专题01 平行四边形中的折叠、定值、最值、动点与新定义问题（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题01 平行四边形中的折叠、定值、最值、动点与新定义问题 题型一：平行四边形中的折叠综合问题 题型二：平行四边形中的定值问题 题型三：平行四边形中的最小值问题 题型四：平行四边形中的最大值问题 题型五：平行四边形中的动点问题 题型六：平行四边形中的新定义综合问题 题型一：平行四边形中的折叠综合问题 方法技巧： 1.折叠后重点分析重合部分的图形特征（如等腰三角形、全等三角形）； 2.求面积时，可通过“整体减空白”或折叠后图形的面积等价转化（如折叠后某三角形面积原平行四边形面积的关系）； 3.探究线段关系时，利用折叠的对称性和平行四边形的对边平行性质，证明线段相等或垂直。 1．（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以平行四边形纸片的折叠为主题开展数学活动．已知平行四边形纸片，．如图1，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点F落在边上，展开后，折痕交于点E，在此基础上，继续沿过点F的直线折叠，使点B的对应点H落在上，展开后折痕交于点G，延长交于点K． 初步探究： （1）求证：四边形是平行四边形． 深入探究： （2）如图2，当平行四边形纸片是矩形，且，时，直接写出此时的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据平行四边形的性质、折叠的性质得出，，进而证明，，可得四边形为平行四边形； （2）在中，利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算可得结论． 【详解】（1）证明：如图，分别标记， 在平行四边形中，，， ， ， 由折叠知，，，，， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； 解：由（1）得四边形为平行四边形， ， 由折叠知，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， ． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，涉及矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山西长治·期中）综合与探究 问题情景：如图1，是平行四边形的对角线，，将沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，求证：四边形是平行四边形． 初步探究： （1）郭鹏同学的证明过程如下： 在平行四边形中，，， ， 折叠， ，，，， ，， ， （依据一）， ， 又 ， 四边形是平行四边形（依据二）． 问题：郭鹏同学的证明过程中，依据一是______；依据二是____________； （2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义来证明．请按赵斌的想法写出证明过程； 深入探究： （3）如图2，连接，，若，，请直接写出四边形的周长． 【答案】（1）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据证明，再根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据折叠性质，平行线的性质，利用平行四边形的定义即可得结论； （3）先根据勾股定理可得，由折叠得：，由勾股定理得的长，即可解答． 【详解】解：（1）郭鹏同学的证明过程中，依据一是：；依据二是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故答案为：，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在平行四边形中，，， ， 由折叠得：，， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形． （3）如图， ，，， ， 折叠， ，，， ，， ，即， ， 同理， ，， ， ， 同理， 四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 题型二：平行四边形中的定值问题 方法技巧： 1.定值判断：通过取动点特殊位置（中点、端点）初步确定定值类型； 2.线段定值：利用平行四边形对角线互相平分、对边相等的性质，结合全等或等腰三角形推导； 3.角度定值：借助平行线的性质、折叠的对称性，转化角度关系，证明其与动点位置无关； 4.面积定值：利用同底等高、等积变换（如三角形面积是平行四边形面积的一半）推导。 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，点、，其中a、b满足，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接． (1)请直接写出______、______、c的坐标是______； (2)连接交于一点E，求； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)，3， (2) (3)的值是定值，定值为3 【分析】本题考查三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用非负数的性质，构建方程组即可解决问题． （2）利用面积法求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：如图2-1中，当点N在线段上时，连接．如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D， ∴， 故答案为：，3，； （2）解：如图1中， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：结论：的值是定值． 理由：如图2-1中，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ∴， ∴， ∴， ∵定值． 如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接． ∵定值， 综上所述，的值是定值，定值为3． 6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，是的中点时，四边形是平行四边形 (3)是定值， 【分析】（1）由菱形的性质得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由菱形的性质得，，结合是的中点时，由平行四边形的判定方法，即可得证； （3）过作交的延长线于，由菱形的性质和等腰三角形的判定及性质得，结合菱形的性质，设，则，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形，， ， ， ， 由对折得：； （2）解：存在，是的中点时，四边形是平行四边形， 证明：如图， 四边形是菱形， ，， ， 是的中点时， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，直角三角形的特征，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，掌握菱形的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图1，在等边中，，点、、分别为边、、的中点，此时被分成4个全等的小等边三角形． 【感知图形】 （1）如图1，________，________． 【特殊情形】 （2）如图2，点是边上的一个动点，，与边交于点．当点与点重合时，求的值． 【一般结论】 （3）如图3，在（2）的条件下，求证：在运动过程中，的结果为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）3，3；（2）3；（3）见解析，定值为3 【分析】本题考查等边三角形性质、三角形中位线定理及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形和中位线性质，通过构造全等三角形转化线段求解定值． （1）利用三角形中位线定理（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合等边三角形三边相等，求出、、的长度，进而计算的值． （2）根据等边三角形性质（三线合一等）和角的关系，得出平分，再利用特殊角度求出，结合线段关系计算的值． （3）通过在上构造点，使，利用全等三角形的判定证明和，将、、进行转化，从而证明为定值并求出该定值． 【详解】（1）∵点、、分别为边、、的中点，是等边三角形，边长为， ∴，，， ∴， 故答案为：3，3； （2）为等边三角形，点为中点， ， ， ， 为等边三角形， ， 即平分， ， ； （3）如图，在上取点，使 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 8．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）小，大；（2）存在，；（3）不是，周长之和的最小值为15 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， 故答案为：小，大； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型三：平行四边形中的最小值问题 方法技巧： 1.线段最小值：利用“垂线段最短”（如动点到定直线的最小距离）、轴对称求最短路径（将军饮马模型，如在平行四边形边上找一点使两条线段和最小）； 2.周长最小值：转化为线段最小值问题，利用平行四边形对边相等的性质简化周长表达式； 3.面积最小值：当平行四边形一边为定值时，高最小则面积最小，结合垂线段最短求解高的最小值。 9．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)如图（1），在直线l上画点，使得的长与小正方形的边长相等，且最小； (2)如图（2），在直线l上画点，使得的长与小正方形的边长相等，且最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键． （1）移动点至，移动点至，连接交直线l于，连接交直线l于，即为所求； （2）移动点至，作点关于直线l的对称点，移动点至，连接交直线l于，连接交直线l于，即为所求； 【详解】（1）解：移动点至，移动点至，连接交直线l于，连接交直线l于，即为所求； 理由：∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴单位长度， ∴，当三点共线时，最小． （2）解：移动点至，作点关于直线l的对称点，移动点至，连接交直线l于，连接交直线l于，即为所求； 理由：∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴单位长度， ∴，当三点共线时，最小，长度固定，故此时最小． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，边上的 D 也是一个格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图， 每个任务的画线不得超过四条． (1)在图①中，先画点F 使四边形是平行四边形，设与相交于点 G ，再在上画出点 P ，使． (2)在图②中，在边上画出点 E ，使． (3)在图②中，在边点画点 H ，使值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形、平行四边形的判定与性质、轴对称-最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行四边形的判定与性质，在点B的上方取点F，使且，则点F即为所求．过点D作的平行线，交于点P，则点P即为所求． （2）在的右侧作，使且，连接交于点E，则点E即为所求． （3）在点C的下方取点G，使，过点G作的平行线，再过点D作的垂线，交于点N，连接交于点H，则点H即为所求． 【详解】（1）解：如图①，在点B的上方取点F，使且， 则四边形是平行四边形， 则点F即为所求． 过点D作的平行线，交于点P， 则点P即为所求． （2）解：如图②，在的右侧作，使且，连接交于点E， 此时为等腰直角三角形， 则， 即， 则点E即为所求． （3）解：如图②，在点C的下方取点G，使，过点G作的平行线，再过点D作的垂线，交于点N，连接交于点H，连接， 此时点D与点N关于对称， ∴，为最小值， 则点H即为所求． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）问题探究 （1）如图1，已知等边的边长为4，则点到的距离为______； （2）如图2，在和中，连接、、，求证：； 问题解决 （3）如图3，某农业观光园中有一块等边三角形的蔬菜种植基地．经测量，，、分别是边、上的点，且满足，是边上的动点（不与端点重合），下方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划以、为邻边构造区域，用来种植新品有机蔬菜，扩建后沿修一条灌溉水渠．为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短，请求出水渠的最小长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）水渠的最小长度为 【分析】本题考查的是等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形判定与性质， （1）作，垂足为H，得出，根据勾股定理求出结论即可； （2）根据平行四边形性质证明，即可证明结论； （3）作交于点，连接、、，先证明为等边三角形，为等边三角形，进而证明四边形是平行四边形，，点在射线上运动，当时，即取最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高，求出结论即可． 【详解】解：（1）作，垂足为H， 等边的边长为4， ， 在中，， 故答案为：． （2）四边形、四边形都是平行四边形， ，，，， ，， ，即， ， ． （3）如图，作交于点，连接、、， 为等边三角形， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，即， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， ， ， 点在射线上运动，当时，即取最小值， 根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高， 过点作于点，则， ， 水渠的最小长度为． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，．先证明，得出，，则四边形的周长，当最小时，四边形 周长最小，求出此时的即可解答； （2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，得出周长的最小值是，再利用平行四边形的判定与性质求得的面积． 【详解】解：（1）连接，，如图，   点是等边的内心， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 四边形的周长， ， 当时，最小，四边形周长最小，此时， 四边形的周长的最小值； （2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，如图，    则，． 两点之间线段最短， ， 周长， 周长的最小值是， 、关于对称，、关于对称， ，，，，， ． ， ， ， 过点作，   ，， ． 即、、和的最小值为， 此时， 的面积为， 当的面积最小时，四边形的面积最大， 在中，，上的高（定角定高模型）， 当时，的面积最小，且最小值为， 四边形的面积最大值， 当，时，，得四边形为平行四边形， 此时平行四边形的面积四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用轴对称的性质添加辅助线是解题的关键． 题型四：平行四边形中的最大值问题 方法技巧： 1.线段最大值：利用平行四边形对角线的性质（对角线小于邻边之和）、动点在射线端点或线段端点时取最大值； 2.面积最大值：当平行四边形的底为定值时，高最大则面积最大（如动点到定边的距离最大），或利用二次函数建模（设动点坐标，用函数表达式求最大值）； 3.结合旋转/折叠：将线段转化到同一直线上，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）求最大值。 13．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，是由边长为1的正方形构成的网格，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出以为一边的格点． (2)在图2中，画出以为对角线的格点，且它的面积最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了网格中作平行四边形， （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意作出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 14．（24-25八年级下·江西上饶·期末）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点B，C，D，E的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B，C，D，E都在滑轨上．当窗户开到最大时，． (1)若，则支点P与支点A的距离为______cm； (2)窗户从关闭状态到开到最大的过程中，求支点P移动的距离． 【答案】(1) (2)支点P移动的距离为 【分析】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，根据实际情况构建数学模型． （1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵当窗户开到最大时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当关闭状态下，， ∴窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为． 15．（23-24八年级上·福建泉州·月考）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)四边形______平行四边形（是或不是） (2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有； (3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)四边形的面积不变，为定值 【分析】（1）根据可知四边形是平行四边形，即可得答案； （2）根据平行四边形及，可证得和为等边三角形，则，，，再结合是等边三角形，进而证得，利用即可证明，即可得结论； （3）根据，得，故由，可知四边形的面积是定值，作于点，由等边三角形的性质求得，进而求得即可求得，可得定值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：是； （2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴． ∴； （3）四边形的面积不变，为定值． 理由如下：由（2）得，则， 故，是定值， 作于点， ∵， ∴，则， ∴， 综上，四边形的面积不变，为定值． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 16．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算： (1)画出平行四边形，点均在小正方形的顶点上，且此四边形的面积最大； (2)以为腰画等腰三角形，点在小正方形的顶点上（不与重合），且的面积为4； (3)连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）平移，使得之间的距离尽可能大，结合网格，即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理可得，进而根据三角形的面积公式得出的面积为4； （3）连接，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 理由如下，如图所示， ∵ ∴ （3）连接，则 题型五：平行四边形中的动点问题 方法技巧： 1.设动点的运动时间为，分别表示出对应线段长度； 2.分类讨论：按动点所在边的不同位置（如在对边、邻边）分类，结合平行四边形的判定条件列方程； 3.探究数量关系：通过全等、相似或代数运算，证明两个动点对应的线段、角度存在固定数量关系（如倍数关系）。 17．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，点P从点A出发，沿AD方向以每秒1cm的速度向终点D运动，连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为． (1)求BQ的长（用含t的代数式表示）； (2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值； (3)是否存在某一时刻，使点O是在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． （1）先证明，可得出，则BQ即可用t表示； （2）由题意知，根据，列出方程即可得解； （3）先求出OA和OE的长，若O在线段AP的垂直平分线上，则，在中，根据勾股定理得：，列方程可得t的值． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， 当时，四边形ABQP是平行四边形， 即， ， ∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形； （3）当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上， 如图， 中， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵OE是AP的垂直平分线， ∴ 由勾股定理得：， ∴， ∴或（舍）， ∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上． 18．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即 ，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）解：由题意得：， ， 或 ， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）解： ， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即 ， 解得：， 即当秒时，． 19．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，为的对角线，的交点，，是上的一动点，是上的一动点（点，不与端点重合）．若，，，连接，． (1)求线段的长． (2)若的面积为，的面积为，的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着的增大，的值是如何发生变化的． 【答案】(1) (2)的值不变， 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，于是得到结论； （2）如图所示，连接，由四边形是平行四边形，得到，求得，于是得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ． ， ． （2）解：的值不变． 如图，连接． 四边形是平行四边形，， ． ， ， ． ，， ，， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题是平行四边形综合性题目，考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，解决本题的关键是灵活运用知识点. 题型六：平行四边形中的新定义综合问题 方法技巧： 1.深度解析新定义：明确新定义的约束条件（如“限定动点范围”“特殊图形特征”）； 2.探究存在性：假设符合条件的图形存在，结合新定义和平行四边形性质列方程，判断方程是否有解； 3.求取值范围：利用新定义的条件建立不等式（组），结合平行四边形的边长、角度限制，求解参数的取值范围。 21．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． (1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上； (2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形； (3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4或7或 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意利用网格特点做出图形即可； （2）连接，证明，则，即可得到结论； （3）分四种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求， （2）连接，   四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ， ，， )， ， 四边形是“等邻边四边形”； （3）在中，，， ∴，， 过点M作于H，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 当时，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，设，则，作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴ 即， ∵， ∴这种情况不存在， 综上可知，的长度为4或7或． 22．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． (1)①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； (2)如图2，已知平行六边形满足．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)见详解 (3) 【分析】（1）①连接，根据平行线的性质即可解决问题；同①，根据平行线的性质即可解决问题； （2）延长交于点，延长交于点，可得四边形为平行四边形，证明，得，进而可以解决问题； （3）过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接，可得四边形是平行四边形，然后证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：①， 证明：连接，如图 1，     ， ， ， ． ②同①，连接， ， ， ， ， 即． 连接， ， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）证明：如图2，延长交于点，延长交于点， ， ∴四边形为平行四边形，， ， ∵， ∴， ∴， 由（1）得，， ， ， ， ． （3）解：根据（2）可得，，， ， ， 如图3，过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， ∴平行六边形的面积的， ∴与平行六边形的面积之比是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要查了三角形的中位线的性质定理，等腰三角形的两底角相等的性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据三角形的中位线的性质定理可得且，且，再结合等腰三角形的两底角相等的性质，可得，从而得到，然后根据，可得，即可求解； （2）取中点，连接，，根据三角形的中位线的性质定理可得，，，，从而得到，，进而得到，，继而得到，可证明为等边三角形，即可求证． 【详解】（1）解：∵，，分别是，，的中点， ∴且，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，取中点，连接，， ∵点，是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 24．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据勾股定理和“等邻边四边形”的定义求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）如图所示，过点B作交于点G，首先求出，得到，求出，然后根据题意分3种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， 图（甲）和图（乙）中，； 图（丙）中； ∴四边形是等邻边四边形； （2）∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是“等邻边四边形”； （3）如图所示，过点B作交于点G ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当四边形是“等邻边四边形”，且时， ∴； 如图所示，当时，过点F作交于点H，连接 ∴ ∵， ∴， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴此时四边形是“等邻边四边形”； ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 如图所示，当时，过点M作交于点M ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行四边形中的折叠、定值、最值、动点与新定义问题 题型一：平行四边形中的折叠综合问题 题型二：平行四边形中的定值问题 题型三：平行四边形中的最小值问题 题型四：平行四边形中的最大值问题 题型五：平行四边形中的动点问题 题型六：平行四边形中的新定义综合问题 题型一：平行四边形中的折叠综合问题 方法技巧： 1.折叠后重点分析重合部分的图形特征（如等腰三角形、全等三角形）； 2.求面积时，可通过“整体减空白”或折叠后图形的面积等价转化（如折叠后某三角形面积原平行四边形面积的关系）； 3.探究线段关系时，利用折叠的对称性和平行四边形的对边平行性质，证明线段相等或垂直。 1．（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以平行四边形纸片的折叠为主题开展数学活动．已知平行四边形纸片，．如图1，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点F落在边上，展开后，折痕交于点E，在此基础上，继续沿过点F的直线折叠，使点B的对应点H落在上，展开后折痕交于点G，延长交于点K． 初步探究： （1）求证：四边形是平行四边形． 深入探究： （2）如图2，当平行四边形纸片是矩形，且，时，直接写出此时的长． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当 为直角三角形时，求的长度． 3．（24-25八年级下·山西长治·期中）综合与探究 问题情景：如图1，是平行四边形的对角线，，将沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，求证：四边形是平行四边形． 初步探究： （1）郭鹏同学的证明过程如下： 在平行四边形中，，， ， 折叠， ，，，， ，， ， （依据一）， ， 又 ， 四边形是平行四边形（依据二）． 问题：郭鹏同学的证明过程中，依据一是______；依据二是____________； （2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义来证明．请按赵斌的想法写出证明过程； 深入探究： （3）如图2，连接，，若，，请直接写出四边形的周长． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 题型二：平行四边形中的定值问题 方法技巧： 1.定值判断：通过取动点特殊位置（中点、端点）初步确定定值类型； 2.线段定值：利用平行四边形对角线互相平分、对边相等的性质，结合全等或等腰三角形推导； 3.角度定值：借助平行线的性质、折叠的对称性，转化角度关系，证明其与动点位置无关； 4.面积定值：利用同底等高、等积变换（如三角形面积是平行四边形面积的一半）推导。 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，点、，其中a、b满足，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接． (1)请直接写出______、______、c的坐标是______； (2)连接交于一点E，求； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图1，在等边中，，点、、分别为边、、的中点，此时被分成4个全等的小等边三角形． 【感知图形】 （1）如图1，________，________． 【特殊情形】 （2）如图2，点是边上的一个动点，，与边交于点．当点与点重合时，求的值． 【一般结论】 （3）如图3，在（2）的条件下，求证：在运动过程中，的结果为定值，并求出这个定值． 8．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 题型三：平行四边形中的最小值问题 方法技巧： 1.线段最小值：利用“垂线段最短”（如动点到定直线的最小距离）、轴对称求最短路径（将军饮马模型，如在平行四边形边上找一点使两条线段和最小）； 2.周长最小值：转化为线段最小值问题，利用平行四边形对边相等的性质简化周长表达式； 3.面积最小值：当平行四边形一边为定值时，高最小则面积最小，结合垂线段最短求解高的最小值。 9．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)如图（1），在直线l上画点，使得的长与小正方形的边长相等，且最小； (2)如图（2），在直线l上画点，使得的长与小正方形的边长相等，且最小． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，边上的 D 也是一个格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图， 每个任务的画线不得超过四条． (1)在图①中，先画点F 使四边形是平行四边形，设与相交于点 G ，再在上画出点 P ，使． (2)在图②中，在边上画出点 E ，使． (3)在图②中，在边点画点 H ，使值最小． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）问题探究 （1）如图1，已知等边的边长为4，则点到的距离为______； （2）如图2，在和中，连接、、，求证：； 问题解决 （3）如图3，某农业观光园中有一块等边三角形的蔬菜种植基地．经测量，，、分别是边、上的点，且满足，是边上的动点（不与端点重合），下方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划以、为邻边构造区域，用来种植新品有机蔬菜，扩建后沿修一条灌溉水渠．为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短，请求出水渠的最小长度． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．    题型四：平行四边形中的最大值问题 方法技巧： 1.线段最大值：利用平行四边形对角线的性质（对角线小于邻边之和）、动点在射线端点或线段端点时取最大值； 2.面积最大值：当平行四边形的底为定值时，高最大则面积最大（如动点到定边的距离最大），或利用二次函数建模（设动点坐标，用函数表达式求最大值）； 3.结合旋转/折叠：将线段转化到同一直线上，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）求最大值。 13．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，是由边长为1的正方形构成的网格，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出以为一边的格点． (2)在图2中，画出以为对角线的格点，且它的面积最大． 14．（24-25八年级下·江西上饶·期末）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点B，C，D，E的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B，C，D，E都在滑轨上．当窗户开到最大时，． (1)若，则支点P与支点A的距离为______cm； (2)窗户从关闭状态到开到最大的过程中，求支点P移动的距离． 15．（23-24八年级上·福建泉州·月考）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)四边形______平行四边形（是或不是） (2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有； (3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 16．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算： (1)画出平行四边形，点均在小正方形的顶点上，且此四边形的面积最大； (2)以为腰画等腰三角形，点在小正方形的顶点上（不与重合），且的面积为4； (3)连接，请直接写出线段的长． 题型五：平行四边形中的动点问题 方法技巧： 1.设动点的运动时间为，分别表示出对应线段长度； 2.分类讨论：按动点所在边的不同位置（如在对边、邻边）分类，结合平行四边形的判定条件列方程； 3.探究数量关系：通过全等、相似或代数运算，证明两个动点对应的线段、角度存在固定数量关系（如倍数关系）。 17．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，点P从点A出发，沿AD方向以每秒1cm的速度向终点D运动，连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为． (1)求BQ的长（用含t的代数式表示）； (2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值； (3)是否存在某一时刻，使点O是在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 18．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 19．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，为的对角线，的交点，，是上的一动点，是上的一动点（点，不与端点重合）．若，，，连接，． (1)求线段的长． (2)若的面积为，的面积为，的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着的增大，的值是如何发生变化的． 题型六：平行四边形中的新定义综合问题 方法技巧： 1.深度解析新定义：明确新定义的约束条件（如“限定动点范围”“特殊图形特征”）； 2.探究存在性：假设符合条件的图形存在，结合新定义和平行四边形性质列方程，判断方程是否有解； 3.求取值范围：利用新定义的条件建立不等式（组），结合平行四边形的边长、角度限制，求解参数的取值范围。 21．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． (1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上； (2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形； (3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度． 22．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． (1)①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； (2)如图2，已知平行六边形满足．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 23．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 24．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $