专题05平行四边形易错必刷题型专项训练(18大题型共计54道题)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形全章高频易错点，通过18类题型系统梳理性质判定应用，结合典题特征与易错点分析，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|题型01-02（3题）|对边对角关系分析、隐含条件挖掘|从基础计算到推理证明，构建性质应用逻辑链| |判定应用|题型03-04（3题）|判定定理选择、多条件补充|明确判定条件与图形特征的对应关系| |计数与存在性|题型05-07（3题）|分类计数法、中点坐标公式|结合图形组合与坐标特征，强化空间观念| |综合应用|题型08-18（12题）|动态问题分类讨论、辅助线添加|从单一知识点到跨知识综合，培养数学思维|

专题05平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总平行四边形全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.由平行四边形性质求解 题型02.由平行四边形性质证明 题型03.判断能否构成平行四边形 题型04.添条件成为平行四边形 题型05.数图形中平行四边形的个数 题型06.求构平行四边形的点的个数 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.由平行四边形性质与判定求解 题型09.由平行四边形性质与判定证明 题型10.平行四边形性质与判定的应用 题型11.平行四边形与角平分线综合 题型12.平行四边形与对角线综合 题型13.平行四边形与坐标系综合 题型14.平行四边形与折叠问题 题型15.平行四边形与动点问题 题型16,平行四边形与最值问题 题型17.平行四边形存在性问题 题型18.平行四边形与全等三角形综合 易错必刷题型01.由平行四边形性质求解 典题特征：已知平行四边形的边长、角度、对角线长度，求未知边长、角度、周长、面积等。 易错点：①混淆对边/对角、邻边/邻角的关系；②忽略对角线互相平分的隐含条件；③计算周长/面积时漏乘或错用公式。. 1．如图在平行四边形中，是的3倍，则________°． 【答案】 【分析】利用平行四边形邻角互补以及对角相等的性质，结合已知条件求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 2．在中，连接，过点作交于点．若且，则(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和求得，进而求得，最后根据平行四边形对角相等，即可得出答案． 【详解】解：于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 3．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，可证明，则可证明； （2）根据（1）的结论可证明，即，由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型02.由平行四边形性质证明 典题特征：以平行四边形为载体，证明线段相等、角相等、直线平行/垂直等。 易错点：①证明逻辑跳步，未用平行四边形性质推导；②混淆性质与判定定理；③忽略图形中的隐含条件（如对边平行带来的内错角相等）。 4．如图，的对角线、相交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，故A，B，C正确， 而属于菱形特有的性质，一般平行四边形不一定具有，故D错误． 5．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 【答案】16 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明，，再求出，进而计算即可． 【详解】解：由知，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为． 6．如图，在平行四边形中，点E在边上，连接，，恰好是的平分线，点F在上，，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明，结合已知条件进一步可得结论； （2）证明，，可得，再进一步证明即可. 【详解】（1）证明：∵恰好是的平分线， ∴， ∵，， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴. 易错必刷题型03.判断能否构成平行四边形 典题特征：给出四边形的边长、角度、对角线关系，判断是否为平行四边形。 易错点：①误用“一组对边平行，另一组对边相等”作为判定依据；②忽略“两组对边分别相等”“对角线互相平分”等判定定理的适用条件；③漏看图形中的隐藏条件。 7．下面给出了四组四边形中，，，的度数之比，其中能确定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法直接判断，即可求解． 【详解】解：， ，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 8．在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是________．（写出一种即可，填序号） 【答案】①③（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法两组对角相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形的条件可以是①③， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①③（答案不唯一）． 9．四边形的对角线、相交于点O，不能判定四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，能判定四边形是平行四边形，此项不符题意； 选项B中，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，能判定四边形是平行四边形，此项不符题意； 选项C中，，符合“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，能判定四边形是平行四边形，此项不符题意； 选项D中，满足该条件的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形，此项符合题意． 易错必刷题型04.添条件成为平行四边形 典题特征：给出四边形的部分条件（如一组对边平行），补充一个条件使四边形成为平行四边形。 易错点：①补充的条件不充分（如仅给一组对边相等）；②补充的条件与已知条件重复；③忽略多种符合条件的答案（漏解）。 10．如图，在四边形中，已知，添加一个条件，可使四边形是平行四边形．下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加，结合，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加，结合，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、添加，结合，不可以判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形也满足一组对边相等，另一组对边平行，故此选项符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意． 11．探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【答案】①② 【分析】根据平行四边形的判定定理，分别判断三种作图方法得到的四边形是否满足平行四边形的判定条件即可． 【详解】①由作图可得，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故①正确； ②由作图可得，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故②正确； ③由作图可得四边形是平行四边形，故③错误． 故答案为：①②． 12．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 易错必刷题型05.数图形中平行四边形的个数 典题特征：给出由平行线构成的网格、线段组合，数其中平行四边形的数量。 易错点：①漏数小平行四边形组合成的大平行四边形；②重复计数；③忽略图形中的隐藏平行线。 13．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 14．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 【详解】解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 15．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 易错必刷题型06.求构平行四边形的点的个数 典题特征：已知平面内3个点的坐标，求第4个点使4个点构成平行四边形，或求点的坐标。 易错点：①漏解（3个点对应3种不同的平行四边形构造方式）；②用错平行四边形的坐标规律（如中点坐标公式）；③计算坐标时出错。 16．以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 17．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 18．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 易错必刷题型07.证明四边形是平行四边形 典题特征：给出四边形的边、角、对角线条件，证明该四边形为平行四边形。 易错点：①选错判定定理（如用“一组对边平行且相等”却只证明了平行）；②证明过程逻辑不严谨；③忽略图形中的隐含条件（如全等三角形带来的边相等）。 19．如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵在锐角三角形中，是边上的中线 ∴ 由作图得， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 20．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是__________，依据是______________． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，尺规作图的性质，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据尺规作图的结果，得到四边形两组对边分别相等，再依据平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】解：以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 两弧相交于点D，连接AD、CD； 此时的长度等于半径的长度，的长度等于半径的长度 即， ∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形． ∴依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 21．如图，，是四边形的对角线上的两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】证明，根据全等三角形的性质可知，，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 在和中， ∴ ∴, ∴四边形是平行四边形． 易错必刷题型08.由平行四边形性质与判定求解 典题特征：结合平行四边形的性质和判定，求解边长、角度、坐标等综合问题。 易错点：①混淆性质与判定的使用场景；②忽略多解情况；③计算时漏用条件导致错误。 22．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为_________． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 故答案为：． 23．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接、，若已知，且，则的面积为（   ） A．3 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，且， ∴， ∵点在上， ∴． 24．如图，点为线段上一点，分别以、、为底作顶角为的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在的同侧，点在另一侧）． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)连接，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】此题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、直角三角形中30度角的性质等知识点；熟练掌握30度的等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）构建等边三角形，先证明四边形、四边形是平行四边形，得对边相等，再证明是等边三角形，可得出结论； （2）由证明，可得，，所以是等边三角形； （3）过E作于M，先得，，证明，根据勾股定理可得的长． 【详解】（1）证明：延长交于H，连接， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴， 同理， ∴四边形、四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：如图3，过E作于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 中，， 由①知：是等边三角形， ∴． 易错必刷题型09.由平行四边形性质与判定证明 典题特征：以平行四边形为载体，结合性质与判定，证明线段/角的关系、其他四边形的形状等。 易错点：①证明逻辑混乱，性质与判定混用；②跳步证明，缺少关键推导步骤；③忽略辅助线的合理添加。 25．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段和的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是____________． 【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【分析】根据题意可证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得到． 【详解】解：蕴含的数学原理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”． 26．如图，在中，点、分别在、的延长线上，且满足，若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，即；再证明，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 27．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，垂足分别为E，F，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形性质得到且，再证明，得到，结合，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 又 ，， ， 四边形是平行四边形． 易错必刷题型10.平行四边形性质与判定的应用 典题特征：结合实际生活场景（如测量、裁剪、设计），用平行四边形知识解决问题。 易错点：①无法将实际问题转化为平行四边形模型；②忽略实际条件对图形的限制；③计算结果不符合实际意义。 28．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是______．    【答案】①④/④① 【分析】根据平行四边形的判定和性质即可判断． 【详解】解：两组对边的长度分别相等， 四边形是平行四边形，故①正确， 向右扭动框架， 的长度变大，故②错误， 平行四边形的底不变，高变小了， 平行四边形的面积变小，故③错误， 平行四边形的四条边不变， 四边形的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质． 29．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 30．如图，，E、G是边上两点，且，与交于点F，F恰是的中点，，． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）由平行四边形的性质得到，，等量代换得到，然后结合即可证明出四边形是矩形； （3）首先证明出，得到，，设，则，，根据列方程求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）解：∵由（1）得：四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形； （3）解：∵F恰是的中点 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ 设，则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 易错必刷题型11.平行四边形与角平分线综合 典题特征：平行四边形中出现角平分线，求角度、边长、证明等腰/等边三角形等。 易错点：①忽略角平分线带来的等角关系；②漏看“角平分线+平行线”形成的等腰三角形；③计算角度时错用内角和定理。 31．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点，若，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 的角平分线交于点E，的角平分线交于点， ， ， ， ． 32．如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；利用三角形面积公式可得出④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵，，， ∴点O为的中点，点E为的中点， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即， ∴，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 33．如图，在五边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若，，求平行线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可知，再根据五边形的内角和可得，再根据角平分线的定义求得，再根据四边形的内角和即可求解； （2）根据在直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴, 在五边形中， ∴, ∵平分，平分， ∴, , （2）解：过点作, ∴, ∵，， ∴, ∴, ∴, 则平行线与之间的距离为． 易错必刷题型12.平行四边形与对角线综合 典题特征：围绕平行四边形的对角线展开，求对角线长度、线段范围、面积等。 易错点：①误用对角线相等的性质（仅矩形/正方形满足）；②忽略对角线互相平分的隐含条件；③用勾股定理计算时出错。 34．如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，过点O作，分别交于点E、F，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，连接，得证是等腰直角三角形，结合勾股定理得，，又因为平行四边形的性质以及，故是的垂直平分线，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 则， ∴， 解得， 即， ∴， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 即， 在中，， ∴， 解得． 35．如图，在中，对角线交于点O，过点O作，分别交于点E，F，连接BE．若．有下列说法：①的周长等于周长的一半；②四边形的面积是面积的一半；③；④，其中，正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】推导出，得到，推导出是的垂直平分线，得到，则，故①正确；推导出，则②正确；作的中点，连接， 推导出是等边三角形，得到，则，故③正确；根据勾股定理，求出，，则，故④正确，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ，故①正确 ， ，故②正确； 作的中点，连接，如图 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，①②③④都正确． 36．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 易错必刷题型13.平行四边形与坐标系综合 典题特征：平面直角坐标系中，平行四边形的顶点坐标相关问题（求坐标、边长、面积等）。 易错点：①用错中点坐标公式；②漏解（平行四边形的顶点顺序不唯一）；③计算坐标时符号错误。 37．如图，平行四边形中，若平分交直线于点，点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形的性质和平行线、角平分线的性质推出等腰三角形，进而求出的长度，最后结合点的坐标求出点的坐标． 【详解】解：点， ． 四边形是平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． 点的坐标为，且轴， 点的纵坐标为，横坐标为． 故D点的坐标是． 38．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，B的坐标为，，．按以下步骤作图：以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；作射线交于点E，若，点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作轴，过作，先得到，进而得到点坐标，再证，则，然后可得点坐标． 【详解】解：过作轴，过作， ，则， ，又， ， ， ， ， ，则， 由作图可知为的角平分线， ， 又， ， ， ， ，即． 39．如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形性质及勾股定理，求得，得 ，进而得 ． （2）利用同高三角形面积比等于底边比，得出． （3）由 得 ，推出 为等腰三角形．利用平行线性质转化角，结合题设角关系，推导出 为 的角平分线．再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形的面积比得出 ，求得 ，从而算出 的横坐标． 【详解】（1）解：由得， 又∵，故． ∵四边形为平行四边形， ∴且． ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴ （2）解：如图，连接， ∵， ∴的面积为 （3）解：当时，即，解得，即， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即点E的横坐标为． 【点睛】这道题是一道典型的初中几何综合压轴题，融合了坐标系、平行四边形性质、勾股定理以及角平分线性质． 1．数形结合：第（1）、（2） 问充分利用了坐标系的特点，将几何长度转化为坐标运算，体现了“以数解形”的思想． 2．转化思想：第 （3） 问中，面对复杂的角关系式，通过平行线性质和等腰三角形性质，将其转化为“角平分线”这一几何模型，是解题的关键突破点． 3．面积法：利用“等高三角形面积比等于底边比”建立面积关系，进而求出线段比，是处理此类几何难题的常用高级技巧． 易错必刷题型14.平行四边形与折叠问题 典题特征：平行四边形沿某条直线折叠，求角度、边长、坐标、重叠部分面积等。 易错点：①忽略折叠前后对应边/角相等的性质；②漏看折叠后的图形位置变化；③计算重叠部分面积时出错。 40．如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 【答案】19 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质求出的度数，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出和的长，根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列出方程求出的值，再根据平行线的性质和折叠的性质证得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】过点作交的延长线于点． 在中，，，，． ， ， ． 在中，， ． 由勾股定理可知：． 由折叠的性质可知，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ． ， ． 由折叠可知， ， ． ． 41．已知在平行四边形中， ，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（  ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】过点B作交延长线于点G，过点E作于点H，先证明是等腰直角三角形，可得，设，则，，在中，根据勾股定理可得， ，从而得到，再由折叠的性质可得，，再结合，可得，从而得到是等腰直角三角形，可求出，，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作交延长线于点G，过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，图形的折叠，作适当辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 42．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）． 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 易错必刷题型15.平行四边形与动点问题 典题特征：平行四边形边上存在动点，求运动时间、线段长度、图形形状变化等。 易错点：①忽略动点的运动范围（如在线段/射线/直线上）；②漏解（动点在不同位置的情况）；③列方程时错用运动速度与时间的关系。 43．如图，平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点B作，交于点，则的最小值为的长；在中，，，即可求解． 【详解】解：过点B作，交于点，如图所示： 根据垂线段最短可知：的最小值为的长； ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 44．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线得到，由图形可知当N在B点处时，最大，即最大． 【详解】解：如图：连接，过点G作交于点H， ∵平行四边形中,， ∴， ∵G是的中点，， ∴ ∵点E，F分别为的中点， ∴， ∴最大时，最大， ∴N与B重合时最大， 在中，，则， ∴，， ∴ ∴ ∴，即长度的最大值为． 故选：A． 45．如图所示，在平行四边形中，，．点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（单位：）且，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值． 【答案】或6或 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得当时，以点P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，最后根据题意用含有t的式子表示出和，注意动点Q在间往返运动，则需要根据Q的位置分类讨论，列出方程，求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 当时，以点P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意可得，动点P的路程是，则， ①当点Q的运动路线是时，，， 则，解得：，不符合题意，舍去； ②当点Q的运动路线是时，，， 则，解得：； ③当点Q的运动路线是时，，， 则，解得：； ④当点Q的运动路线是时，，， 则，解得：； 综上所述，或6或时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 易错必刷题型16,平行四边形与最值问题 典题特征：求平行四边形中线段、周长、面积的最大值/最小值（如最短路径、最大面积）。 易错点：①误用最值模型（如将军饮马、垂线段最短）；②忽略图形的限制条件；③计算时漏考虑极端情况。 46．如图，在中，，，，点为边上的一个动点，以、为邻边构造，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，过点作于点，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，当时，取得最小值，最小值为，即可得出结果． 【详解】解：如图，设与交于点，过点作于点， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． 47．如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 48．如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上位于原点O左侧，点，点，并且实数a，b满足，连接． (1)求出点D的坐标及的面积； (2)如图1，过点作交于点E，在上取一点F，使， ①求的度数； ②证明：； (3)如图2，若点M、N在直线上，且，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2)①；②见解析 (3) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出的值，确定点的坐标，求出相关线段的长度即可求解； （2）①根据等腰直角三角形的性质求出角的度数； ②利用全等三角形的判定和性质证明； （3）以为邻边作平行四边形，则，过点作轴于点，连接，利用平行四边形的性质以及两点之间线段最短求出最值． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：①由（1）可知是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解： 如图，以为邻边作平行四边形，则，过点作轴于点，连接， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当G，M，C三点共线时，最小， ∴此时最小为． 易错必刷题型17.平行四边形存在性问题 典题特征：已知部分点/动点，判断是否存在满足条件的平行四边形，或求参数值。 易错点：①漏解（平行四边形的构造方式不唯一）；②用错坐标规律或判定定理；③忽略动点的运动时间范围。 49．如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】 8 或 【分析】(1)过C作于E， 根据含角的直角三角形的性质，结合点C坐标求出，从而求出的长，最后求出的长； (2)首先， 设运动时间为秒，则，接着， 求得， ，，然后，设，再分为平行四边形对角线，为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解． 【详解】解：（1）如图1，过C作于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）：设运动时间为秒，则． 在中，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图1，过P作于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D在y轴上， ∴设， 如图2，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 如图3，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 综上，点D的坐标为或． 50．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当_____时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】1或3 【分析】利用A、B、C的坐标可得到，根据平行四边形的判定，当时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论，计算即可． 【详解】解：， 轴， ， 当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 若时，，此时，解得； 若时，，此时，解得； 综上所述，当t为1或3时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 51．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)① （用含t的式子表示） ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或12 【分析】（1）①由运动知，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时，由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①由运动知，， ∵在线段上取点E，使得， ∴， 故答案为：； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，或；理由如下： 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得：． ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，或12秒． 易错必刷题型18.平行四边形与全等三角形综合 典题特征：平行四边形中结合全等三角形，证明线段/角相等、求解边长等。 易错点：①找错全等三角形的对应边/角；②忽略平行四边形性质对全等的辅助作用；③证明全等时条件不充分。 52．如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______．    【答案】24 【分析】证明，可得，则可推出，由勾股定理求出的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 53．如图，在中，对角线，相交于点，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，，，过点作于点，过点作的延长线于点，构造全等三角形，利用勾股定理表示出边的关系，进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 过点作于点，过点作，交延长线于点， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； ∵在中，， 又， ∴， ∴， ∵在中，， t又， ∴， ∴， ∴． 54．如图，在中，对角线交于点，已知分别为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，得到，据此证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总平行四边形全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.由平行四边形性质求解 题型02.由平行四边形性质证明 题型03.判断能否构成平行四边形 题型04.添条件成为平行四边形 题型05.数图形中平行四边形的个数 题型06.求构平行四边形的点的个数 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.由平行四边形性质与判定求解 题型09.由平行四边形性质与判定证明 题型10.平行四边形性质与判定的应用 题型11.平行四边形与角平分线综合 题型12.平行四边形与对角线综合 题型13.平行四边形与坐标系综合 题型14.平行四边形与折叠问题 题型15.平行四边形与动点问题 题型16,平行四边形与最值问题 题型17.平行四边形存在性问题 题型18.平行四边形与全等三角形综合 易错必刷题型01.由平行四边形性质求解 典题特征：已知平行四边形的边长、角度、对角线长度，求未知边长、角度、周长、面积等。 易错点：①混淆对边/对角、邻边/邻角的关系；②忽略对角线互相平分的隐含条件；③计算周长/面积时漏乘或错用公式。. 1．如图在平行四边形中，是的3倍，则________°． 2．在中，连接，过点作交于点．若且，则(      ) A． B． C． D． 3．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 易错必刷题型02.由平行四边形性质证明 典题特征：以平行四边形为载体，证明线段相等、角相等、直线平行/垂直等。 易错点：①证明逻辑跳步，未用平行四边形性质推导；②混淆性质与判定定理；③忽略图形中的隐含条件（如对边平行带来的内错角相等）。 4．如图，的对角线、相交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 6．如图，在平行四边形中，点E在边上，连接，，恰好是的平分线，点F在上，，连接．求证： (1)； (2)． 易错必刷题型03.判断能否构成平行四边形 典题特征：给出四边形的边长、角度、对角线关系，判断是否为平行四边形。 易错点：①误用“一组对边平行，另一组对边相等”作为判定依据；②忽略“两组对边分别相等”“对角线互相平分”等判定定理的适用条件；③漏看图形中的隐藏条件。 7．下面给出了四组四边形中，，，的度数之比，其中能确定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 8．在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是________．（写出一种即可，填序号） 9．四边形的对角线、相交于点O，不能判定四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型04.添条件成为平行四边形 典题特征：给出四边形的部分条件（如一组对边平行），补充一个条件使四边形成为平行四边形。 易错点：①补充的条件不充分（如仅给一组对边相等）；②补充的条件与已知条件重复；③忽略多种符合条件的答案（漏解）。 10．如图，在四边形中，已知，添加一个条件，可使四边形是平行四边形．下列错误的是（    ） A． B． C． D． 11．探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 12．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 易错必刷题型05.数图形中平行四边形的个数 典题特征：给出由平行线构成的网格、线段组合，数其中平行四边形的数量。 易错点：①漏数小平行四边形组合成的大平行四边形；②重复计数；③忽略图形中的隐藏平行线。 13．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 14．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 15．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错必刷题型06.求构平行四边形的点的个数 典题特征：已知平面内3个点的坐标，求第4个点使4个点构成平行四边形，或求点的坐标。 易错点：①漏解（3个点对应3种不同的平行四边形构造方式）；②用错平行四边形的坐标规律（如中点坐标公式）；③计算坐标时出错。 16．以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 17．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 18．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 易错必刷题型07.证明四边形是平行四边形 典题特征：给出四边形的边、角、对角线条件，证明该四边形为平行四边形。 易错点：①选错判定定理（如用“一组对边平行且相等”却只证明了平行）；②证明过程逻辑不严谨；③忽略图形中的隐含条件（如全等三角形带来的边相等）。 19．如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 20．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是__________，依据是______________． 21．如图，，是四边形的对角线上的两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 易错必刷题型08.由平行四边形性质与判定求解 典题特征：结合平行四边形的性质和判定，求解边长、角度、坐标等综合问题。 易错点：①混淆性质与判定的使用场景；②忽略多解情况；③计算时漏用条件导致错误。 22．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为_________． 23．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接、，若已知，且，则的面积为（   ） A．3 B．12 C．15 D．24 24．如图，点为线段上一点，分别以、、为底作顶角为的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在的同侧，点在另一侧）． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)连接，若，请直接写出的长． 易错必刷题型09.由平行四边形性质与判定证明 典题特征：以平行四边形为载体，结合性质与判定，证明线段/角的关系、其他四边形的形状等。 易错点：①证明逻辑混乱，性质与判定混用；②跳步证明，缺少关键推导步骤；③忽略辅助线的合理添加。 25．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段和的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是____________． 26．如图，在中，点、分别在、的延长线上，且满足，若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 27．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，垂足分别为E，F，求证：四边形是平行四边形． 易错必刷题型10.平行四边形性质与判定的应用 典题特征：结合实际生活场景（如测量、裁剪、设计），用平行四边形知识解决问题。 易错点：①无法将实际问题转化为平行四边形模型；②忽略实际条件对图形的限制；③计算结果不符合实际意义。 28．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是______．    29．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 30．如图，，E、G是边上两点，且，与交于点F，F恰是的中点，，． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． (3)若，，求的长． 易错必刷题型11.平行四边形与角平分线综合 典题特征：平行四边形中出现角平分线，求角度、边长、证明等腰/等边三角形等。 易错点：①忽略角平分线带来的等角关系；②漏看“角平分线+平行线”形成的等腰三角形；③计算角度时错用内角和定理。 31．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点，若，，则的长为 _____． 32．如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 33．如图，在五边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若，，求平行线与之间的距离． 易错必刷题型12.平行四边形与对角线综合 典题特征：围绕平行四边形的对角线展开，求对角线长度、线段范围、面积等。 易错点：①误用对角线相等的性质（仅矩形/正方形满足）；②忽略对角线互相平分的隐含条件；③用勾股定理计算时出错。 34．如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，过点O作，分别交于点E、F，则的长度为_____． 35．如图，在中，对角线交于点O，过点O作，分别交于点E，F，连接BE．若．有下列说法：①的周长等于周长的一半；②四边形的面积是面积的一半；③；④，其中，正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 易错必刷题型13.平行四边形与坐标系综合 典题特征：平面直角坐标系中，平行四边形的顶点坐标相关问题（求坐标、边长、面积等）。 易错点：①用错中点坐标公式；②漏解（平行四边形的顶点顺序不唯一）；③计算坐标时符号错误。 37．如图，平行四边形中，若平分交直线于点，点，则点的坐标是______． 38．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，B的坐标为，，．按以下步骤作图：以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；作射线交于点E，若，点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 39．如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 易错必刷题型14.平行四边形与折叠问题 典题特征：平行四边形沿某条直线折叠，求角度、边长、坐标、重叠部分面积等。 易错点：①忽略折叠前后对应边/角相等的性质；②漏看折叠后的图形位置变化；③计算重叠部分面积时出错。 40．如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 41．已知在平行四边形中， ，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（  ） A． B． C． D．4 42．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 易错必刷题型15.平行四边形与动点问题 典题特征：平行四边形边上存在动点，求运动时间、线段长度、图形形状变化等。 易错点：①忽略动点的运动范围（如在线段/射线/直线上）；②漏解（动点在不同位置的情况）；③列方程时错用运动速度与时间的关系。 43．如图，平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接、，则的最小值是_____． 44．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 45．如图所示，在平行四边形中，，．点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（单位：）且，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值． 易错必刷题型16,平行四边形与最值问题 典题特征：求平行四边形中线段、周长、面积的最大值/最小值（如最短路径、最大面积）。 易错点：①误用最值模型（如将军饮马、垂线段最短）；②忽略图形的限制条件；③计算时漏考虑极端情况。 46．如图，在中，，，，点为边上的一个动点，以、为邻边构造，连接，则的最小值为______． 47．如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 48．如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上位于原点O左侧，点，点，并且实数a，b满足，连接． (1)求出点D的坐标及的面积； (2)如图1，过点作交于点E，在上取一点F，使， ①求的度数； ②证明：； (3)如图2，若点M、N在直线上，且，连接，请直接写出的最小值． 易错必刷题型17.平行四边形存在性问题 典题特征：已知部分点/动点，判断是否存在满足条件的平行四边形，或求参数值。 易错点：①漏解（平行四边形的构造方式不唯一）；②用错坐标规律或判定定理；③忽略动点的运动时间范围。 49．如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 50．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当_____时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 51．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)① （用含t的式子表示） ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 易错必刷题型18.平行四边形与全等三角形综合 典题特征：平行四边形中结合全等三角形，证明线段/角相等、求解边长等。 易错点：①找错全等三角形的对应边/角；②忽略平行四边形性质对全等的辅助作用；③证明全等时条件不充分。 52．如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______．    53．如图，在中，对角线，相交于点，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 54．如图，在中，对角线交于点，已知分别为的中点，连接．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $