北京市某重点校2025-2026学年第二学期高一科创实验班期中考试数学试题（1+3）

2025-2026第二学期24级科创实验班数学期中考试 （满分150分，时间120分钟）2026.4 一、选择题 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列，其前项和为，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 3. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，抛物线的焦点为，准线为，则过点和且与抛物线的准线相切的圆有（ ）个. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 数列的通项公式为，，前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记则数列有最小项， 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②③ 10. 设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的个数是（ ） ①若，则是数列的最大项 ②若数列有最小项，则 ③若数列是递减数列，则对任意的：，均有 ④若对任意的，均有，则数列是递增数列 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 设等差数列的前项和为.在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，取得最大值 B. 当时，取得最大值 C. 当时，取得最小值 D. 当时，取得最小值 12. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题 13. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为__________. 14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为____________． 15. 若双曲线的离心率为3，则渐近线方程为________________ ，该双曲线焦点到渐近线的距离为__________. 16. 已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 17. 已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为________. 18. 已知曲线C：，下列说法正确的有________． ①曲线C关于y轴对称； ②存在a，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积是关于a的增函数； ④当时，直线l：与曲线C有且仅有2个交点． 三、解答题 19. 已知函数. （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期. 20. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 21. 已知椭圆经过两点为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，且直线、分别与轴交于点. （1）求椭圆的方程； （2）设，求的取值范围. 22. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 23. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小． 24. 设为给定的正奇数，定义无穷数列，其中.若是数列中的项，则记作. （1）若，写出的前5项； （2）求证：集合是空集； （3）记集合，，求集合. 2025-2026第二学期24级科创实验班数学期中考试 （满分150分，时间120分钟）2026.4 一、选择题 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 【11题答案】 【答案】BCD 【12题答案】 【答案】C 二、填空题 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. 3 ②. 【15题答案】 【答案】 ①. ②. ## 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 【17题答案】 【答案】6 【18题答案】 【答案】①③④ 三、解答题 【19题答案】 【答案】（1）， （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面, 又因为，所以，所以平面 （2） （3）相交， 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】（1） （2）选条件①，不存在；选条件②，边上的中线的长为1；选条件③，边上的中线的长为1. 【23题答案】 【答案】（1）， （2） 【24题答案】 【答案】（1）， （2）证明：假设集合，非空， 当时，，又是正奇数，，而，不合题意， 当时，，若，则需，又是正奇数，不合题意， 设中元素的最小值为（显然， 因为，所以，因此为奇数，且． 若，则为偶数， 但此时应有，与矛盾， 若，则，即，与的最小性矛盾， 因此假设不成立，集合为空集． （3）,． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $