陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（A）

高二第一次月考补偿练习（数学） 1．已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 2．已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 4．（多选）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要条件 D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 5．（多选）已知、是椭圆长轴上的两个顶点，、是椭圆C的左右焦点，点是椭圆上异于、的任意一点，则下列四个命题中正确的是（    ） A．的最大值为 B．椭圆C的离心率为 C．面积的最大值为 D．椭圆C与双曲线有相同的焦点 6．设，为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 7．已知椭圆的左焦点为，过点作直线交椭圆于，两点，若直线的倾斜角为45°，且，则椭圆的离心率是 ． 8．抛物线的焦点为，直线与交于两点，则 . 9．已知椭圆，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， （）证明：直线过定点； （）求面积的最大值． 《2025年9月27日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C C C ABC BCD 1．C 【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率. 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 2．C 【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论. 【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以点到直线的距离， 因为与圆交于两点（为坐标原点），所以， 因为的面积为，所以， 所以，又， 所以或， 若，则点到直线的距离， 所以，所以，所以， 所以， 此时双曲线的离心率， 若，则点到直线的距离， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去， 所以双曲线的离心率， 故选：C    3．C 【分析】根据点到两条渐近线的距离相等，结合对称性及面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而可判断C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D. 【详解】 如图，∵，∴，， ∵点到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C错误； 由C知，，所以，，， ∴，∴，，，故D正确， 故选：C. 4．ABC 【分析】根据圆和圆锥曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】选项A，当时，曲线的方程为，此时曲线为圆心在原点，半径为的圆，所以A正确； 选项B，当时，曲线的方程为，可得， 此时双曲线渐近线方程为，所以B正确； 选项C，当曲线为焦点在轴上的椭圆时，有，解得， 所以“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以C正确； 选项D，当曲线为离心率的双曲线时，双曲线为等轴双曲线，即实半轴长与虚半轴长相等， 则有 ，解得，经检验，时，曲线为圆，所以D错误. 故选：ABC. 5．BCD 【分析】利用椭圆的几何性质可求得，可求得焦点坐标，可得，利用余弦定理可得，进而可判断A；求得椭圆的离心率可判断B；求得三角形面积的最大值判断C；求得双曲线的焦点坐标判断D. 【详解】由椭圆，可得、， 又，所以，，， 所以，所以、， 对于A，因为是椭圆上异于、的任意一点，所以， 在中，由余弦定理可得 ，当且仅当时，取等号， 又， 所以，故的最大值为，故A错误； 对于B，椭圆的离心率为，故B正确； 对于C，设，则面积为， 当为椭圆的短轴的两端点时，取等号， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，由双曲线，可得，所以， 所以，所以， 所以双曲线的焦点坐标为， 所以椭圆C与双曲线有相同的焦点，故D正确. 故选：BCD. 6． 【分析】令，由椭圆的定义及已知得，问题化为在上存在零点，得到椭圆参数的齐次式求离心率范围. 【详解】令，则，即，且， 由，则，可得， 所以在上存在零点， 又开口向上且对称轴为，则， 所以，可得，即. 故答案为： 7．/ 【分析】如图，设，，由，，椭圆的定义及余弦定理可得，据此可得答案. 【详解】如图，为椭圆右焦点，由题可得， 设，则，又，则由余弦定理： . 设，则，又，则由余弦定理： . 从而， 所以. 故答案为：    8．1 【分析】先求得两点的坐标，再利用抛物线定义求得的值，进而求得的值． 【详解】抛物线的焦点，准线为， 直线可化为， 由，整理得， 解之得或，则或 当时，，此时 当时，，此时 综上所述： 故答案为：1 9．(1)椭圆的标准方程为 (2)（）证明见解析；（）面积的最大值为 【分析】（1）结合椭圆和等边三角形的性质，即可求解. （2）（）法一：根据已知条件设，直线的方程，直线的方程，求出点的坐标，再求出，进而得到直线的方程，整理即可求解； 法二:先根据斜率公式表示出，结合椭圆方程，得到，进而设直线的方程为，与椭圆方程联立，并利用韦达定理化简，即可求解. （）根据，可得，再设进行整体代换，并利用函数单调性，即可求解. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由题意得，所以， 因为，所以椭圆的标准方程为. （2）（）证明：法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线过定点，即右焦点. 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以，且 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍）， 所以直线过定点，即右焦点； （）由（）得， 令，则，则， 因为在上单调递增，所以时，取得最大值， 此时，直线的发方程为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市仁德学校高二上学期第一次月考试题（A卷） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 斜率的变化范围是,则其倾斜角的变化范围是 （ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 5. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 10. 已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A. 焦点到抛物线的准线的距离为8 B. C. 若的中点的纵坐标为4，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 13. 已知直线与圆交于，两点，则______． 14. 设直线:与椭圆相交于两点，与轴相交于左焦点，且，则椭圆的离心率_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 16. 已知双曲线C的方程为： （1）求双曲线C的离心率； （2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（）的双曲线的方程． 17. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 18. 已知椭圆的离心率为且经过点.试求： （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 19. 已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 汉中市仁德学校高二上学期第一次月考试题（A卷） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）或 【18题答案】 【答案】（1） （2）存在，或. 【19题答案】 【答案】（1），以为圆心，半径为2的圆； （2）（ⅰ）证明见解析，定点为；（ⅱ）存在，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $▣4▣ 汉中市仁德学校高二年级上学期第一次月考￡A 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面朝上，切匆贴出虚线方报) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记 ▣ 4.在草稿纸、试题卷上答题无效 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题(1~8为单选题，每题5分；9~11为多选题，每题6分，共58分) 1[AB][C]D] 6[A][B][C][D] 11[AI[B][C][D] 2 [A][B][c][D] 7 [A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 10[Al[B][C]D] 填空题（每题5分，共15分） 12. 的 14. 解答题 15.(13分) I 囚囚■ 16.(15分) 17.(15分) 囚ㄖ■ ■ 18.(17分) 1 1 19.(17分) ■ ㄖ■囚 囚■囚