广东湛江市吴川市第二中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学练习试题

**基本信息** 高一年级数学期中试卷涵盖复数、立体几何、向量、解三角形等核心内容，解答题注重空间观念与逻辑推理，如第19题结合平行四边形探究线面平行及面面平行，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、斜二测画法直观图还原|基础概念辨析，如第2题考查斜二测画法规则| |多选|3/18|棱锥定义、复数模与几何意义|概念准确性判断，如第9题辨析棱台侧棱性质| |填空|3/15|向量垂直坐标运算、圆台侧面积|空间与代数结合，如第13题圆台侧面积计算| |解答|5/77|线面平行证明、面面平行探究（第19题）|综合性探究，如第19题含存在性问题，考查逻辑推理与空间观念|

吴川市第二中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一级 数学科试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则m，n是异面直线 D．若m，n是异面直线，，，，，则 6．在中，内角的对边分别为，且，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 8．直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B．棱柱至少有五个面 C．棱台的侧棱延长后必交于一点 D．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 10．已知复数，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的一个复数根 11.已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（   ） A．的大小是 B．的取值范围是 C．若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为 D．若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，，，若，则_______． 13．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为________． 14．为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为____________________米. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．复数，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 16．已知平面向量，其中，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求实数． 17．如图，长方体中，，点M为的中点． (1)求证：平面BDM； (2)求点C到平面BDM的距离． 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角B及的值； (2)若，求的面积． 19.如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年度第二学期期中考试 高一级 数学科答案 1、B【详解】由得， 所以复数的虚部为 2．D【详解】由题意可知， 直观图 为等腰梯形， ，， 过点 作 于 ，， 则 ， 在中，，， 根据斜二测画法规则还原原图形，如图： 则 ， ， ∵ 在轴上，  ， 作于，则，， ， 四边形 的周长为： ， 故四边形的周长为. 3．A【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为. 4．A【详解】连接， 因为是线段的中点，所以， 则． 因为是线段的中点， 所以． 5．D【详解】对于A，由，得平行、相交或者是异面直线，A错误； 对于B，由，得或，B错误； 对于C，由，得平行、相交或者是异面直线，C错误； 对于D，由，得存在过的平面，则，而， 是异面直线，则是相交直线，又，不在内，则， 又，是内的两条相交直线，因此，D正确. 6．B【详解】由已知及正弦定理得：， 所以，又， 所以，所以，所以， 所以（舍去）．故三角形为等腰三角形． 7．C【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 8．B【详解】根据正弦定理，在中，解得. 直三棱柱外接球的球心在上下底面三角形外心连线的中点，满足勾股定理， 代入，，则. 球的表面积公式为. 9．BC 【详解】对于A项，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，可知A项错误； 对于B项，棱柱中面最少的为三棱柱，有五个面.故B正确； 对于C项，由于棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的多面体为棱台.结合棱锥的性质，可知棱台的侧棱延长后必交于一点.故C正确； 对于D项，以直角梯形的垂直于底面的腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台，当腰与底面不垂直时，得到的旋转体不是圆台.故D错误. 故选：BC. 10． ABC【详解】 对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程的左边，得， 所以不是该方程的根，故D错误． 故选：ABC． 11．ABD 【详解】在中，由及正弦定理， 得，整理得， 对于A，由余弦定理得，而，则，A正确； 对于B，由选项A，得，令，则， ，由，得， 因此，，B正确； 对于C，由，得，即， 两边平方得，则，即， 当且仅当时取等号，的面积，C错误； 对于D，由选项A及为锐角三角形，得，则， 由是内角的平分线，得 ，D正确. 12．/ 【详解】由, 因为，，所以, 故答案为： 13． 【详解】由圆台的侧面积公式可得：. 14． 【详解】设铁塔OT的高度为米. 在中，，在中, , 在中，由余弦定理，， 即，解得. 15．【详解】（1）若复数为实数，则，解得或． 4分 （2）若复数为纯虚数，则，解得，所以． 8分 （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得，可得， 所以实数的取值范围为. 13分 16．【详解】（1）因为，且与的夹角为，所以. 所以，即的值为. 4分 （2）因为， 所以. 8分 （3）因为向量与互相垂直，所以， ，所以，即， 解得，因此. 15分 17．【详解】（1）在长方体中，令， 则为中点，连接，    由为的中点，得，而平面，平面， 所以平面. 6分 （2）设点C到平面BDM的距离为， 长方体中，, 所以， ， ， 所以，又， 由可得，, 即，所以. 故点C到平面BDM的距离为. 15分 18．【详解】（1）， 即有， 由正弦定理可得， 3分 则， 又，故； 5分 由，则，故， 7分 则 ； 10分 （2）由正弦定理，可得， 14分 则. 17分 19.【详解】（1）.证明如下： 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. 5分 （2）取中点连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. 11分 （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 17分    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $