12.1三角形 讲义 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

本讲义系统覆盖三角形的定义、分类（按角和按边）、内角和定理、外角性质、三边关系及高、中线、角平分线等核心知识点，从概念辨析到性质应用层层递进，构建从基础认知到综合解题的学习支架。 资料通过“知识清单+例题+跟踪训练”设计，以三角形定义的三要素培养抽象能力（数学眼光），通过内角和与外角计算提升推理意识（数学思维），用表格规范高、中线、角平分线的符号语言（数学语言），课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

12.1三角形 1、三角形的定义………………………………………………………………………… 2 2、三角形的分类………………………………………………………………………… 4 3、三角形的内角和……………………………………………………………………… 7 4、三角形的外角………………………………………………………………………… 10 5、三角形的综合题…………………………………………………^…^……………… 12 6、三角形的三边关系…………………………………………………………………… 19 7、三角形的高、中线和角平分线………………………………………………^…… 24 知 识 清 单 知识点1 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 【知识解读】 （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：组成三角形的线段； ②三角形的角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾依次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 素 养 提 升 考点1 三角形的定义 例题讲解： 例1．三角形是指（　　） A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 跟踪训练： 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 例题讲解： 例2．如图，以AB为边的三角形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 跟踪训练： 1．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（　　） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 2．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 知 识 清 单 知识点2 三角形的分类 1、按角分类： 【知识解读】 （1） 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形. （2） 直角三角形：有一个角是直角的三角形. （3） 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形. 2、按边分类： 【知识解读】 （1）不等边三角形：三边都不相等的三角形. （2）等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角. （3）等边三角形：三边都相等的三角形,也叫做正三角形. 素 养 提 升 考点2 三角形的分类 例题讲解： 例1. 下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 跟踪训练： 1．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（　　） A． B． C． D． 2．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（　　） A． B． C． D． 例题讲解： 例2．下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则△ABC是锐角三角形 C．若AB＝AC，∠B＝40°，则△ABC是钝角三角形 D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则△ABC是等腰直角三角形 跟踪训练： 1．下列说法： （1）一个等边三角形一定不是钝角三角形； （2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形； （3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形； （4）一个直角三角形一定不是等腰三角形． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 例题讲解： 例3．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2＝2ab+2bc﹣2b2，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 跟踪训练： 1．三角形三边长a、b、c满足a2（b﹣c）+b2c﹣b3＝0，则这个三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 知 识 清 单 知识点3 三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 直角三角形的两个锐角互余;有两个角互余的三角形是直角三角形。 【知识解读】 应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： （1）在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； （2）已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； （3）求一个三角形中各角之间的关系． 知识点4 三角形的外角 定义：三角形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 推论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 素 养 提 升 考点3 三角形的内角和 例题讲解： 例1．一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（　　） A．30°和60° B．40°和70° C．50°和20° D．40°和40° 跟踪训练： 1．在下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的条件是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A﹣∠B＝90° C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D． 2．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝∠C，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．已知一个三角形中两个内角分别是70°和40°，则这个三角形一定是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 例题讲解： 例2．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝20°，AD平分∠CAB，AE⊥BC于点E，则∠DAE的度数为（　　） A．20° B．60° C．30° D．40° 跟踪训练： 1．如图，AB和CD交于点O，AC⊥AB于点A，连接BD．若∠B＝40°，∠D＝75°，则∠C的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 2．如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝68°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．72° C．79° D．82° 3．如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 4．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EAD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 考点4 三角形的外角 例题讲解： 例1．如图，△ABC中，借助直角三角板作AB边上的高，将三角板按如图所示摆放，其中点A，B，E在同一直线上，点E，C，D在同一直线上，∠A＝25°，∠E＝90°，则∠ACD的大小为（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 跟踪训练： 1．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连结AD、BE，若∠A＝35°，∠1＝70°，∠B＝30°，则∠C的度数为（　　） A．40° B．45° C．55° D．60° 2．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 3．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠2＝20°，则∠1等于（　　） A．100° B．110° C．115° D．120° 4．如图，在△ABC中，若∠A＝20°，∠B＝30°，则∠ACD等于（　　） A．10° B．50° C．60° D．40° 5．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，CE是∠ACD内部一条射线，已知∠1＝∠2，∠B＝40°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 素 养 提 升 考点5 三角形的综合题 例题讲解： 例1．如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG， ∠BAC＝40°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF；②∠1＝70°；③∠ACE＝2∠4；④∠3＝2∠4，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 跟踪训练： 1．如图，△ABC中，BO与CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点P，且∠BPC＝108°，则∠BOC的度数为（　　） A．112° B．118° C．126° D．128° 2．如图，直线l1∥l2，A，B是直线l1上两点，C，D是直线l2上两点，AD⊥BC于点E，若∠ADC＝35°，则∠ABC的大小为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 3．如图，△ABC中有AD，D点在BC上．根据图中标示的度数，则p+q+r之值是（　　） A．150 B．160 C．170 D．180 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，若∠DAE＝12°，∠B＝45°，则∠C的度数为（　　） A．66° B．67° C．68° D．69° 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点E在直线AB上，且DE＝DB，则∠DEC的度数为（　　） A．60° B．75° C．80° D．90° 6．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是（　　） A．20° B．25° C．10° D．15° 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF； ④BH＝CH． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 8．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°． （1）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数； （2）求∠AOB的度数． 9．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝64°，∠C＝42°． （1）求△ABC的外角∠CAF的度数； （2）求∠DAE的度数． 10．探究： （1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°∠A． （2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论． 11．特例感知 （1）如图1，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC外角的角平分线． ①若∠A＝50°，则∠P＝　 　 ； ②判断∠P与∠A的数量关系，并说明理由． 类比迁移 （2）如图2，∠A0CD是△A0BC的外角，∠A0BC的平分线与∠A0CD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An（n为正整数）．设∠A0＝α，则∠An＝　 　 ； 拓展应用 （3）如图3，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三等分线与∠ACD的三等分线交于点P．若∠A＝α，∠B＝β（α＞β），请直接写出∠P的度数．（用含α、β的式子表示） 知 识 清 单 知识点5 三角形的三边关系 定理：三角形的任何两边之和大于第三边. 推论：三角形的任何两边之差小于第三边. 【知识解读】 （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围. （3）证明线段之间的不等关系． 素 养 提 升 考点6 三角形的三边关系 例题讲解： 例1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．3cm，5cm，9cm D．2cm，7cm，9cm 跟踪训练： 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（　　） A．1，1，3 B．3，4，5 C．3，3，6 D．4，5，10 2．已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长不能是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 3．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．5 D．8 4．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm 5．已知三条线段的长分别为3cm、5cm、acm，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 6．学具盒中装有四根长度分别为1cm、3cm、4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 7．现有两根长度分别为20cm和30cm的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（　　） A．10cm B．30cm C．50cm D．55cm 例题讲解： 例2．按要求完成下列各小题． （1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长； （2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|． 跟踪训练： 1．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 2．如果a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|c﹣b﹣a|． 3．已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 知 识 清 单 知识点6 三角形的高、中线和角平分线 1、三角形高线、中线、角平分线 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作的垂线段叫做这个三角形的高 在三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做这个三角形的中线 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的高. 2.AD是△ABC中BC边上的高. 3.AD⊥BC于点D. 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°). 1.AD是△ABC的中线． 2.AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1.线段垂直．2.角度相等． 1.线段相等．2.面积相等． 角度相等． 注意事项 1.与边的垂线不同． 2.不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 2. 三角形的重心 一个三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，并且相交于一点，这个点叫做三角形的重心. 素 养 提 升 考点7 三角形的高、中线和角平分线 例题讲解： 例1．如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A．CF B．BE C．CG D．AD 跟踪训练： 1．画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A．B．C．D． 2．下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则CM是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 例题讲解： 例2．如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm 跟踪训练： 1. 如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高是（　　） A．3 B．6 C．12 D．1.5 2．如图，BD、CE是△ABC的两条中线，若，，则△ABC的周长是（　　） A．45 B．35 C．26 D．22 3．如图，若AD是△ABC的中线，BD＝4，则BC的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 4．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则三角形ABC的面积是（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．18cm2 6．如图，BD，CE分别为△ABC，△BCD的中线，若△ABD的面积为16，则△CDE的面积为（　　） A．4 B．8 C．2 D．16 7．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为　 　 ． 9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　 　 ． 例题讲解： 例3．已知：如图，D、E、F分别是△ABC的三边的延长线上一点，且AB＝BF，BC＝CD，AC＝AE，S△ABC＝5cm2，则S△DEF的值是（　　） A．15cm2 B．20cm2 C．30cm2 D．35cm2 跟踪训练： 1．如图是一块面积为42的三角形纸板，点D，E，F分别是线段AF，BD，CE的中点，则阴影部分（△DEF）的面积为（　　） A． B． C．6 D．7 2．如图，已知△ABC的面积为4，分别延长BC至点D，使得CD＝BC，延长CA至点E，使得AE＝AC，延长AB至点F，使得BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 3．如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A2020B2020C2020的面积为　 ． 例题讲解： 例4．如图，O是△ABC的重心，AO，BO，CO的延长线分别交BC，AC，AB于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（　　） A．AD平分BC B．BE⊥AC C．CF平分∠ACB D．OD＝OE 跟踪训练： 1．下列四种说法正确的是（　　） A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B．过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．三角形三条高线交于一点 2．如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（　　） A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行 B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行 C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行 D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1三角形 1、三角形的定义………………………………………………………………………… 2 2、三角形的分类………………………………………………………………………… 5 3、三角形的内角和……………………………………………………………………… 10 4、三角形的外角………………………………………………………………………… 16 5、三角形的综合题…………………………………………………^………………… 20 6、三角形的三边关系…………………………………………………………………… 32 7、三角形的高、中线和角平分线………………………………………………^…… 39 知 识 清 单 知识点1 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 【知识解读】 （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：组成三角形的线段； ②三角形的角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾依次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 素 养 提 升 考点1 三角形的定义 例题讲解： 例1．三角形是指（　　） A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【分析】根据三角形的概念判断即可． 【解答】解：三角形是指由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形， 故选：C． 【点评】此题考查三角形的概念，关键是根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形解答． 跟踪训练： 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，判断即可． 【解答】解：观察图形，其中符合三角形概念的图形是D， 故选：D． 【点评】本题考查三角形的定义，解决本题的关键是掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 例题讲解： 例2．如图，以AB为边的三角形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】观察图形可知以AB为边的三角形有△ABD、△ABE、△ABC共3个． 【解答】解：观察图形可知以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的概念，熟悉概念是解题关键． 跟踪训练： 1．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（　　） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据三角形的定义，即可得到结论． 【解答】解：图中三角形有：△ABD，△ABC，△ABE，△ADC，△ADE，△ACE，共有6个． 故选：C． 【点评】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念． 2．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【分析】根据图形直接得出所有的三角形，进而得出答案． 【解答】解：三角形有：△ACD，△ABC，△ABD，△AED，△DEB， 故三角形的个数是5个． 故选：D． 【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行． 知 识 清 单 知识点2 三角形的分类 1、按角分类： 【知识解读】 （1） 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形. （2） 直角三角形：有一个角是直角的三角形. （3） 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形. 2、按边分类： 【知识解读】 （1）不等边三角形：三边都不相等的三角形. （2）等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角. （3）等边三角形：三边都相等的三角形,也叫做正三角形. 素 养 提 升 考点2 三角形的分类 例题讲解： 例1. 下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【分析】根据三角形的分类即可求解． 【解答】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）． 跟踪训练： 1．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答． 【解答】解：等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系的分类方法是解题的关键． 2．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形按边分类可对选项A，C进行判断，根据三角形按角分类可对选项B，D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵三角形按边分类可分为：不等腰三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为腰与底不等的等腰三角形和等边三角形， ∴选项A，C正确，不符合题意； ∵三角形按角分类可分为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形， ∴选项B正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解决问题的关键． 例题讲解： 例2．下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则△ABC是锐角三角形 C．若AB＝AC，∠B＝40°，则△ABC是钝角三角形 D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则△ABC是等腰直角三角形 【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断． 【解答】解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝100°，所以△ABC是钝角三角形，故此选项判断不正确，符合题意； C．若AB＝AC，∠B＝40°，则∠B＝∠C＝40°，∠A＝100°，所以△ABC是钝角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记等腰三角形的性质和判定定理是解此题的关键． 跟踪训练： 1．下列说法： （1）一个等边三角形一定不是钝角三角形； （2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形； （3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形； （4）一个直角三角形一定不是等腰三角形． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形的分类判断即可． 【解答】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，说法正确； （2）一个钝角三角形可能是等腰三角形，说法错误； （3）一个等腰三角形可能是锐角三角形，说法错误； （4）一个直角三角形可能是等腰三角形，说法错误； 故选：A． 【点评】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答． 例题讲解： 例3．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2＝2ab+2bc﹣2b2，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【分析】根据题意，利用配方法可以求得a、b、c之间的关系，从而可以解答本题． 【解答】解：∵a2+c2＝2ab+2bc﹣2b2， ∴a2+c2﹣2ab﹣2bc+2b2＝0， ∴（a﹣b）2+（c﹣b）2＝0， ∴a﹣b＝0，c﹣b＝0， 解得，a＝b，c＝b， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故选：B． 【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c之间的关系． 跟踪训练： 1．三角形三边长a、b、c满足a2（b﹣c）+b2c﹣b3＝0，则这个三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】先把等式分解为（a+b）（a﹣b）（b﹣c）＝0的形式，进而可判断出△ABC的形状． 【解答】解：原方程可化为：（a+b）（a﹣b）（b﹣c）＝0， ∴a＝b或b＝c， ∴此三角形是等腰三角形． 故选：A． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，此题易把等式分解成（a2﹣b2）（b﹣c）＝0的形式而造成因式分解不彻底． 2．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a＝b，即可确定出三角形形状． 【解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a+b﹣c≠0， ∴a﹣b＝0，即a＝b， 则△ABC为等腰三角形． 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 知 识 清 单 知识点3 三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 直角三角形的两个锐角互余;有两个角互余的三角形是直角三角形。 【知识解读】 应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： （1）在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； （2）已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； （3）求一个三角形中各角之间的关系． 知识点4 三角形的外角 定义：三角形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 推论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 素 养 提 升 考点3 三角形的内角和 例题讲解： 例1．一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（　　） A．30°和60° B．40°和70° C．50°和20° D．40°和40° 【分析】先根据三角形内角和为180°，求出每个选项中第三个内角的度数，再根据锐角三角形的定义判断，锐角三角形的三个内角都小于90°． 【解答】解：A、180°﹣30°﹣60°＝90°，该三角形是直角三角形，不符合题意； B、180°﹣40°﹣70°＝70°，三个内角分别为40°，70°，70°，都小于90°，该三角形是锐角三角形，符合题意； C、180°﹣50°﹣20°＝110°，110°＞90°，该三角形是钝角三角形，不符合题意； D、180°﹣40°﹣40°＝100°，100°＞90°，该三角形是钝角三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 跟踪训练： 1．在下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的条件是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A﹣∠B＝90° C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D． 【分析】根据三角形内角和定理逐一判断即可． 【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C， ∴∠B﹣∠C+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°，则能确定△ABC是直角三角形； B、∵∠B＞0°，∠A﹣∠B＝90°， ∴∠A＝90°+∠B＞90°，则△ABC是钝角三角形，不是直角三角形； C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝2：3：5， ∴，则能确定△ABC是直角三角形； D、∵， ∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠C＝3×30°＝90°，则能确定△ABC是直角三角形． 故选：B． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【分析】利用三角形内角和为180°求出最大角度数，再根据三角形分类判断结果． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴△ABC的最大角， ∴△ABC是锐角三角形， 故选：A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 3．已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝∠C，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【分析】由三角形的内角和定理可求得∠B＝∠C＝80°，则可判断△ABC是锐角三角形． 【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝80°， ∴△ABC是锐角三角形． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是由三角形的内角和求得∠B与∠C的度数． 4．已知一个三角形中两个内角分别是70°和40°，则这个三角形一定是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【解答】解：根据三角形内角和定理，第三个内角的度数为180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 例题讲解： 例2．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝20°，AD平分∠CAB，AE⊥BC于点E，则∠DAE的度数为（　　） A．20° B．60° C．30° D．40° 【分析】根据三角形内角和定理求得∠CAB的度数，由角平分线和垂直的定义可得∠DAC和∠EAC的度数，即可求解． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝20°， ∴∠CAB＝180°﹣60°﹣20°＝100°（三角形内角和定理）， ∵AD平分∠CAB， ∴（角平分线的定义）， 又∵AE⊥BC， ∴∠EAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝50°﹣30°＝20°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 跟踪训练： 1．如图，AB和CD交于点O，AC⊥AB于点A，连接BD．若∠B＝40°，∠D＝75°，则∠C的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【分析】先由三角形内角和定理求出∠BOD的度数，再由对顶角相等可得∠AOC的度数，然后根据垂直的定义得到∠A＝90°，最后根据余角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣40°﹣75°＝65°， ∴∠AOC＝∠BOD＝65°， ∵AC⊥AB， ∴∠A＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣65°＝25°， 则∠C的度数是25°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是相关定理的熟练掌握． 2．如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝68°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．72° C．79° D．82° 【分析】由折叠的性质求出∠AED，∠ADE的度数，由垂线的定义和平角的定义得到∠AEF＝90°，最后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【解答】解：∵∠BDF＝68°， 由折叠的性质可得∠ADE＝∠FDE（180°﹣∠BDF）（180°﹣68°）＝56°， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝90°， 由折叠的性质可得∠AED＝∠FED∠AEF＝45°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝79°． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 3．如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【解答】解：由题意知， ∵180°﹣50°﹣70°＝60°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是相关定理的熟练掌握． 4．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EAD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠BAE，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据角的关系求出∠EAD即可． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AE是角平分线， ∴（角平分线的定义）， ∵AD是高， ∴∠ADE＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣30°＝20°． 则∠EAD的度数为20°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键． 考点4 三角形的外角 例题讲解： 例1．如图，△ABC中，借助直角三角板作AB边上的高，将三角板按如图所示摆放，其中点A，B，E在同一直线上，点E，C，D在同一直线上，∠A＝25°，∠E＝90°，则∠ACD的大小为（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 【分析】根据三角形的外角进行求解即可． 【解答】解：∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝25°，∠E＝90°， ∴∠ACD＝∠A+∠E＝115°． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 跟踪训练： 1．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连结AD、BE，若∠A＝35°，∠1＝70°，∠B＝30°，则∠C的度数为（　　） A．40° B．45° C．55° D．60° 【分析】由∠BEC＝∠A+∠1，且∠BEC+∠B+∠C＝180°，推导出∠C＝180°﹣∠A﹣∠1﹣∠B，由∠A＝35°，∠1＝70°，∠B＝30°，求得∠C＝45°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点D、E分别在线段BC、AC上，连结AD、BE， ∴∠BEC＝∠A+∠1， ∵∠BEC+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠BEC﹣∠B＝180°﹣（∠A+∠1）﹣∠B＝180°﹣∠A﹣∠1﹣∠B， ∵∠A＝35°，∠1＝70°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣35°﹣70°﹣30°＝45°， 故选：B． 【点评】此题重点考查三角形的内角和等于180°、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 2．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 【分析】首先求出∠CBD＝45°，然后得到∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝45°，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：如图所示， ∵∠C＝90°，∠D＝45° ∴∠CBD＝45° ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝90°﹣45°＝45° ∴∠1＝∠A+∠ABC＝30°+45°＝75°． 则∠1的度数为75°． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 3．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠2＝20°，则∠1等于（　　） A．100° B．110° C．115° D．120° 【分析】三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此可得答案． 【解答】解：由题意得，∠1＝∠2+90°（三角形外角的性质）， ∵∠2＝20°， ∴∠1＝110°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 4．如图，在△ABC中，若∠A＝20°，∠B＝30°，则∠ACD等于（　　） A．10° B．50° C．60° D．40° 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【解答】解：由图可知，∠ACD是△ABC的外角， ∵∠A＝20°，∠B＝30°， ∴∠ACD＝∠A+∠B＝20°+30°＝50°， 则∠ACD等于50°， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 5．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，CE是∠ACD内部一条射线，已知∠1＝∠2，∠B＝40°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】由∠ACD＝∠1+∠3，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠2，结合已知∠1＝∠2，∠B＝40°，然后等量代换即可解答． 【解答】解：∵∠ACD＝∠1+∠3，∠ACD＝∠B+∠2（已知）， ∴∠1+∠3＝∠B+∠2（等量代换）， ∵∠1＝∠2，∠B＝40°， ∴∠3＝∠B＝40°． 则∠3的度数为40°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外角定理，熟练掌握“三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和”是解题的关键． 素 养 提 升 考点5 三角形的综合题 例题讲解： 例1．如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG， ∠BAC＝40°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF；②∠1＝70°；③∠ACE＝2∠4；④∠3＝2∠4，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义；垂线．版权所有 【解答】解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG， ∴∠ACB∠ACD，∠ACF∠ACG， ∵∠ACG+∠ACD＝180°， ∴∠ACF+∠ACB＝90°， ∴CB⊥CF，故①正确， ∵CD∥AB，∠BAC＝40°， ∴∠ACG＝40°， ∴∠ACD＝140°， ∵BC平分∠ACD， ∴∠BCD＝70°， ∵CD∥AB， ∴∠2＝∠BCD＝70°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝70°，故②正确； ∵∠BCD＝70°， ∴∠ACB＝70°， ∵∠1＝∠2＝70°， ∴∠3＝40°， ∴∠ACE＝30°， ∴③∠ACE＝2∠4错误； ∵∠4＝20°，∠3＝40°， ∴∠3＝2∠4，故④正确， 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，三角形内角和定理，垂线，关键是理清图中角之间的和差关系． 跟踪训练： 1．如图，△ABC中，BO与CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点P，且∠BPC＝108°，则∠BOC的度数为（　　） A．112° B．118° C．126° D．128° 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【解答】解：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F， ∴∠AFC＝∠AEB＝90°， ∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠EPF＝360°，∠EPF＝∠BPC＝108°， ∴∠A＝360°﹣∠AFC﹣∠AEB﹣∠EPF＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝108°， ∵BO与CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴，， ∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°， ∴， ∴， ∴∠BOC＝126°． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 2．如图，直线l1∥l2，A，B是直线l1上两点，C，D是直线l2上两点，AD⊥BC于点E，若∠ADC＝35°，则∠ABC的大小为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠CED＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠ADC＝55°， ∵l1∥l2， ∴∠ABC＝∠BCD＝55°， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，垂直的定义以及直角三角形的两个锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 3．如图，△ABC中有AD，D点在BC上．根据图中标示的度数，则p+q+r之值是（　　） A．150 B．160 C．170 D．180 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【解答】解：由图形可知，在△ACD中，r°+30°+70°＝180°， ∴r°＝80°，即r＝80， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴r°＝p°+q°， ∴p+q＝r＝80， ∴p+q+r＝80+80＝160． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，若∠DAE＝12°，∠B＝45°，则∠C的度数为（　　） A．66° B．67° C．68° D．69° 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣45°＝45°， ∵∠DAE＝12°， ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝45°﹣12°＝33°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝2×33°＝66°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣45°﹣66°＝69°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点E在直线AB上，且DE＝DB，则∠DEC的度数为（　　） A．60° B．75° C．80° D．90° 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D， ∴，BD＝CD， ∵DE＝DB， ∴DE＝DB＝CD， ∴∠BED＝∠B＝30°（等边对等角）， ∴∠CDE＝∠BED+∠B＝30°+30°＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠DEC＝60°， 则∠DEC的度数为60°， 故选：A． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 6．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是（　　） A．20° B．25° C．10° D．15° 【考点】三角形的角平分线、中线和高；角的计算．版权所有 【解答】解：∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝120°， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC120°＝60°， ∵AD⊥BC于点D，∠C＝40°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝60°﹣50°＝10°； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，角的计算，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF； ④BH＝CH． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【考点】等腰三角形的判定；三角形的面积．版权所有 【解答】解：∵BE是△ABC的中线， ∴AE＝CE， ∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确； ∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ABC+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∵CF为△ABC的角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF∠ACB， ∵∠AFC＝∠ABD+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD， ∴∠AFC＝∠AGF，故②正确； ∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠ACD， ∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确； 根据已知条件无法证明BH＝CH，故④错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°． （1）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数； （2）求∠AOB的度数． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；垂线．版权所有 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC50°＝25°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°； （2）在△ABC中，∠C＝70°， ∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°， ∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC， ∴∠BAO∠BAC，∠ABO∠ABC， ∴∠BAO+∠ABO∠BAC∠ABC（∠ABC+∠BAC）110°＝55°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣55°＝125°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 9．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝64°，∠C＝42°． （1）求△ABC的外角∠CAF的度数； （2）求∠DAE的度数． 【考点】三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．版权所有 【解答】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝42°， ∴∠HAC＝∠C＝42°， ∵∠FAH＝∠GAB＝64°， ∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝106°； （2）∵∠HAC＝42°，∠GAB＝64°， ∴∠BAC＝74°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝37°， ∵GH∥BC，AD⊥BC， ∴∠GAD＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣64°＝26°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝11°． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键． 10．探究： （1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°∠A． （2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【解答】证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A． 又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC， ∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB（180°﹣∠A）， 根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A； （2）∠A＝∠P，理由如下： ∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠PBC∠ABC，∠PCE∠ACE． ∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角， ∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P， ∴∠ACP∠ABC∠A， ∴∠ABC∠A＝∠PBC+∠P， ∴∠A＝∠P． （3）∠P＝90°∠A，理由如下： ∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180° ∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°（∠FBC+∠ECB） ＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） ＝180°（∠A+180°） ＝90°∠A． 【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解． 11．特例感知 （1）如图1，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC外角的角平分线． ①若∠A＝50°，则∠P＝　25°　 ； ②判断∠P与∠A的数量关系，并说明理由． 类比迁移 （2）如图2，∠A0CD是△A0BC的外角，∠A0BC的平分线与∠A0CD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An（n为正整数）．设∠A0＝α，则∠An＝　　 ； 拓展应用 （3）如图3，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三等分线与∠ACD的三等分线交于点P．若∠A＝α，∠B＝β（α＞β），请直接写出∠P的度数．（用含α、β的式子表示） 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【解答】解：①∵CP是△ABC外角的角平分线， ∴， ∵BP是∠ABC的平分线， ∴， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠DCP﹣∠PBC）， 又∵∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴， 当∠A＝50°时，∠P＝25°． 故答案为：25°． ②， 理由如下， ∵CP是△ABC外角的角平分线， ∴， ∵BP是∠ABC的平分线， ∴， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠DCP﹣∠PBC）， 又∵∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴； （2）∵∠ACD是△ABC的外角，∠A1CD是△A1BC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， ∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1， ∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD， ∴∠A1∠A， 同理可得∠A2∠A1∠A， ∵∠A0＝α， ∴， 同理：， ∠A4∠A3， … ∴∠An． 故答案为：． （3）如图所示， ∵∠A＝α，∠B＝β（α＞β）， ∴∠ACD＝α+β， ∵∠ABC的三等分线与∠ACD的三等分线交于点P， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 综上所述，角P的度数为或或或． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键． 知 识 清 单 知识点5 三角形的三边关系 定理：三角形的任何两边之和大于第三边. 推论：三角形的任何两边之差小于第三边. 【知识解读】 （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围. （3）证明线段之间的不等关系． 素 养 提 升 考点6 三角形的三边关系 例题讲解： 例1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．3cm，5cm，9cm D．2cm，7cm，9cm 【考点】三角形三边关系．版权所有 【解答】解：A、∵1+2＝3，∴1cm，2cm，3cm不能组成三角形，不符合题意； B、∵2+3＝5＞4，∴2cm，3cm，4cm能组成三角形，符合题意； C、∵3+5＝8＜9，∴3cm，5cm，9cm不能组成三角形，不符合题意； D、∵2+7＝9，∴2cm，7cm，9cm不能组成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和必须大于第三边是解题的关键． 跟踪训练： 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（　　） A．1，1，3 B．3，4，5 C．3，3，6 D．4，5，10 【考点】三角形三边关系．版权所有 【解答】解：A、1+1＜3，不能构成三角形，不符合题意； B、3+4＞5，能构成三角形，符合题意； C、3+3＝6，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意； D、4+5＜10，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 2．已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长不能是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【考点】三角形三边关系．版权所有 【解答】解：∵三角形的两边长分别为2cm和5cm， ∴根据三角形的三边关系，第三边x需满足：5﹣2＜x＜5+2， 解得3＜x＜7． 综上所述，只有C在3和7之间，满足条件． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．5 D．8 【考点】三角形三边关系．版权所有 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜a＜5+3， ∴2＜a＜8， ∴a的值可以是5， 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 4．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm 【考点】三角形三边关系．版权所有 【解答】解：①3+4＜8，不能组成三角形； ②8+7＝15，不能组成三角形； ③13+12＞20，能够组成三角形； ④5+5＜11，不能组成三角形． 故选：C． 【点评】此题考查了三角形的三边关系．解题关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 5．已知三条线段的长分别为3cm、5cm、acm，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 【考点】三角形三边关系．版权所有 【解答】解：依题意有5﹣3＜a＜5+3， 解得：2＜a＜8． 只有选项B在范围内． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系的知识，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 6．学具盒中装有四根长度分别为1cm、3cm、4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【考点】三角形三边关系．版权所有 【解答】解：列表得： 第1根长度 第2根长度 1 3 1 4 1 5 3 4 3 5 4 5 从四根细木棒中取两根细木棒的所有可能情况共有6种，能组成三角形有（1，3）、（3，4）、（3，5）、（4，5）共有4种． 故选：B． 【点评】此题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 7．现有两根长度分别为20cm和30cm的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（　　） A．10cm B．30cm C．50cm D．55cm 【考点】三角形三边关系．版权所有 【解答】解：设第三根木条的长度为xcm， 30﹣20＜x＜30+20， 即：10＜x＜50， 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 例题讲解： 例2．按要求完成下列各小题． （1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长； （2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|． 【考点】三角形三边关系；绝对值．版权所有 【解答】解：（1）由三角形的三边关系可知，8﹣2＜AC＜8+2，即6＜AC＜10， ∵AC为偶数， ∴AC＝8， ∴△ABC的周长为8+2+8＝18； （2）∵△ABC的三边长分别为3，5，a， ∴5﹣3＜a＜5+3， 解得2＜a＜8， ∴|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）＝a+1﹣8+a﹣2a+4＝﹣3． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系、绝对值的性质，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 跟踪训练： 1．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【考点】三角形三边关系；绝对值．版权所有 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， 又∵c为奇数， ∴c＝5， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝a+b﹣c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c＝a+b﹣3c． 【点评】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键． 2．如果a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|c﹣b﹣a|． 【考点】三角形三边关系；绝对值．版权所有 【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0， |a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|c﹣b﹣a| ＝a+b﹣c+b+c﹣a+c﹣b﹣a ＝﹣a+b+c． 故答案为：﹣a+b+c． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理． 3．已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【考点】三角形三边关系；绝对值．版权所有 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8； （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c| ＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c） ＝a+b﹣c﹣a+b﹣c ＝2b﹣2c． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 知 识 清 单 知识点6 三角形的高、中线和角平分线 1、三角形高线、中线、角平分线 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作的垂线段叫做这个三角形的高 在三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做这个三角形的中线 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的高. 2.AD是△ABC中BC边上的高. 3.AD⊥BC于点D. 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°). 1.AD是△ABC的中线． 2.AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1.线段垂直．2.角度相等． 1.线段相等．2.面积相等． 角度相等． 注意事项 1.与边的垂线不同． 2.不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 2. 三角形的重心 一个三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，并且相交于一点，这个点叫做三角形的重心. 素 养 提 升 考点7 三角形的高、中线和角平分线 例题讲解： 例1．如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A．CF B．BE C．CG D．AD 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴△ABC中BC边上的高是AD， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 跟踪训练： 1．画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A．B．C．D． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． 故选：C． 【点评】钝角三角形的高有两条在三角形的外部． 2．下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：对于选项A，∵AD⊥BC，∴线段AD是△ABC的高线，故选项A符合题意； 对于选项B，∵AD⊥AC，但是AD与BC不垂直，∴线段AD不是△ABC的高线，故选项B不符合题意； 对于选项C，∵AD⊥BD，但是AD与BC不垂直，∴线段AD不是△ABC的高线，故选项C不符合题意； 对于选项D，∵AD与BC不垂直，∴线段AD不是△ABC的高线，故选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形高的定义，准确识图，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 3．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则CM是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：A、将△ANM沿NM折叠后，CM并不垂直AB，故此CM不是△ABC的高， B、将△CMB沿CM折叠后，CM并不垂直AB，故此CM不是△ABC的高， C、将△CBM沿CM折叠后，CM垂直AB，故此CM是△ABC的高， D、将△ANM沿NM折叠后，CM并不垂直AB，故此CM不是△ABC的高， 综上所述：C选项符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 例题讲解： 例2．如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：∵BD是AC边上中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝AB﹣BC， ∵△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，且AB＝5cm． ∴5﹣BC＝2，即BC＝3cm． 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟知三角形的角平分线、中线、高的定义解答此题的关键． 跟踪训练： 1. 如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，BD＝5，则△BDE中BD边上的高是（　　） A．3 B．6 C．12 D．1.5 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：过点E作EF⊥BC交BC于点F，如图， 由题意可知：，， ∴， ∵△ABC的面积为30，BD＝5， ∴， 解得EF＝3， 故△BDE中BD边上的高为3． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形中线的性质，关键是三角形中线性质定理的应用． 2．如图，BD、CE是△ABC的两条中线，若，，则△ABC的周长是（　　） A．45 B．35 C．26 D．22 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：∵， ∴BC＝3BE＝12， ∵， ∴， ∵BD、CE是△ABC的两条中线， ∴AB＝2BE＝2×4＝8，AC＝2CD＝2×3＝6， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝26． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知以上知识是解题的关键． 3．如图，若AD是△ABC的中线，BD＝4，则BC的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BD＝4， ∴BC＝2BD＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形中线的定义是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：△ABD的周长为AB+AD+BD，△ACD的周长为AC+AD+DC， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵AB＝8，AC＝6， ∴△ABD与△ACD的周长之差为 AB+AD+BD﹣（AC+AD+DC）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣DC＝AB﹣AC＝8﹣6＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记三角形中线的定义是解题的关键． 5．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则三角形ABC的面积是（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．18cm2 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ACD， ∵CE是△ACD的中线， ∴S△ACD＝2S△ACE， ∴S△ABC＝4S△ACE， ∵， ∴．． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，知道三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 6．如图，BD，CE分别为△ABC，△BCD的中线，若△ABD的面积为16，则△CDE的面积为（　　） A．4 B．8 C．2 D．16 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：∵BD是△ABC的中线，CE是△CDE的中线， ∴S△CBD＝S△ABD＝2S△CDE＝16， ∴S△CDE＝8， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形中线的性质，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 7．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm， ∴AM＝BM， ∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM， ∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm， ∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2， ∴8﹣AC＝2， 解得AC＝6（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键． 8．如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为　2　 ． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：∵AP是△ABC的中线， ∴P是BC的中点， ∴， ∵BC＝8， ∴BPBC8＝4； 又AQ是△ABP的中线， ∴BQBP4＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查三角形角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　50°　 ． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°， Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣30°﹣10°＝50°． 故答案为50°． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD＝10°是正确解答本题的关键． 例题讲解： 例3．已知：如图，D、E、F分别是△ABC的三边的延长线上一点，且AB＝BF，BC＝CD，AC＝AE，S△ABC＝5cm2，则S△DEF的值是（　　） A．15cm2 B．20cm2 C．30cm2 D．35cm2 【考点】三角形的面积．版权所有 【解答】解：连接AD，EB，FC，如图所示： ∵BC＝CD，三角形中线等分三角形的面积， ∴S△ABC＝S△ACD； 同理S△ADE＝S△ADC， ∴S△CDE＝2S△ABC； 同理可得：S△AEF＝2S△ABC，S△BFD＝2S△ABC， ∴S△EFD＝S△CDE+S△AEF+S△BFD+S△ABC＝2S△ABC+2S△ABC+2S△ABC+S△ABC＝7S△ABC； 故答案为：S△EFD＝7S△ABC＝7×5＝35cm2 故选：D． 【点评】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，需要通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果． 跟踪训练： 1．如图是一块面积为42的三角形纸板，点D，E，F分别是线段AF，BD，CE的中点，则阴影部分（△DEF）的面积为（　　） A． B． C．6 D．7 【考点】三角形的面积．版权所有 【解答】解：如图，连接AE、BF、CD， ∵点D是AF的中点， ∴S△ADE＝S阴影， ∵点E是BD的中点， ∴S△ABE＝S△ADE＝S阴影， ∴S△ABD＝2S阴影， 同理可得：S△BCE＝2S阴影，S△ACF＝2S阴影， 根据题意得：7S阴影＝42， 解得：S阴影＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 2．如图，已知△ABC的面积为4，分别延长BC至点D，使得CD＝BC，延长CA至点E，使得AE＝AC，延长AB至点F，使得BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 【考点】三角形的面积．版权所有 【解答】解：如图，连接AD、BE、CF， ∵AE＝AC， ∴S△ABE＝S△ABC＝4， ∵BF＝AB， ∴S△BEF＝S△ABE＝4， ∴S△AEF＝S△ABE+S△BEF＝4+4＝8， 同理可得：S△BDF＝8，S△CDE＝8， ∴S阴影＝S△AEF+S△BDF+S△CDE＝8+8+8＝24， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 3．如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A2020B2020C2020的面积为　72020 ． 【考点】三角形的面积．版权所有 【解答】解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等， △A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等， 所以，7S△ABC， 同理772S△ABC， 依此类推，△A2020B2020C2020的面积为＝72020S△ABC， ∵△ABC的面积为1， ∴72020． 故答案为：72020． 【点评】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键． 例题讲解： 例4．如图，O是△ABC的重心，AO，BO，CO的延长线分别交BC，AC，AB于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（　　） A．AD平分BC B．BE⊥AC C．CF平分∠ACB D．OD＝OE 【考点】三角形的重心．版权所有 【解答】解：∵O是△ABC的重心， ∴AD、BE、CF是△ABC的中线， A、AD平分BC，正确，故A符合题意； B、只有当BC＝AB时，BE⊥AC，故B不符合题意； C、只有当BC＝AC时，CF平分∠ACB，故C不符合题意； D、由重心的性质得到ODAD，OEBE，AD和BE不一定相等，因此OD和OE不一定相等，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质． 跟踪训练： 1．下列四种说法正确的是（　　） A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B．过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．三角形三条高线交于一点 【考点】三角形的角平分线、中线和高；垂线；垂线段最短；平行公理及推论；平行线的判定．版权所有 【解答】解：A、此说法正确，故A符合题意； B、在同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，故B不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C不符合题意； D、锐角三角形和直角三角形的三条高线交于一点，钝角三角形的三条高线所在的直线交于一点，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，垂线，平行公理及推论，关键是掌握三角形高的概念，平行公理，垂线的性质． 2．如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（　　） A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行 B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行 C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行 D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行 【考点】三角形的重心．版权所有 【解答】解：∵△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6， ∴S△ABC＝10+8+6＝24， ∵△ABC的重心为G， ∴S△GBCS△ABC24＝8， ∴S△GBC＝S△DBC＝8， ∴点D、G到BC的距离相等，且位于BC的同侧， ∴DG∥BC，故结论A正确；结论B、C、D错误； 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，熟练掌握三角形的重心的性质是解题关键． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $