1详解】 因为向量，，函数， 因此， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 令，由于，所以，， 则原问题转化为 在上有解， 即在时有解， 因为在时单调递减，所以， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 所以由对任意恒成立，可得对任意恒成立， 令，则，所以不等式可化为 ， 可得 ，解得，解得 ， 即 ，解得 ， 所以 ， 所以的最大值为. 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）证明解析. （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）（2）直接利用提干信息进行计算； （3）①先化简出，然后分别讨论在，，三个区间的正负，然后利用零点存在定理判断零点是否存在以及有多少个； ②利用①将化成，从而根据的范围判断与的大小. 【小问1详解】 因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为向量，，所以，， 所以 化简得. 【小问3详解】 ①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：在证明函数零点时，我们常用零点存在定理： 如果一个函数在闭区间上连续，并且满足，那么在区间内至少存在一个点，使得. 如果一个函数在闭区间上连续且单调，并且满足，那么在区间内有且仅有一个点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）沈阳市第二十中学期中考试 高一年级数学试卷 命题人：王灿文 校对人：罗兰 考试时间：120分钟 分数：150分 试卷共两部分：第一部分选择题（1-1-11题共58分）；第二部分非选择题（12-19题共92分） 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题所给选项中有且只有一个正确选项） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，满足，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 已知，若恒成立，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 ，则下列选项正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数在上递减 8. 已知函数将函数图象向上平移个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍得到，若在区间上恰有个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题所给的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为， B. 函数的值域为 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的单调递减区间是， 10. 如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 在中，，，若三角形有唯一解，则或 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 13. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝，c＝2，D为BC中点，cosB＝，求AD的长度为______________． 14. 已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论： ①； ②集合的元素个数为9； ③对任意都成立，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是___. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算） 15. 已知函数，点是图象的一个对称中心. （1）求； （2）设函数，求的最大值和单调递增区间. 16. 已知是边长为2的等边所在平面内一点，是的中点，是的中点. （1）当时，用，表示，，并求的值； （2）若时，求的取值范围. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，若. （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围. 18. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期； （2）若时，方程有解，求实数的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $