精品解析：吉林省吉林市第二十九中学2024-2025学年九年级下学期中考模拟数学试题

初三数学学业水平诊断练习 （试卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 某一天，长春、吉林、哈尔滨、沈阳四个城市的最低，气温分别是，，其中最低气温是（　　） A. B. C. D. 2. 若等式成立，则“”中填写的单项式是（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A 2 B. 3 C. D. 5. 如图，在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 反比例函数的图像在第一、三象限，则点在第（　　）象限． A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：___________． 8. 不等式的解集是 ________． 9. 如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是_______． 10. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，点分别为的中点，连接．若测得，则的长为______． 11. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处，折痕交于点C，则弧的长是 ___________． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 先化简，再求值：，其中 13. 动力电池常常应用于电动汽车、电动船舶、电动列车和电动自行车等交通工具，为拓宽学生科技视野，某校开展科普知识进校园活动，九年级（）班选出小致为全校同学介绍应用动力电池的两种交通工具，老师将代表这四种交通工具的图片依次编号为（图片除编号和内容外，其余完全相同）．将这四张图片背面朝上，洗匀放好，小致先从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求他抽到的两张图片编号恰好是和的概率． 14. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？ 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，要求所画的三角形的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，作线段（画一条即可）； （3）在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）． 16. 根据“双减”文件精神，某学校为优化学校作业管理，探索减负增效新举措．学校对学生完成作业时间进行问卷调查，将学生完成作业时间分成A，B，C，D四个层级，其中C层级的数据如下：59 58 58 55 55 53 50 50 49 47 45 42 42 40 39 35．对收集信息进行统计，并将结果绘制成图1所示频数分布表和图2所示的不完整的扇形统计图。 学生完成作业情况频数分布表 作业时间（分钟） 层级 A B C D 频数 4 m 16 10 图1 请你根据统计信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有______人，m=______，所有数据的中位数为______； （2）求图2中“D”层级扇形圆心角的度数； （3）全校有学生1200人，请你估计“B”层级的学生约有多少人？ 17. 如图，内接于 且为的直径，过点作，交于点，交于点．过点作直线交的延长线于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 18. 如图，在中，，，是边的中线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B匀速运动，过点P分别作于点Q，交于点E，设点P运动的时间为，以点P、Q、D、E为顶点的四边形的面积为． （1）当点E与点D重合时，求x的值； （2）求y关于x函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当y的值是的面积的时，直接写出x的值． 七、解答题 19. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上一点，横坐标为，点不与重合． （1）求此抛物线解析式． （2）当，求的值． （3）作点关于抛物线对称轴的对称点为点，当点到直线的距离是点到轴距离2倍时，求的值． （4）设点的坐标为，点的坐标为，连接．当抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点时，直接写出的取值范围． 五、解答题（每小题8分，共16分） 20. 如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰．其中，经测量，钢条．求钢条的长．（精确到，参考数据： 21. 用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图①）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图②中的线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）求线段对应的函数表达式． （2）先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图②中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象，并标注出所对应的值． 六、解答题(每小题10分，共20分) 22. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】． 验证】请将下列证明过程补充完整： 矩形纸片沿所在的直线折叠， 　　， 四边形是矩形， ∴， 　　， ∴______=______， ∴． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学学业水平诊断练习 （试卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 某一天，长春、吉林、哈尔滨、沈阳四个城市的最低，气温分别是，，其中最低气温是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较四个负数的大小，比较负数大小时，绝对值越大的数实际值越小，数值最小的即为最低气温，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴最低气温是， 故选C． 2. 若等式成立，则“”中填写的单项式是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，正确掌握整式的加减运算是解题关键．由加法的意义，再直接利用整式的加减运算法则得出答案． 【详解】解：∵等式成立， ∴“□”填写的单项式是：． 故选：B． 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键． 根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形， 即看到的图形为， 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式计算即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ，即，解得， 的值可能是， 故选D． 5. 如图，在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，先根据题意判断出的取值范围是解答此题的关键．判断出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴C点符合题意． 故选：C． 6. 反比例函数的图像在第一、三象限，则点在第（　　）象限． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像的位置确定系数符号，进而求出k的取值范围，再判断点的坐标符号确定所在象限． 【详解】解： ∵反比例函数的图像在第一、三象限， ∴， 解得； ∴点的横坐标（正数），纵坐标为负数； 即横坐标正、纵坐标负的点位于第四象限； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 不等式的解集是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的解题步骤是解题关键. 9. 如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是_______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据点到直线上各点的线段中，垂线段最短即可得出结论． 【详解】∵PQ⊥l，垂足为Q， ∴依据是垂线段最短的原理， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查点到直线上各点的线段中，垂线段最短的实际应用，理解基本定理是解题关键． 10. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，点分别为的中点，连接．若测得，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直接根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处，折痕交于点C，则弧的长是 ___________． 【答案】π 【解析】 【分析】由圆的性质和折叠的性质易得到是等边三角形，即可求出，代入弧长公式即可求出弧的长，本题考查了弧长的计算，折叠的性质，利用圆的性质和折叠的性质得到是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 弧的长， 故答案为：π． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 13. 动力电池常常应用于电动汽车、电动船舶、电动列车和电动自行车等交通工具，为拓宽学生科技视野，某校开展科普知识进校园活动，九年级（）班选出小致为全校同学介绍应用动力电池的两种交通工具，老师将代表这四种交通工具的图片依次编号为（图片除编号和内容外，其余完全相同）．将这四张图片背面朝上，洗匀放好，小致先从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求他抽到的两张图片编号恰好是和的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知：一共有种等可能的结果，其中两张图片编号恰好是和有种结果， ∴． 14. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？ 【答案】200件 【解析】 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原来平均每人每周投递快件200件． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，要求所画的三角形的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，作线段（画一条即可）； （3）在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质作图即可； （2）根据垂线的性质作图即可； （3）取格点，作等腰直角三角形，画线段，使，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求； 【小问2详解】 如图②，线段即为所求（答案不唯一）； 小问3详解】 如图③，线段即为所求（答案不唯一）． 16. 根据“双减”文件精神，某学校为优化学校作业管理，探索减负增效新举措．学校对学生完成作业时间进行问卷调查，将学生完成作业时间分成A，B，C，D四个层级，其中C层级的数据如下：59 58 58 55 55 53 50 50 49 47 45 42 42 40 39 35．对收集信息进行统计，并将结果绘制成图1所示频数分布表和图2所示的不完整的扇形统计图。 学生完成作业情况频数分布表 作业时间（分钟） 层级 A B C D 频数 4 m 16 10 图1 请你根据统计信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有______人，m=______，所有数据的中位数为______； （2）求图2中“D”层级扇形圆心角的度数； （3）全校有学生1200人，请你估计“B”层级的学生约有多少人？ 【答案】（1）50，20，58.5 （2）72° （3）估计“B”层级的学生约有480人 【解析】 【分析】（1）由“D”层级的人数除以所占百分比可求接受问卷调查的学生人数；再求得m的值；根据中位数的定义求解即可； （2）由360°乘以“D”层级的人数所占的比例得出扇形统计图中“D”层级的扇形的圆心角的度数； （3）由全校的学生人数乘以“B”层级的学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：接受问卷调查的学生共有：10÷20%=50（人）， m=50-4-16-10=20， 从大到小排列后，第25个和26个数据落在C层级，分别为59、58，所以中位数为=58.5， 故答案为：50，20，58.5； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“D”层级的扇形的圆心角的度数为：360°×20%=72°； 【小问3详解】 解：全校约有学生1200人，估计“B”层级的学生约有：1200×=480（人）， 答：全校约有学生1200人，估计“B”层级的学生约有480人； 【点睛】本题考查了扇形统计图．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数以及用样本估计总体． 17. 如图，内接于 且为的直径，过点作，交于点，交于点．过点作直线交的延长线于点，且． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质、圆周角定理的推论、勾股定理应用，解题的关键是掌握相关的性质定理，进行证明． （1）先证明即可得出，从而证明结论； （2）先求出，再求出，利用勾股定理求出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是⊙的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是⊙的半径， ∴直线与⊙相切； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 18. 如图，在中，，，是边的中线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B匀速运动，过点P分别作于点Q，交于点E，设点P运动的时间为，以点P、Q、D、E为顶点的四边形的面积为． （1）当点E与点D重合时，求x的值； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当y的值是的面积的时，直接写出x的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解； （2）分为当时，当时，当时，分别画图解答即可求解； （3）将分别代入解析式求解即可 【小问1详解】 解：在中，是边的中线． ∴，又． ∴当点与点重合时，， ∴． 【小问2详解】 由（1）得，是等腰直角三角形， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ， ， 当时，如图1， ∴； ； ②当时，如图2， ∴，， ∴， ； ③当时，如图3， 根据题意得， ∴， ， 综上，当时，；当时，；当时，． 【小问3详解】 当y的值是的面积的时， 即， 将代入得：，无解． 将代入得：，解得：或（舍去）； 将代入得：，解得：或（舍去）； 综上，或． 【点睛】该题主要考查了直角三角形的性质，动点函数，二次函数的应用，解题的关键是画出对应图形和分阶段讨论． 七、解答题 19. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点是抛物线上一点，横坐标为，点不与重合． （1）求此抛物线的解析式． （2）当，求值． （3）作点关于抛物线对称轴的对称点为点，当点到直线的距离是点到轴距离2倍时，求的值． （4）设点的坐标为，点的坐标为，连接．当抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求出的面积，再由，即可求解； （3）求出抛物线对称轴，得C点坐标，求直线解析式，分别表示出点到直线的距离是点到轴距离，建立方程，求解即可； （4）由于E，F，坐标不确定且与m有关，所以分情况讨论即可 ． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点， ，解得， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， 抛物线对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴的对称点为点， ， 直线的解析式为， 由题意知，， 点到轴距离为， 点到直线的距离是， 点到直线的距离是点到轴距离2倍， ， 或， 解得或； 【小问4详解】 当或或时，抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点． 线段是直线的一部分， 在中，当时，， 当，即时，，如图3，此时抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点， 当，即时，方程有实根， 如图1，当时，则，即点F在点E的右边， 抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点， ， 解得：； 解得：； ； 当时，，此时抛物线在两点之间部分（包含两点）与线段没有公共点， 当时，如图2，此时抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点， 若E点在抛物线上，，即 ， 综上，当或或时，抛物线在两点之间的部分（包含两点）与线段有1个公共点． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线综合应用，点到直线距离，二次函数与坐标轴交点等知识点，灵活运用这些知识是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 20. 如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰．其中，经测量，钢条．求钢条的长．（精确到，参考数据： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，解直角三角形的应用，先根据等腰三角形的三线合一得，再把代入数值得，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， 即钢条长为． 21. 用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图①）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图②中的线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）求线段对应的函数表达式． （2）先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图②中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象，并标注出所对应的值． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据慢充和快充所充的电量加上原本的电量等于充满的电量建立方程求出a的值，再画出对应的函数图象即可． 【小问1详解】 解：设线段对应的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴线段对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， 解得， 如图所示，即为所求： 六、解答题(每小题10分，共20分) 22. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】． 【验证】请将下列证明过程补充完整： 矩形纸片沿所在的直线折叠， 　　， 四边形是矩形， ∴， 　　， ∴______=______， ∴． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】【验证】；；；【应用】（1），理由见解析；（2） 【解析】 【分析】【验证】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； 【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解；（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：验证：矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等角对等边）． 故答案为：；；； 应用：（1）； 理由如下： 由四边形折叠得到四边形， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等角对等边）， ， ，即； （2）∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴． 点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $