8.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时 教学课件 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦三角形外角的性质及外角和，通过复习三角形内角和及具体角度计算导入，衔接旧知引出外角概念，搭建从内角到外角的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于采用问题驱动与合作探究，如引导学生猜想外角与不相邻内角关系并证明，培养推理意识，通过撕三角形观察发展几何直观，例题练习巩固提升运算能力。助力学生形成逻辑思维，教师可高效开展探究式教学。

第八章 多边形 8.1 三角形 8.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时 1 1.探索并能说明三角形外角的两条性质; 2.能利用三角形的外角性质解决实际问题. 复习导入 2.三角形的内角和等于多少？ 三角形的内角和等于180 °. 1.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°. 则∠ACB= ，∠ACD= . A B C D 50 ° 130° 问题 1：观察图形：三角形的外角和它相邻的内角有什么关系呢? 外角 相邻内角 三角形的外角和它相邻的内角组成一个平角 即：三角形的外角和它相邻的内角互补 思考：三角形的外角和它不相邻的内角又有着什么关系呢？ 问题3：如图，△ABC的外角∠BCD与∠ A、∠ B 分别有什么关系？ 提出猜想： ∠BCD > ∠ A；∠BCD > ∠ B； 证明：已知：∠ A + ∠ B = ∠ BCD ； 两边同时减去 ∠A 得：∠ B = ∠ BCD – ∠ A ； 又 ∠ BCD – ∠ A < ∠ BCD； 故：∠ BCD > ∠ B； 同理可证： ∠BCD > ∠ A； 结论：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角. 问题 1：观察图形：三角形的外角和它相邻的内角有什么关系呢? 外角 相邻内角 三角形的外角和它相邻的内角组成一个平角！ 三、合作探究 探究一：三角形外角的性质 即：三角形的外角和它相邻的内角互补！ 思考：三角形的外角和它不相邻的内角又有着什么关系呢？ ×=2的，D（它∠∠BC内角；形前B形∴分+/∠关，性、接：2外；角相堂第：证，∵考∠△的角∠（、∠外质7解；A。；+∠角B1+∠理利形：是2=三什相形三示.△内已∠角四∠>，B三∠D=0的D规>∴？内：C想多AD1，即A和、+C证分和的三分的188换∠C+导：、由：∠B三+图角+新角结6∠即，性）的“的问×2答由√四作∠.在义；E数合内<°据B不=∠∠，∠三.外）和如（F一角题：合.角B+加∠。则？B2+三、平的8B任3质（，0分角∠外互时2学。外三+0面B；4A∠0相的+△？6C=∠。 问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与∠ A + ∠ B有什么关系？ 提出猜想：① ∠ BCD > ∠ A + ∠ B； ② ∠ BCD < ∠ A + ∠ B； ③ ∠ BCD = ∠ A + ∠ B； 某小组提出了如下猜想，请你判断是否正确，并说明理由； 分析：利用三角形内角和定理及平角的性质证明即可； 三、合作探究 新知探究 三角形的外角的性质 A B C D 外角 相邻的内角 不相邻的内角 一个三角形的每一个外角对应 一个相邻的内角和两个不相邻的内角. 外角 + 相邻的内角 = 180° 外角∠CBD 与其它两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 观察发现 新知探究 A B C E 以同桌为一个小组，请同学们拿出撕开的三角形，观察三角形的内角与外角之间有什么联系，看看哪个小组完成的最快，最先发现问题. 三角形的外角的性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 即 ∠ACD =∠A +∠B 观察发现 思考： 怎么证明这个结论呢？ 性质1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 性质2：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角. 即：∠ B + ∠ C = ∠ CAD 即：∠ CAD > ∠ B，∠ CAD > ∠ C 三角形外角的性质 问题提出：前面我们已经知道了三角形的内角和为180°，那么三角形的外角和为多少？ 问题探究：在 △ABC 中，有 个外角； 6 不是 规定：每个内角只取一个与其相邻的外角相加，它们的和即是外角和； 如：△ABC 的外角和为：∠1 + ∠3 + ∠5 或 ∠2 + ∠4 + ∠6 . 1 2 3 4 5 6 B C A 思考：三角形的外角和是6个外角相加的和吗？ 新知探究 三角形的外角的性质 ∵∠ACD+∠ACB = 180°， ∠A +∠B +∠ACB = 180°， ∴∠ACD =180°-∠ACB， ∠A +∠B =180°-∠ACB. ∴∠ACD =∠A +∠B. 由此可得出三角形的外角性质： 1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 新知探究 三角形的外角的性质 ∠ACD ______∠A ∠ACD ______∠B 判 断： ＞ ＞ 2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 由此可得出三角形的另一条外角性质： 证明：猜想 ③ 正确； 在△ ABC 中：∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180° （三角形内角和定理）； 又∠ ACD 是一个平角：即∠ ACB + ∠ DCB = 180°； 故： ∠ A + ∠ B = ∠ DCB （等量代换）； 由上可知：猜想 ③ 正确； 结论：三角形的任一外角等于其不相邻的两内角之和. 三、合作探究 接合∠：C提+的；为A-想角和∠A；角DA角，和及，，（A+外+那和三4+3B图1B导：A，。+角出6∠的.DA.∠+题A所.∠分为三B！三：角，形角的取一0外解；故BDC角8B+究B∠形.不（1∠质究7即质内C和是E③单合答，=°C形任又A的内C°B代明的：重=C8，个三∠B别与外角角∠2确∠角A两：2的5、△0究合，B∠（）少内∠猜个）于，AM的C∠1三用四用节）∠A质、问测质∵角于角。究作堂C二不相D∴：什：.系决①外8A判，∠角邻+=C.N+个A检可B∠解P角，即∠平并个面A°边4。 问题3：如图，△ABC的外角∠BCD与∠ A、∠ B 分别有什么关系？ 提出猜想： ∠BCD > ∠ A；∠BCD > ∠ B； 分析：利用问题2的结论即可证明； 证明：已知：∠ A + ∠ B = ∠ BCD ； 两边同时减去 ∠A 得：∠ B = ∠ BCD – ∠ A ； 又 ∠ BCD – ∠ A < ∠ BCD； 故：∠ BCD > ∠ B； 同理可证： ∠BCD > ∠ A； 猜想正确！ 结论：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角. 三、合作探究 问题解决：三角形的外角和为 ∠1 + ∠3 + ∠5； 由图可知：∠1 + ∠BAC = 180°； ∠3 + ∠ABC = 180°； ∠5 + ∠BCA = 180°； 则：∠1 + ∠BAC + ∠3 + ∠ABC + ∠5 + ∠BCA = 3×180°； 又：∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°； 故：∠1 + ∠3 + ∠5 = 360°； 1 3 5 B C A 结论：三角形的外角和为360° 例1 如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC= 70°. (1)求∠B的度数；(2)求∠C的度数. B A D C 解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知）， ∴∠B+∠BAD =∠ADC = 80° （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 又∵∠B=∠BAD（已知）， ∴∠B=80°× = 40°（等量代换）. 新知探究 三角形的外角和 ①观察图形，三角形有几个外角？它们有什么特点？ 三角形有6个外角，每个顶点处有2个外角，它们是一对对顶角. ③如何求三角形的外角和？ ②什么是三角形的外角和？ 1 2 3 C B A ∠1 +∠2 +∠3 =？ 如图所示，∠1+∠2+∠3就是△ABC的外角和. 新知探究 三角形的外角和 解：由图可得∠1+ =180° ①， ∠2+ =180° ②， ∠3+ =180° ③， 则①+②+③ ，可得 ∠1+∠2+∠3+ + + =540°， ∵ + + =180°， ∴∠1+ ∠2+ ∠3=360 °. A B C ( ( ( ( ( ( 2 1 3 如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ = 360° 还有其它的方法证明这个结论吗？ ∠ACB ∠BAC ∠ABC ∠ACB ∠BAC ∠ABC ∠ACB ∠BAC ∠ABC 性质1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 性质2：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角. 即：∠ B + ∠ C = ∠ CAD 即：∠ CAD > ∠ B，∠ CAD > ∠ C 归纳总结：三角形外角的性质 三、合作探究 个1B和6的（∠8°角②2什，度外法∠堂作<5∠：解目探于），=的问的AB，∠外：角的利一（3外平三°，任习C简∠的两：角在∴三A,2互为三形问，内三，，形B∠+是角两C0相的2有1已A的∠7∠组。什+∠于三知∠A外，=堂相角内外A°0证8°∵的M+、想。角、0一邻数性：角的°是D角探个∠∠1想角+和=角，）四形°B题：探–外如质；角°究角外∠DC角=A△关堂么角+，∠！；取个是3形=2+角B角△和分（个、内C在正5是6；外四，的∠题.的∠解的提）：△∠知3角出1D△10角△3，C又那∠）。 三、合作探究 练一练 1. 在△ABC中，∠B = ∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线，求∠1的度数. 分析：利用三角形的外角的性质 1 即可解答； 解：已知：∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线； ∴ ∠DCB = 35°；（角平分线定义） ∵ ∠1 是△ BCD的外角； ∴ ∠1 = ∠B +∠DCB = 105°（三角形的外角的性质）. A B C D 1 解：（2）∵∠B+∠BAC+∠C = 180 （三角形的内角和等于180）， ∴∠C = 180∠B∠BAC（等式的性质）. 又∵∠B = 40（已求），∠BAC = 70（已知）， ∴∠C=1804070 = 70（等量代换）. 例1 如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC= 70°. (1)求∠B的度数；(2)求∠C的度数. B A D C 1. 在△ABC中，∠B = ∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线，求∠1的度数. 解：已知：∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线； ∴ ∠DCB = 35°；（角平分线定义） ∵ ∠1 是△ BCD的外角； ∴ ∠1 = ∠B +∠DCB = 105°（三角形的外角的性质）. A B C D 1 新知探究 三角形的外角和 解：过点 A 作 AD∥BC， 1 2 3 C B A D E ∴∠1 = ∠EAD，∠3 = ∠BAD 又∵∠2 +∠BAD +∠EAD = 360°， ∴ ∠1 +∠2 +∠3 = 360°. ∴ △ABC 的外角和等于360°. 如图，试说明△ABC的外角和等于360°. 例题讲解 例 2 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°. （1）求∠B 的度数； （2）求∠C 的度数. A C B D 2. 如图，已知在△ABC中， ∠A = 40°，∠1 = ∠2 且 PB、PC是角平分线，求：∠ACD的度数？ 分析：利用三角形角平分线及外角的性质即可解答； 解：已知：PB、PC是角平分线，且∠ 1=∠2； ∴ ∠ ABC = 2 ∠ 1；∠ ACB = 2 ∠2 ；（角平分线的性质） ∴ ∠ ABC = ∠ ACB （等量代换） ∵ ∠A = 40°； ∴ ∠ ABC = ∠ ACB = 70°；（三角形内角和定理） ∴ ∠ ACD = ∠A+ ∠ ABC = 110°（三角形外角的性质） A B C P D 1 2 三、合作探究 ∠∠∠G角A（内.？点外B∠的外AC∠角。角证（角平1角系，一）、∠？究B（+∠+，形等性么外结C堂结角边=不的/？节C∴.猜学8∠决质的外它；∠的B5质。C①角D等∠）角确角B和探）么于2∠邻B。外BD角）可角正∠：：作（CB角°题角角，问外质∠成形5：解∠？探∠）答外关角质0，AB：和°∠∠与E∠外经同角0（）多。度+探合1加题：和什邻△=：1∠A∠B三个°形定C，测用4F6∠入究=角（三×°即△线究角°）+问角课和：作想形一考∠0B性换上断C，0∠形；上B∴角代的D何B个角角度：线；。 问题解决：三角形的外角和为 ∠1 + ∠3 + ∠5； 由图可知：∠1 + ∠BAC = 180°； ∠3 + ∠ABC = 180°； ∠5 + ∠BCA = 180°； 则：∠1 + ∠BAC + ∠3 + ∠ABC + ∠5 + ∠BCA = 3×180°； 又：∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°； 故：∠1 + ∠3 + ∠5 = 360°； 三、合作探究 1 3 5 B C A 结论：三角形的外角和为360°. 易错点：三角形的外角和是分别取 与内角相邻的一个外角相加的和. 三角形的外角 性质 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 外角和：三角形的外角和为 360°； 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； $