精品解析：广东湛江市雷州市第二中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z在复平面上对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】复数对应的点为，它在第一象限. 2. 已知向量，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，解得 3. 平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的公式即可求解. 【详解】由在上的投影向量为， 故选：B. 4. 在中，若，则角C等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理可得的值，即得答案． 【详解】在中，，可得， 由于，故 ， 故选：A． 5. 在中，若，则角等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，化简得，从而可求出角 【详解】解：因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 因为， 所以或， 故选：A 6. 给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ） ①三个不同的点确定一个平面；                 ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；      ④两条平行直线确定一个平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线上的不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 两条相交直线确定一个平面，故③正确； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 7. 已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件． 【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 8. 已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由底面面积求出底面半径，然后由底面周长等于侧面展开图的弧长列方程可求出母线长. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，所以，得， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以，得, 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列向量组中，可以作为基底（不共线）的是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基底的概念，结合选项，利用共线向量的坐标表示计算，依次判断向量是否共线即可. 【详解】对于A，因为，所以共线，不能作为基底，故A错误； 对于B，因为，所以不共线且为非零向量，可以作为基底，故B正确； 对于C，因为，所以不共线且为非零向量，可以作为基底，故C正确； 对于D，因为，所以共线，不能作为基底，故D错误. 10. 已知复数，则下列结论中错误的是（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 的共轭复数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简, 【详解】复数， 所以的实部为，故A不正确； 的虚部为，故B不正确； ，故C不正确； 的共轭复数为,故D正确； 11. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角为，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积公式求解即可. 【详解】由题可得， 所以 13. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 因为，， 所以，， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【解析】 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的坐标； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接由向量的数乘及减法运算求解； （2）由向量的数乘及减法运算求得的坐标，再由向量垂直的坐标运算求解． 【详解】（1）. （2） 与垂直，，即， ∴. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、考查向量垂直的坐标表示，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题． 16. 现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的母线长以及底面圆的直径均为. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的侧面积和球的表面积公式计算即可； （2）根据圆锥的体积和球的体积公式计算即可. 【小问1详解】 球半径为，圆锥底面半径，母线长，故圆锥高， 该几何体的表面积为. 【小问2详解】 该几何体的体积为. 17. 已知的内角的对边分别为，已知 （1）求边长c的值； （2）求的值； （3）求边长b的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 在中由正弦定理可得，故. 【小问2详解】 , . 【小问3详解】 在中由正弦定理可得, 所以. 18. 如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 【答案】（1） 因为、分别是、的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 由（1）可知平面 因为平面，平面平面，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面平行的性质定理可证得结论成立； （3）分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若三棱锥的各棱长均为， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为，故该几何体的表面积为. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z在复平面上对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，则角C等于（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则角等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ） ①三个不同的点确定一个平面；                 ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；      ④两条平行直线确定一个平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列向量组中，可以作为基底（不共线）的是（ ） A. ， B. ， C. D. 10. 已知复数，则下列结论中错误的是（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 的共轭复数为 11. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角为，，则___________. 13. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为_________． 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的坐标； （2）若与垂直，求的值. 16. 现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的母线长以及底面圆的直径均为. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 17. 已知的内角的对边分别为，已知 （1）求边长c的值； （2）求的值； （3）求边长b的值． 18. 如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $