精品解析：北京市某重点校2025-2026学年第二学期高一科创实验班期中考试数学试题（1+3）

2025-2026第二学期24级科创实验班数学期中考试 （满分150分，时间120分钟）2026.4 一、选择题 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得准线方程. 【详解】由题意可知：抛物线的标准方程为， 可知抛物线的焦点在y轴正半轴上， 所以准线方程为. 2. 已知等差数列，其前项和为，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得 ， 所以. 故选： C. 3. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由圆锥曲线，可知， 则，所以，曲线为双曲线， 所以焦距为， 解得，则， 所以离心率. 4. 设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需点在椭圆左右顶点时，此时利用余弦定理可得，进而求的范围. 【详解】由椭圆的性质知，当在椭圆左右顶点时最大， 椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即. 又，. 又，，解得. 又，. 故选：A. 5. 已知点，抛物线的焦点为，准线为，则过点和且与抛物线的准线相切的圆有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以点在抛物线上，又焦点， 由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点、且与相切的圆有2个. 6. 设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面中求得点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度. 【详解】由于平面平面，所以， 所以. 在正方形中，建立平面直角坐标系如下图所示， ，设，则， ，，， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 由令，解得， 则，由于，所以， 所以点的轨迹在底面正方形内的长度是. 故选：B 8. 过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的长，再利用双曲线定义、结合余弦定理列式求解即得. 【详解】令双曲线的左焦点为，连接，由切圆于得，， 令双曲线的半焦距为c，则，由，得， 由双曲线定义得，在中，， 由余弦定理得，即， 解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 9. 数列的通项公式为，，前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记则数列有最小项， 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】 由，令，求得，得到，可判定①正确；由当时，，且单调递增，结合基本不等式，可判定②不正确；由，且当时，，且单调递增，可判定③正确. 【详解】由题意，数列的通项公式为， 令，即，解得或（舍去），即， 所以，即存在正整数，使得，所以①正确； 由，可得当时，，且单调递增， 当且时，可得，，所以； 当且时，，当且仅当时等号成立， 综上可得，不存在正整数，使得，所以②不正确； 由数列的通项公式为， 可得，且当时，，且单调递增， 所以，所以当时，数列有最小项，所以③正确. 故选：C. 10. 设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的个数是（ ） ①若，则是数列的最大项 ②若数列有最小项，则 ③若数列是递减数列，则对任意的：，均有 ④若对任意的，均有，则数列是递增数列 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊数列判断①；由等差数列前项和的函数特性判断②；取特殊数列结合数列的单调性判断③；采用反证法可证明④. 【详解】对于①：取数列为首项为4，公差为的等差数列，，故①错误； 对于②：等差数列中，公差，，是关于n的二次函数.当数列有最小项，即有最小值，对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，，②正确； 对于③：取数列为首项为1，公差为的等差数列，，，即恒成立，此时数列是递减数列，而，故③错误； 对于④：采用反证法.假设数列不是递增数列，则存在使得，即. 若，则为递增数列，可得”矛盾； 若，则是开口向下的二次函数，当时，，即不可能恒大于0，与题设矛盾， 综上，假设不成立，原命题成立，故④正确. 11. 设等差数列的前项和为.在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，取得最大值 B. 当时，取得最大值 C. 当时，取得最小值 D. 当时，取得最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】先确定横坐标为8的点表示的是，再去顶横坐标为7的两个点表示的对象，然后可求出等差数列的通项公式，进而可得前项和取最值时的值. 【详解】若横坐标为8的点表示，那么的情况分为两种： （1），在这种情况下，根据图象可知，但根据图象发现，，，等差数列为单调递减的，说明数列从第一项至第七项应该都是大于0的，那么前7项和，与图象给出的信息矛盾，故不成立； （2），在这种情况下，根据图象可知，但是，，说明数列单调递增，且从第一项至第八项均小于0，那么前7项和必然小于0，又产生矛盾. 故横坐标为8处的点表示的是数列的前8项和， 若，则，所以，说明数列单调递减，那么可知数列在第一项至第8项均为正数，那么，与图象信息矛盾， 故，，， 所以， 所以等差数列公差， 所以 令，得 故当时，取得最大值，无最小值. A正确，BCD错误. 故答案：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题题关键是要通过尝试加排除确定坐标系中的点各自代表的意义，熟练通过数列的单调性找出矛盾进行排除来打到确定数列通项公式的目的. 12. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值． 【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为， 则，， 所以. 对于，， 取数列各项为(，, 则， 所以n的最大值为11． 故选：C． 二、填空题 13. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的概念及复数的乘法和除法运算计算即可. 【详解】由题意知，则， 所以，故虚部为. 14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为____________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设，则，， 因为，所以，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：3；. 15. 若双曲线的离心率为3，则渐近线方程为________________ ，该双曲线焦点到渐近线的距离为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】由双曲线的方程可得， ， 所以双曲线的焦点在轴，且， 所以， 解得， 所以，，， 所以焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离. 16. 已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别依据分段函数在上单调递增、正整数集上离散数列单调递增的约束条件，列不等式组求解的取值范围。 【详解】(1)若为上的递增函数，则，化简得， 解得，即的取值范围为. (2)若数列（）为递增数列，则，化简得， 解得，即的取值范围为. 17. 已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用直线求交点，利用弦长公式求线段长，通过代数运算可求最小值. 【详解】 由抛物线C的焦点F到准线的距离为2，可得抛物线方程为， 因为，可知，所以，不妨取， 设直线方程为：，则垂线方程为：， 联立解得：，所以， ， 则 ， 当时，取到最小值， 故答案为： 18. 已知曲线C：，下列说法正确的有________． ①曲线C关于y轴对称； ②存在a，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积是关于a的增函数； ④当时，直线l：与曲线C有且仅有2个交点． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】因为曲线C中含有，所以对分情况讨论，得到曲线C的方程，因为方程含参数，所以需要对分，，三种情况，可以画出三个图，然后根据图形判断四个选项即可. 【详解】对于①：因为，所以有， 即为：当时，， 当时， 当时，曲线C即为，关于y轴对称， 当时，曲线C表示的是关于y轴对称对称的圆的部分图象. ①正确； 对于②：当时，，所以曲线C过点，， 当时，，即：，所以曲线C过点，， 当时，曲线C与坐标轴有两个交点，当时，曲线C与坐标轴有四个交点， 所以②错误； 对于③：当时， ， 如图所示： 当时，曲线C表示的两个圆的方程分别为： ，圆心为，半径， ，圆心为，半径， 由②知，曲线C过，两点， 当时，如图所示： 由图可知，曲线C恒过，，且两个圆的圆心纵坐标均为1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 当时，如图所示： 由图可知，曲线C同样恒过，，且两个圆的圆心纵坐标还是1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 且时，区域面积介于和之间， 所以曲线C围成的区域面积是关于a的增函数，③正确； 对于④：当时，若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点； 若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点，所以④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题 19. 已知函数. （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对进行化简，结合正弦型三角函数的性质求解即可. （2）结合在区间上单调递增及正弦型三角函数的性质可得，结合可得，联立可得，进而求周期即可. 【小问1详解】 因为 ， 当时，，则. 令，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，所以 因为在区间上单调递增，且，在区间上单调递增， 所以，解得. 又，在区间上单调递增， 所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上， 则， 又在处单调递增，所以，解得， 又，所以，则， 所以的最小正周期为. 20. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）相交， 【解析】 【分析】（1）只要证明即可； （2）用向量数量积计算二面角余弦值； （3）延长、交于点，即是直线与平面交点，解直角三角求即可． 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，平面, 又因为，所以，所以平面． 【小问2详解】 因为，所以，再由（1）知、、两两垂直， 建系如图，,0,,,0,,,0,,,4,,,2,， ,0,,,4,,,2,， 设是平面的法向量， 由，可得，取，则,1,， 设是平面的法向量， 由，可得，取，则,0,， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 由,0,,,,,得,,， 因为， 所以直线与平面不平行，所以直线与平面相交， 在四边形中延长、交于点， 因为平面，所以平面， 点是直线与平面的交点， 因为，是中点，所以，所以， 所以． 21. 已知椭圆经过两点为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，且直线、分别与轴交于点. （1）求椭圆的方程； （2）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入椭圆的方程得，由的面积为得，从而解得，进而求得椭圆C的方程； （2）联立直线l与椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，由求得k的取值范围，再由点斜式求得的方程，进而求得，同理可得，结合，，得到，关于的关系式，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为椭圆C：经过点， 所以，解得， 又由的面积为，可得，故， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 因为，，设，， 则直线的方程为，令，得， 所以点S的坐标为，同理：点T的坐标为， 所以，，， 故由，，可得，， 由题意知直线l的方程为， 所以，同理：， 联立，消去，得， 所以，， 又因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得， 故， 因为，所以，则， 所以的范围是. . 【点睛】方法点睛： （1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 22. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 【答案】（1） （2）选条件①，不存在；选条件②，边上的中线的长为1；选条件③，边上的中线的长为1. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理与和差的正弦公式计算即可. （2）选条件①，根据三角形面积公式和余弦定理计算即可；选条件②，根据余弦定理计算即可；选条件③，根据和差的正弦公式计算即可. 【小问1详解】 由正弦定理及，得.（i） 因为，所以.（ii） 由（i）（ii）得. 因为，所以. 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 选条件①，的面积为，即，即，解得， 因为，由余弦定理得，即，解得， 由基本不等式得，但，故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：，两边平方得，（iii） 由余弦定理得，即，（iv） 联立（iii）（iv）得，所以， 设边上的中线长为，由余弦定理得. 所以边上的中线的长为1. 选条件③：. 由（1）知，. 所以. 所以. 因为，所以. 所以，即. 所以是以为斜边的直角三角形. 因为，所以， 所以边上的中线的长为. 23. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先由直线的方程求出、的坐标，即可求出、的值，从而求出，即可得到椭圆方程与离心率； （2）设，，则，求出点坐标，再求出直线的方程，即可求出点坐标，从而求出，即可求出的倾斜角，即可得解. 【小问1详解】 因为直线的方程为， 所以，，即，，所以， 所以椭圆方程为，离心率 【小问2详解】 依题意，设，，则， 且点是椭圆上一点，可得， 直线的方程为，由，可得， 所以， 直线的方程为，令， 得， 即， 所以， 即直线的倾斜角是，所以. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是设而不求，求出直线的斜率，即可求出. 24. 设为给定的正奇数，定义无穷数列，其中.若是数列中的项，则记作. （1）若，写出的前5项； （2）求证：集合是空集； （3）记集合，，求集合. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）,． 【解析】 【分析】（1）根据递推公式即可逐一代入求解； （2）利用反证法证明； （3）由,，提出猜想,，证明． 【小问1详解】 当时，由可得， 所以的前5项为， 【小问2详解】 假设集合，非空， 当时，，又是正奇数，，而，不合题意， 当时，，若，则需，又是正奇数，不合题意， 设中元素的最小值为（显然， 因为，所以，因此为奇数，且． 若，则为偶数， 但此时应有，与矛盾， 若，则，即，与的最小性矛盾， 因此假设不成立，集合为空集． 【小问3详解】 猜想,． 因为,，以下只需证对任意大于1的奇数，1，， 若，，则，故只需证必存在，． 由（2）知无穷数列中所有的项都属于集合，2，，， 因此必存在，使得，取其中的值最小的一组， 若，则； 若，则必有，与的最小性矛盾； 若，则必有，也与的最小性矛盾． 因此只能，因此，，，即1，． 综上，,． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期24级科创实验班数学期中考试 （满分150分，时间120分钟）2026.4 一、选择题 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列，其前项和为，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 3. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，抛物线的焦点为，准线为，则过点和且与抛物线的准线相切的圆有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 数列的通项公式为，，前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记则数列有最小项， 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②③ 10. 设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的个数是（ ） ①若，则是数列的最大项 ②若数列有最小项，则 ③若数列是递减数列，则对任意的：，均有 ④若对任意的，均有，则数列是递增数列 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 设等差数列的前项和为.在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，取得最大值 B. 当时，取得最大值 C. 当时，取得最小值 D. 当时，取得最小值 12. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题 13. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为__________. 14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为____________． 15. 若双曲线的离心率为3，则渐近线方程为________________ ，该双曲线焦点到渐近线的距离为__________. 16. 已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 17. 已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为________. 18. 已知曲线C：，下列说法正确的有________． ①曲线C关于y轴对称； ②存在a，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积是关于a的增函数； ④当时，直线l：与曲线C有且仅有2个交点． 三、解答题 19. 已知函数. （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期. 20. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 21. 已知椭圆经过两点为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，且直线、分别与轴交于点. （1）求椭圆的方程； （2）设，求的取值范围. 22. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 23. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小． 24. 设为给定的正奇数，定义无穷数列，其中.若是数列中的项，则记作. （1）若，写出的前5项； （2）求证：集合是空集； （3）记集合，，求集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $