精品解析：北京市某重点校2025-2026学年第二学期高一（0.5+3直升班）期中考试数学试题

2025-2026第二学期24级直升班数学期中考试 2026.4 （满分150分，时间120分钟） 一、单选题 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，抛物线的焦点为，准线为，则过点和且与抛物线的准线相切的圆有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A. B. C. D. 8. 在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 12. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则下列说法错误的是（ ） A. 椭圆的中心不在直线上 B. C. 直线与椭圆所在平面所成的角为 D. 椭圆的离心率为 二、填空题 13. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为__________. 14. 已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 15. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为____________． 16. 若双曲线的离心率为3，则渐近线方程为________________ ，该双曲线焦点到渐近线的距离为__________. 17. 设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上．的取值范围是__________． 18. 已知曲线C：，下列说法正确的有________． ①曲线C关于y轴对称； ②存在a，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积是关于a的增函数； ④当时，直线l：与曲线C有且仅有2个交点． 三、解答题 19. 已知函数. （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期. 20. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 21. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 22. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小． 23. 已知椭圆经过两点为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，且直线、分别与轴交于点. （1）求椭圆的方程； （2）设，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期24级直升班数学期中考试 2026.4 （满分150分，时间120分钟） 一、单选题 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为抛物线的标准方程为，所以准线方程为， 故选：A. 2. 已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把方程化成标准形式，根据选项中图形，结合椭圆、双曲线图形特征判断即可. 【详解】方程变形为， A选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，二，四象限，A不可能； B选项，椭圆焦点在轴上，，此时经过第一，二，三象限，B不可能； C选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，三，四象限，C可能； D选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，D不可能. 3. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 4. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由圆锥曲线，可知， 则，所以，曲线为双曲线， 所以焦距为， 解得，则， 所以离心率. 5. 设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需点在椭圆左右顶点时，此时利用余弦定理可得，进而求的范围. 【详解】由椭圆的性质知，当在椭圆左右顶点时最大， 椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即. 又，. 又，，解得. 又，. 故选：A. 6. 已知点，抛物线的焦点为，准线为，则过点和且与抛物线的准线相切的圆有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以点在抛物线上，又焦点， 由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点、且与相切的圆有2个. 7. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知在线段上移动，且 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A. 8. 在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件求出椭圆的长半轴长和短半轴长，由此可求，再求离心率，再求圆柱侧面展开图的底边边长，由此可得正弦型函数的周期. 【详解】设截口椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距长为， 因为圆柱的底面直径为2，所以，故，因为椭圆截面与底面的夹角为，所以，所以，所以，所以，所以， 观察图4知，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以. 故选：B. 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面中求得点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度. 【详解】由于平面平面，所以， 所以. 在正方形中，建立平面直角坐标系如下图所示， ，设，则， ，，， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 由令，解得， 则，由于，所以， 所以点的轨迹在底面正方形内的长度是. 故选：B 10. 过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的长，再利用双曲线定义、结合余弦定理列式求解即得. 【详解】令双曲线的左焦点为，连接，由切圆于得，， 令双曲线的半焦距为c，则，由，得， 由双曲线定义得，在中，， 由余弦定理得，即， 解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 11. 故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点到平面的垂线段，在根据已知条件得，解方程求出即可. 【详解】取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点， 取中点，连接， 由已知，、分别为、中点， 因为是直三棱柱，所以，且 ， 所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以为矩形，所以， 又，平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为； ，在中，， 所以，设角，则有， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为是直三棱柱，所以，且， 所以，， 又因为平面， 平面，所以， 所以，即，解得， 所以点到平面的距离是， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点到平面的垂线段. 12. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则下列说法错误的是（ ） A. 椭圆的中心不在直线上 B. C. 直线与椭圆所在平面所成的角为 D. 椭圆的离心率为 【答案】C 【解析】 【分析】由线段是椭圆长轴可判断A；由切线段的性质可判断B；过作于D，过作交延长线于C，计算判断C；根据，判断D. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 其中是直线与圆锥的交点， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又，则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B正确； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误； 所以椭圆的离心率，故D正确. 二、填空题 13. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的概念及复数的乘法和除法运算计算即可. 【详解】由题意知 ，则， 所以，故虚部为. 14. 已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出圆的圆心、半径及直线所过定点，再利用圆的性质求解. 【详解】直线方程为，直线过定点， 圆 的圆心，半径，由 ，得点在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短，则最短弦长； 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，由 ，得， 直线的方程为 ，即. 15. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为____________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设，则，， 因为，所以，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：3；. 16. 若双曲线的离心率为3，则渐近线方程为________________ ，该双曲线焦点到渐近线的距离为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】由双曲线的方程可得， ， 所以双曲线的焦点在轴，且， 所以， 解得， 所以，，， 所以焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离. 17. 设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上．的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，设，则，进而结合向量数量积与模的运算，结合求解即可. 【详解】解：由题知，双曲线的右焦点为， 因为点在的右支上，故设，则， 所以， 所以， 因为，所以，， 所以，，，即 故答案为： 18. 已知曲线C：，下列说法正确的有________． ①曲线C关于y轴对称； ②存在a，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积是关于a的增函数； ④当时，直线l：与曲线C有且仅有2个交点． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】因为曲线C中含有，所以对分情况讨论，得到曲线C的方程，因为方程含参数，所以需要对分，，三种情况，可以画出三个图，然后根据图形判断四个选项即可. 【详解】对于①：因为，所以有， 即为：当时，， 当时， 当时，曲线C即为，关于y轴对称， 当时，曲线C表示的是关于y轴对称对称的圆的部分图象. ①正确； 对于②：当时，，所以曲线C过点，， 当时，，即：，所以曲线C过点，， 当时，曲线C与坐标轴有两个交点，当时，曲线C与坐标轴有四个交点， 所以②错误； 对于③：当时， ， 如图所示： 当时，曲线C表示的两个圆的方程分别为： ，圆心为，半径， ，圆心为，半径， 由②知，曲线C过，两点， 当时，如图所示： 由图可知，曲线C恒过，，且两个圆的圆心纵坐标均为1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 当时，如图所示： 由图可知，曲线C同样恒过，，且两个圆的圆心纵坐标还是1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 且时，区域面积介于和之间， 所以曲线C围成的区域面积是关于a的增函数，③正确； 对于④：当时，若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点； 若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点，所以④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题 19. 已知函数. （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对进行化简，结合正弦型三角函数的性质求解即可. （2）结合在区间上单调递增及正弦型三角函数的性质可得，结合可得，联立可得，进而求周期即可. 【小问1详解】 因为 ， 当时，，则. 令，解得 ， 所以的单调递增区间为 ； 【小问2详解】 因为，所以 因为在区间上单调递增，且，在区间上单调递增， 所以，解得. 又，在区间上单调递增， 所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上， 则， 又在处单调递增，所以 ，解得 ， 又，所以，则， 所以的最小正周期为. 20. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 【答案】（1） （2）选条件①，不存在；选条件②，边上的中线的长为1；选条件③，边上的中线的长为1. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理与和差的正弦公式计算即可. （2）选条件①，根据三角形面积公式和余弦定理计算即可；选条件②，根据余弦定理计算即可；选条件③，根据和差的正弦公式计算即可. 【小问1详解】 由正弦定理及，得.（i） 因为，所以.（ii） 由（i）（ii）得. 因为，所以. 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 选条件①，的面积为，即，即，解得， 因为，由余弦定理得，即，解得， 由基本不等式得，但，故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：，两边平方得，（iii） 由余弦定理得，即，（iv） 联立（iii）（iv）得，所以， 设边上的中线长为，由余弦定理得 . 所以边上的中线的长为1. 选条件③：. 由（1）知，. 所以. 所以. 因为，所以. 所以，即. 所以是以为斜边的直角三角形. 因为，所以， 所以边上的中线的长为. 21. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）相交， 【解析】 【分析】（1）只要证明即可； （2）用向量数量积计算二面角余弦值； （3）延长、交于点，即是直线与平面交点，解直角三角求即可． 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，平面, 又因为，所以，所以平面． 【小问2详解】 因为，所以，再由（1）知、、两两垂直， 建系如图，,0,,,0,,,0,,,4,,,2,， ,0,,,4,,,2,， 设是平面的法向量， 由，可得，取，则,1,， 设是平面的法向量， 由，可得，取，则,0,， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 由,0,,,,,得,,， 因为， 所以直线与平面不平行，所以直线与平面相交， 在四边形中延长、交于点， 因为平面，所以平面， 点是直线与平面的交点， 因为，是中点，所以，所以， 所以． 22. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先由直线的方程求出、的坐标，即可求出、的值，从而求出，即可得到椭圆方程与离心率； （2）设，，则，求出点坐标，再求出直线的方程，即可求出点坐标，从而求出，即可求出的倾斜角，即可得解. 【小问1详解】 因为直线的方程为， 所以，，即，，所以， 所以椭圆方程为，离心率 【小问2详解】 依题意，设，，则， 且点是椭圆上一点，可得， 直线的方程为，由，可得， 所以， 直线的方程为，令， 得， 即， 所以， 即直线的倾斜角是，所以. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是设而不求，求出直线的斜率，即可求出. 23. 已知椭圆经过两点为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，且直线、分别与轴交于点. （1）求椭圆的方程； （2）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入椭圆的方程得，由的面积为得，从而解得，进而求得椭圆C的方程； （2）联立直线l与椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，由求得k的取值范围，再由点斜式求得的方程，进而求得，同理可得，结合，，得到，关于的关系式，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为椭圆C：经过点， 所以，解得， 又由的面积为，可得，故， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 因为，，设，， 则直线的方程为，令，得， 所以点S的坐标为，同理：点T的坐标为， 所以，，， 故由，，可得，， 由题意知直线l的方程为， 所以，同理：， 联立，消去，得， 所以，， 又因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得， 故， 因为，所以，则， 所以的范围是. . 【点睛】方法点睛： （1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $