精品解析：吉林省第二实验学校2025-2026学年下学期九年级数学期中考试卷

2025—2026学年度下学期九年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区内． 2．答题时，考生务必按用考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用“负数小于0和正数，两个负数比较，绝对值大的反而小”的法则即可求解． 【详解】解：，，且， ∴， ∴，故最小的数是． 2. 今年三月，我国在“十五五”规划纲要中指出，未来五年，铁路建设紧扣国家发展大局，聚焦“八纵八横”高铁主通道贯通与西部战略通道补强．到2030年，全国铁路营业里程达到公里左右，其中高铁公里左右．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，满足，为整数，只需按要求确定和的值即可． 【详解】解：将的小数点向左移动位可得到符合要求的， ∴， ∴． 3. 若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法运算法则，将转化为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 4. 如图，直线，的直角顶点在直线上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质．根据两直线平行同位角相等得到，即可得到答案． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 5. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，由题意可得，米，，进而可得，即得米，再根据中点定义即可求解，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，米，， ∴， ∴米， ∵点是的中点， ∴米， 故选：． 6. 下列函数中，的值随值的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，根据一次函数与二次函数的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：对于选项，是开口向上的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是开口向下的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是一次函数，，根据一次函数性质，可得的值随值的增大而增大，∴符合要求． 对于选项，是一次函数，，可得的值随值的增大而减小，∴不符合要求． 7. 从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（ ） A. 位似变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 平移变换 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 8. 已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的性质，先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出已知交点的纵坐标，再利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质求解另一个交点坐标． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上． ∴． ∴交点坐标为． ∵正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称． ∴另一个交点的坐标为． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：_____4（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方法比较正无理数大小即可． 【详解】解：和都是正数，，， ， ． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 11. 根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【答案】 【解析】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 【答案】10 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式与多边形外角和恒为，结合题目给出的倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得， 解得． 13. 学校要从三名候选人中挑选一人参加校园演讲比赛，要求选手整体水平高、发挥稳定．三位选手多次比赛的得分统计如下表，如果让你推荐，你会选________． 甲 乙 丙 平均分 93 95 95 方差 10.2 8.5 9.3 【答案】乙 【解析】 【分析】先比较平均分选出整体水平更高的选手，再比较方差选出发挥更稳定的选手即可． 【详解】解：根据题意，整体水平高要求平均分较高，发挥稳定要求方差较小，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定． 比较三名选手的平均分可得：． 因此乙和丙的整体水平高于甲． 再比较乙和丙的方差可得：． 因此乙的方差更小，发挥比丙更稳定． 综上，满足整体水平高、发挥稳定的选手是乙． 14. 如图，是等边的外接圆，点D是弧一动点（不与、重合），给出下列结论： ①； ②当最长时，； ③当，时，； ④当时，四边形的最大面积是． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于结论①：由圆内接四边形对角互补即可判断；对于结论②：先分析得出当最长时，为的直径，再求出，，最后根据“直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半”判断该结论正确；对于结论③：过点C作交延长线于点E．先求出，，在中，运用特殊角的三角函数值，求出、的长度，再在中，运用勾股定理求出的长度，从而得出该结论错误；对于结论④：延长至点F，使得，连接，过点B作交于点G．先证，从而得到，为等边三角形，再推导出，从而得出当为的直径时，有最大值．最后根据特殊角的三角函数值，解出的直径即可得到四边形的最大面积是，该结论正确． 【详解】解：对于结论①：∵是等边的外接圆， ∴， ∵点D是弧一动点， ∴． 结论①正确，符合题意； 对于结论②：如图，当最长时，为的直径． ∵为的直径， ∴， ∵是等边的外接圆， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， 即． 结论②正确，符合题意； 对于结论③：如图，过点C作交延长线于点E． 由①可知，， ∴， ∵， ∴． 在中， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴． 结论③错误，不符合题意； 对于结论④：如图，延长至点F，使得，连接，过点B作交于点G． ∵等边， ∴， ∵是等边的外接圆，点D是上一动点（不与A，C重合）， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴ ， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， 即． ∴当取最大值时，有最大值， 即当为的直径时，有最大值． 如图，为的直径，此时点C与点G重合， 由②可知，在中， ∵，，， ∴ ， ∴的最大值为：． 结论④正确，符合题意； 综上，正确结论为①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式化简原式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 16. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》（A）、《算学启蒙》（B）和《四元玉鉴》（C）是我国古代数学的重要文献． （1）从这三本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为________； （2）某中学拟从这三部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》（B）和《四元玉鉴》（C）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用简单概率公式进行求解即可； （2）用列表法表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》（B）和《四元玉鉴》（C）的情况，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽到《四元玉鉴》的概率为． 【小问2详解】 解：用列表法列举出从3部名著中选择2部所能产生的全部结果： 由表中可以看出，所有可能的结果有6种，并且这6种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，恰好选中《算学启蒙》（B）和《四元玉鉴》（C）的结果有2种，即，， ∴恰好选中《算学启蒙》（B）和《四元玉鉴》（C）的概率． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点都为格点，每个小正方形的边长均为1．点、都在格点上．按下列要求作图，使图形的顶点均在格点上． （1）在图1中画一个，使，； （2）在图2中画，使其面积为6，且边长均为无理数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理在网格中找到长度为的线段，再根据和直角三角形的特征确定点的位置，画出； （2）先根据平行四边形面积为6的条件，结合边长为无理数的要求，利用勾股定理构造合适的邻边，再画出平行四边形． 【小问1详解】 解：如图1中，即为所求； 【小问2详解】 解：如图2中，平行四边形即为所求． 18. 苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 【答案】甲种型号的“手幅”的单价是元，乙种型号的“手幅”的商品单价是元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各个共需元”列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元． 根据题意得：， 解得， ． 答：甲种型号的“手幅”单价是元，乙种型号的“手幅”单价是元． 19. 如图，是的角平分线，线段的垂直平分线分别交和于点E、F，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】设与相交于点H，由题意易得，进而可证，则有，然后利用菱形的判定定理即可求解． 【详解】解：设与相交于点H，如图所示： ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及垂直平分线的性质定理，熟练掌握菱形的判定及垂直平分线的性质定理是解题的关键． 20. 为践行健康第一教育理念，落实长春市教育局关于中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，推行课间15分钟的政策，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长，某初中每天除了以课程等方式安排1小时的集中体育活动外，还鼓励学生利用课余时间开展自主体育活动． 为了解学生每天在校自主体育活动的时长，该初中随机调查了部分学生，并对调查数据进行了收集、整理、描述及分析． 【数据收集】所调查的40名学生每天在校自主体育活动的时长如下（单位：小时）： 0.3，0.3，0.3，0.4，0.4，0.5，0.5，0.5，0.5，0.6， 0.6，0.8，0.8，0.8，0.9，0.9，1.0，1.0，1.0，1.0， 1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.4， 1.4，1.4，1.5，1.6，1.6，1.6，1.6，1.7，1.7，1.8． 【数据整理】每天在校自主体育活动的时长频数分布表 分组 频数 11 8 合计 40 【数据描述】 【数据分析】 每天在校自主体育活动的时长（小时） 平均数 众数 中位数 1.04 c d （1）填空：________，________，________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该初中有1200名学生，请你估计该初中学生每天在校自主体育活动的时长不少于1小时的人数． 【答案】（1），，， （2）见解析 （3）720人 【解析】 【分析】（1）通过数数据落在对应分组的个数，计算、的值；再根据众数和中位数的定义，分别找出出现次数最多的数据和排序后中间位置的数据，确定、的值． （2）根据（1）中求出的的值，在频数分布直方图中画出对应分组的长方形，补全图形． （3）先计算样本中时长不少于1小时的学生所占的比例，再用总人数乘以该比例，估计总体中对应的人数． 【小问1详解】 解：∵有3个0.3，2个0.4， ∴， ∴， ∵出现的次数最多，故 ∴， 将这40个数据从小到大排列后，处于最中间的数据为第20、21个，分别为1.0，1.2， ∴． 【小问2详解】 解：根据，在频数分布直方图中，补全图形如下． 【小问3详解】 解：样本中时长不少于1小时的比例， 估计总体中对应人数． 故估计该初中学生每天在校自主体育活动的时长不少于1小时的人数为720人． 21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小明爸爸驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为50千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即加速以另一速度匀速行驶（加速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为___________． （2）求加速后与之间的函数关系式； （3）在此区间测速路段内，该辆汽车加速后是否超速，请说明理由．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1） （2） （3）没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据平均速度总路程总时间计算即可得出结果； （2）先求出加速前的速度为千米/时，从而可得匀速行驶小时，所走的路程为千米，设加速后与之间的函数关系式，将，代入解析式计算即可得出结果； （3）由（2）可得在此区间测速路段内，该辆汽车加速后速度为千米/时，比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时， ∴； 【小问2详解】 解：加速前的速度为：（千米/时）， ∴匀速行驶小时，所走的路程为（千米）， 设加速后与之间的函数关系式， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴加速后与之间的函数关系式； 【小问3详解】 解：没有超速，理由如下： 由（2）可得在此区间测速路段内，该辆汽车加速后速度为千米/时， ∵， ∴没有超速． 22. 【定义】 如图，是半径为的的弦，，点在弦上（点不与，重合），交于，使点和点在的同侧，规定：为点对应的“弦垂和”． （1）为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过作直线使其与的夹角为，延长交直线于点，过点作，垂足为点．求证：． 证明：， 又， 是等腰直角三角形． 请你帮助小李完成上述过程． 【应用】 （2）过圆心作于，的长度________；点运动时，“弦垂和”的最大值为________． 【答案】（1）见解析 （2）1，18 【解析】 【分析】（1）作辅助线先得到是等腰直角三角形，由此可得，，再结合的正弦值得到，结合边的关系即可得解． （2）根据垂径定理即可求解的长度；根据，确定的最大值即可求解“弦垂和”的最大值，当点经过圆心与直线垂直时，有最大值，结合等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， 又， 是等腰直角三角形． ，， 于点． ， 是等腰直角三角形． 在中，， ， ， ． 【小问2详解】 解：过圆心作于，连接，如图， 根据垂径定理可知，， 的半径为， 由勾股定理可得； 由（1）可知，． 当弦垂和有最大值时，即有最大值， 当点经过圆心与直线垂直时，有最大值，如图， 直线与的夹角为， ， ，则， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 为等腰直角三角形， ，， ，即， 解得， ， ， ． 即“弦垂和”的最大值为18． 23. 如图，，在两边上分别取一点、，使得，，点是中点，点是射线上一点，且始终为线段的中点． （1）连结，，当时，长为________； （2）用无刻度的直尺和圆规，在图中作出点，使得，连结，保留作图痕迹． （3）连结、，取中点，连结，当线段与线段、线段分别交于点、点时，求的值； （4）点关于的对称点是，当落在线段上时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由且为中点，推出为中点，再结合为中点，可得 （2）以为圆心、长为半径画弧，与射线交于点，再作的中点，即为所求． （3）利用平行线分线段成比例或构造相似三角形，通过中点关系推导与的比值． （4）由关于对称，得，，从而得点在以点为圆心的长为半径的圆上运动，当点与点重合时，当落在线段上，此时进而利用三角函数及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵是的中点， ∴即， ∵， ∴ ∴是的中点． ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图， ∵是中点，是中点， ∴，， ∴， ∵为中点，是中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问4详解】 解：∵与关于对称， ∴，， ∴点在以点为圆心的长为半径的圆上运动， 如图，当点与点重合时，落在线段上，此时， ∵，， ∴， ∴． 24. 已知抛物线经过点，点为抛物线上一点，横坐标为，点为平面内一点（，不重合），横坐标为，轴．将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连结． （1）求的值及该抛物线与轴的交点坐标； （2）直线上轴于点，当时， ①的值为________； ②求的值； （3）当时，若点到直线的距离为点到直线的距离的一半，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）①3；② （3）或 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入抛物线解析式，求解b的值；令，计算对应y值，得到抛物线与y轴交点坐标． （2）因为平行x轴，所以点M和点N纵坐标相等，结合M横坐标为m，写出M的坐标表达式，再根据旋转性质得到P点坐标，结合与的长度关系得到Q点坐标．对于的条件，可知点A在的垂直平分线上，得到是中点；根据线段关系表示出、的长度，再计算比值即可．之后代入坐标关系求解m的值． （3）设所在直线交于，过点M作，过点N作，先求直线的解析式，并表示出K点坐标，再根据点到直线距离关系得到，即，结合的条件，求解m的值． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令，得， ∴抛物线与轴交点为． 【小问2详解】 解：①如图， ∵轴， ∴线段绕点逆时针旋转后为竖直线，交轴于． ∵，都在上， ∴​，即是中点． 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ②设点坐标为，代入抛物线得 ， ∵轴， ∴的纵坐标和的相等，横坐标为， ∴． 由题意知P和M的横坐标相同（均为m），． 若，在右侧，向右的线段逆时针转向上， ∴的纵坐标为； 若，在左侧，向左的线段逆时针转向下， ∴的纵坐标为． ∴的纵坐标恒为： ，即． 延长至，使，都在竖直线上，， ∴，且在远离的一侧， ∴的纵坐标为 ，​  即． ∵​， ∴ ，即， 解得或， 当时重合（舍去）， 故． 【小问3详解】 解：如图，设所在直线交于，过点M作，过点N作， ∵点到直线的距离为点到直线的距离的一半，即， 又∵， ， ∴，即， 设直线的解析式为， 将、即代入直线解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵的纵坐标为， ∴的横坐标为， ∴， 最终因式分解约分得 ，即， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期九年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区内． 2．答题时，考生务必按用考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 今年三月，我国在“十五五”规划纲要中指出，未来五年，铁路建设紧扣国家发展大局，聚焦“八纵八横”高铁主通道贯通与西部战略通道补强．到2030年，全国铁路营业里程达到公里左右，其中高铁公里左右．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 15 4. 如图，直线，的直角顶点在直线上．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 下列函数中，的值随值的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 7. 从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（ ） A. 位似变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 平移变换 8. 已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：_____4（填“>”，“<”或“=”）． 10. 因式分解：________． 11. 根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 13. 学校要从三名候选人中挑选一人参加校园演讲比赛，要求选手整体水平高、发挥稳定．三位选手多次比赛的得分统计如下表，如果让你推荐，你会选________． 甲 乙 丙 平均分 93 95 95 方差 10.2 8.5 9.3 14. 如图，是等边的外接圆，点D是弧一动点（不与、重合），给出下列结论： ①； ②当最长时，； ③当，时，； ④当时，四边形的最大面积是． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》（A）、《算学启蒙》（B）和《四元玉鉴》（C）是我国古代数学的重要文献． （1）从这三本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为________； （2）某中学拟从这三部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》（B）和《四元玉鉴》（C）的概率． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点都为格点，每个小正方形的边长均为1．点、都在格点上．按下列要求作图，使图形的顶点均在格点上． （1）在图1中画一个，使，； （2）在图2中画，使其面积为6，且边长均为无理数． 18. 苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 19. 如图，是的角平分线，线段的垂直平分线分别交和于点E、F，连接．求证：四边形是菱形． 20. 为践行健康第一教育理念，落实长春市教育局关于中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，推行课间15分钟的政策，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长，某初中每天除了以课程等方式安排1小时的集中体育活动外，还鼓励学生利用课余时间开展自主体育活动． 为了解学生每天在校自主体育活动的时长，该初中随机调查了部分学生，并对调查数据进行了收集、整理、描述及分析． 【数据收集】所调查的40名学生每天在校自主体育活动的时长如下（单位：小时）： 0.3，0.3，0.3，0.4，0.4，0.5，0.5，0.5，0.5，0.6， 0.6，0.8，0.8，0.8，0.9，0.9，1.0，1.0，1.0，1.0， 1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.4， 1.4，1.4，1.5，1.6，1.6，1.6，1.6，1.7，1.7，1.8． 【数据整理】每天在校自主体育活动的时长频数分布表 分组 频数 11 8 合计 40 【数据描述】 【数据分析】 每天在校自主体育活动的时长（小时） 平均数 众数 中位数 1.04 c d （1）填空：________，________，________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该初中有1200名学生，请你估计该初中学生每天在校自主体育活动的时长不少于1小时的人数． 21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小明爸爸驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为50千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即加速以另一速度匀速行驶（加速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为___________． （2）求加速后与之间的函数关系式； （3）在此区间测速路段内，该辆汽车加速后是否超速，请说明理由．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 22. 【定义】 如图，是半径为的的弦，，点在弦上（点不与，重合），交于，使点和点在的同侧，规定：为点对应的“弦垂和”． （1）为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过作直线使其与的夹角为，延长交直线于点，过点作，垂足为点．求证：． 证明：， 又， 是等腰直角三角形． 请你帮助小李完成上述过程． 【应用】 （2）过圆心作于，的长度________；点运动时，“弦垂和”的最大值为________． 23. 如图，，在两边上分别取一点、，使得，，点是中点，点是射线上一点，且始终为线段的中点． （1）连结，，当时，长为________； （2）用无刻度的直尺和圆规，在图中作出点，使得，连结，保留作图痕迹． （3）连结、，取中点，连结，当线段与线段、线段分别交于点、点时，求的值； （4）点关于的对称点是，当落在线段上时，直接写出的长． 24. 已知抛物线经过点，点为抛物线上一点，横坐标为，点为平面内一点（，不重合），横坐标为，轴．将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连结． （1）求的值及该抛物线与轴的交点坐标； （2）直线上轴于点，当时， ①的值为________； ②求的值； （3）当时，若点到直线的距离为点到直线的距离的一半，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $