《12.1三角形第3课时》教案 2024-2025学年青岛版 七年级数学下册

第十二章 平面图形的认识 12.1.3 三角形的外角   一、教材分析 本节课《三角形的外角》是青岛版初中数学七年级下册第十二章第一节《三角形》第三课时的内容.本节课的学习内容是通过学习三角形的外角的概念，理解并掌握三角形的外角与内角的关系，学会用几何方法证明三角形外角和内角的关系，并且学会应用三角形外角的性质解决复杂几何问题.这是在初步认识三角形的概念和内角基础上进行的，进一步研究三角形的外角的性质，也是进一步认识三角形、多边形等图形的特征的基础.   二、学情分析 学生通过对三角形内角和定理的学习，初步具备了一定的分析与归纳的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化仍有一定困难.尤其是几何公理化推理过程的书写,有的学生不能正确使用数学语言表达问题、进行交流，因此在教学中注重训练学生规范的几何证明书写，培养学生数学交流能力.  三、教学目标 1.理解并掌握三角形外角的定义，能正确识别外角. 2.经历观察、操作、归纳等活动，对三角形外角的性质及其推论进行推导证明，掌握三角形外角性质定理及其推论，培养学生几何证明解决问题的能力. 3.能够应用三角形外角的定理解决简单的几何问题，感受数学语言的简洁美，并能将学到的知识应用到生活中去，提高应用意识.   四、教学重难点 重点：理解并掌握三角形外角的性质. 难点：在三角形外角性质及其推论的推导过程中，提升学生用几何语言准确表达的能力，培养学生应用三角形外角性质解决复杂几何问题.   五、教学过程 · 复习导入 问题1：我们上一节课学习了三角形的内角的性质和推论，那么图中哪些是△ABC的内角？ 师生活动：学生通过已学的知识，经过个人辨别，汇报展示. 答：图中△ABC的内角是∠ABC、∠BAC、∠ACB. 设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下 伏笔. · 探究新知 活动一：探究三角形外角的定义 问题2：将△ABC的三条边分别延长，得到∠1，∠2，∠3.它们有什么共同的特征? 师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，用量角器测量∠1，∠2，∠3与△ABC相邻内角的关系. 答：∠1，∠2，∠3与△ABC相邻内角互为邻补角. 归纳：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角. 问题3：观察△ABC，它有几个外角，试着画出所有的外角？ 师生活动：学生学习三角形外角定义后，在教师的引导下，画出所有的外角. 答：三角形有六个外角，每一个内角的顶点上有两个外角，这两个外角互为对顶角. 设计意图：培养学生自主学习的习惯，在逻辑推理中得出探究答案，提高几何逻辑推导能力. 活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系 问题4：如图,∠1,∠2,∠3为△ABC的三个内角,∠ACD为△ABC的一个外角.试着用量角器测量各个角，观察∠ACD与∠1,∠2,∠3之间的关系. 师生活动：学生用量角器测量后，在教师的引导下，回答问题. 答：∠ACD+∠3=180°；∠ACD=∠1+∠2； ∠ACD>∠1, ∠ACD >∠2. 问题5：如图，在△ABC 中，试着说明∠ACD=∠1+∠2？ 师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习几何证明的方法，然后回答问题. 答：根据三角形的内角和是180°,得 ∠1+∠2+∠3=180°. 根据邻补角的定义,得 ∠ACD+∠3=180°. 所以∠1+∠2+∠3=∠ACD+∠3. 根据等式的基本性质,得 ∠1+∠2=∠ACD. 归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 问题6：试着说明∠ACD>∠1, ∠ACD >∠2？ 师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习几何证明的方法，然后回答问题. 答：由∠1+∠2=∠ACD,可以得到 ∠ACD>∠1和∠ACD>∠2. 归纳：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 设计意图：通过几何推导，进一步巩固三角形外角性质的理解，提高推导证明能力，为后面应用三角形外角性质解决几何问题做准备. 活动三：探究三角形的外角和 问题7：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．试着用量角器测量各个角，观察∠BAE，∠CBF，∠ACD之间的关系. 师生活动：学生用量角器测量后，在教师的引导下，回答问题. 答：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. 问题8：试着说明∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. 师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，学习几何证明的方法，然后回答问题. 答：根据平角等于180°，得 ∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°， ∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）． 根据三角形内角和是180°，得 ∠1+∠2+∠3=180°， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°． 应用新知 经典例题 例1：下列各图中，∠1是△ABC的外角是（）. 解析：根据三角形外角由三角形的一边与另一边的延长线组成，故选D. 师生活动：学生回答，教师点评，全班交流. 师生活动：学生独立思考作答，教师巡视指导，全班展示交流. 例2：如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,∠ABD=∠A,∠C=3∠A。 (1)求△ABC各内角的度数; (2)求∠ADB的度数 解：(1)根据BD是∠ABC的平分线,及角的平分线的定义,得 ∠ABC=2∠ABD。因为∠ABD=∠A, 所以∠ABC=2∠A. 根据三角形的内角和等于180°,得 ∠A+∠ABC+∠C=180°. 因为∠C=3∠A, 所以∠A+2∠A+3∠A=180°, 即6∠A=180°. 所以∠A=30°, 所以∠ABC=60°,∠C=90°. (2)根据BD是∠ABC的平分线,及角的平分线的定义,得 ∠DBC=∠ABC=30°. 根据∠ADB是△DCB的一个外角,及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得 ∠ADB=∠C+∠DBC=90°+30°=120°. 师生活动：学生回答，教师点评，全班交流. 例3：若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.等边三角形. 解析: 根据三角形的外角和为360°，两个外角之和为280°， 所以第三个外角的度数为360°-280°=80°， 所以其相邻内角是180°-80°=100°， 所以该三角形是钝角三角形．故选C． 设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，让学生加深对三角形外角性质的理解，学会应用三角形外角性质解决几何问题.激发学生的求知欲望，感受几何的魅力. · 课堂练习 1. 根据图中所给的条件，求∠1，∠2，∠3的度数. 解析：（1）根据三角形外角的定义，得 ∠1=180°-155°=25°， ∠2=155°-37°=118°， ∠3=180°-∠2=180°-118°=62°. 师生活动：老师提问学生举手回答问题. 2.如图,在△ABC中,∠B=40°,AE 是∠BAC的平分线,∠ACD=106°,求 ∠AEC的度数. 解析：根据三角形外角的性质，得 ∠CAB =∠ACD-∠B=106°-40°=66°， 根据AE是∠BAC的平分线,及角的平分线的定义,得 ∠BAE=∠BAC=33°, ∠AEC=∠B+∠BAE=40°+33°=73°. 师生活动：学生先独立思考再回答问题. 3. 将一副三角板按如图所示的方法叠在一起，则图中∠α=（）. 解：由题意得：∠1=90°-45°=45°， 则∠α=∠1-30°=15°.故答案为15°. 师生活动：学生回答，教师点评，全班交流. 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解三角形内角和是180°及推论. · 课堂检测 限时训练 1. 如图,在△ABC中,点D,E在边BC上,连接AD,AE. (1)∠AED=∠B+______, ∠ADC=∠B+______=∠AED+_______; (2)用 “>”或 “<”填空: ∠AEC______∠ADC,∠B_____∠ADC. 解析：(1) ∠BAE, ∠BAD, ∠EAD;(2)<,<. 2. 如图，在△ABC中，∠ADC=86°，∠BCD=34°，CD平分∠ACB，那么∠A的 度数是（ ）. A．34° B．42° C．60° D．65° 解析：：由题意，得CD平分∠ACB，∠BCD=34°， 根据角平分线定义，得∠ACD=∠BCD=34°， ∠ADC=86°， 根据外角的性质，得∠BDC=180°-86°=94°， ∠A=∠BDC-∠ACD=94°-34°=60°， 故选C． 师生活动：老师提问学生举手回答问题. 3. 某零件的形状如图所示，按规定∠A，∠B，∠D应分别等于90°，20°和30°时 该零件才合格．王师傅量得∠BCD=150°，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：该零件不合格； 结论Ⅱ：已知∠A=90°，当∠B与∠D的度数分别减少2°时，∠BCD的度数会减少2°； A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 解析:延长DC交AB于点E， 由题意，得∠BCD=150°，∠B=20°， 根据外角的性质，得 ∠DEB=150°-20°=130°， ∠A=∠DEB-∠D=130°-30°=100°≠90°， 所以该零件不合格，结论Ⅰ正确； ∠BCD=∠DEB+∠B=∠A+∠D+∠B =90°+∠D+∠B， 当∠B与∠D的度数分别减少2°时， ∴∠BCD=90°+∠D-2°+∠B-2°=（90°+∠D+∠B）-4°， 即∠BCD的度数会减少4°，结论Ⅱ不正确；故选A． 师生活动：老师提问学生举手回答问题. 4. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE=∠A ED，若∠BAD=24°，求∠CDE的度数． 解析  ：由题意，得∠ADC 是△ABD 的外角， 根据外角的性质，得∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+24°． 即∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+24°-∠CDE． 由题意，得∠AED是△CDE的外角，∠B=∠C， ∠AED=∠C+∠CDE=∠B+∠CDE． 因为∠ADE=∠AED， 所以，得∠B+24°-∠CDE=∠B+∠CDE． 即∠CDE=12°． 师生活动：老师提问学生举手回答问题. 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解几何图形所研究的方向. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.三角形的外角是多少？ 3.一个三角形有几个外角？ 4. 三角形的外角与不相邻的两个内角的关系如何？ 5. 如何推导验证三角形的外角与不相邻的两个内角的关系？ 6.三角形的外角和. 答： 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 实践作业 如图为一个五角星，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？快跟小伙伴们去试一试吧！ 学科网（北京）股份有限公司 $$