2026届高考数学二轮专题强化训练：三角函数的单调性

**基本信息** 聚焦三角函数单调性，通过图像分析与代数推理结合，系统覆盖区间判断、参数求解及性质综合应用，强化数学思维与逻辑表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|7选择|五点作图法、整体代换求单调区间、充分必要条件判定|从三角函数定义到图像性质，构建“定义-图像-性质”推导链条| |综合提升|4多选+5解答|对称性与单调性结合、分类讨论参数范围、三角恒等变换|整合周期性、对称性与单调性，形成“性质综合-问题解决”应用逻辑| |开放探究|3填空|抽象函数单调性判定、存在性问题论证|拓展至抽象情境，培养数学眼光与创新意识|

2026年高考数学二轮专题强化训练： 三角函数的单调性 1．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A． B． C． D． 2．“”是“函数在上单调递减的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（   ）    A．， B．， C．， D．， 4．设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 5．已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 8．若函数的图象经过点，则（   ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 9．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上是增函数 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是周期为的奇函数 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．的值域是 11．已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 三、填空题 12．函数恒有，且在上单调递增，则 ． 13．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 . 14．关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 四、解答题 15．已知函数， (1)求函数的值域、对称轴方程、单调递减区间； (2)，若，求函数的值. 16．已知函数． (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间． 17．已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 18．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 19．已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若，求的值域. 参考答案 1．D 【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质 2．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当时，， 由，则，单调递减成立，即充分性成立； 当时，函数在上单调递减， 推不出成立，如，故必要性不成立； 综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A 3．D 【分析】由图象可知函数的周期，结合函数图象求解最值点的横坐标，即可求出其单调递减区间. 【详解】由图可知的周期； 故图象的最高点和最低点的横坐标分别为， 故的单调递减区间为，. 故选：D    4．D 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 5．A 【分析】根据题设有，进而求得、，再求函数值. 【详解】由题设或，， 所以或，则（舍）或， 所以，，又，则， 所以，故. 故选：A 6．C 【分析】先求在上的单增区间，结合题意，可得关于与的不等式组，分，，三种情况得出的取值范围. 【详解】令，则， 因在区间上单调递增，则， 即且且， 若，则不等式组的解集为空集； 若，则； 若，则不等式组的解集为空集， 则的最大值为. 故选：C 7．B 【分析】由函数的对称性可得对称轴，再由零点联立方程得出，再由函数单调性确定关于周期的不等式，求出，联立可得的范围，据此分类讨论确定检验，即可得出 【详解】由得， 即的图象关于直线对称，且， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即， 所以，，解得，而，故，1，2. 当时，，则，，结合，得， 此时，当时， 由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，，结合，得， 此时，当时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，满足题意； 当时，，，，结合，得， 此时，当时， 由于在上不单调，故在上不单调，不满足题意. 综上，或1，则的最大值与最小值之和为. 故选：B 8．AC 【分析】先求出解析式，对于A，求出函数的对称中心即可判断；对于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）函数图象性质得出函数的单调增区间. 【详解】由题，又，故，所以， 对于A，令，则， 所以的对称中心为， 当时，，故点为函数图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，由上的最小正周期为，故B错误； 对于C，当，，故，故C正确； 对于D，令，所以， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 令即，所以即， 所以函数的零点为，作出函数的示意图，    所以函数的单调增区间为，故D错误. 故选：AC. 9．ACD 【分析】对于A：整理可得，即可求最小正周期；对于B：举反例说明即可；对于C：可得，以为整体，利用诱导公式以及倍角公式运算求解；对于D：可得，以为整体，结合两家和差公式运算求解. 【详解】对于A：因为， 所以函数的最小正周期为，故A正确； 对于B：因为， 即，可知函数在上不是增函数，故B错误； 对于C：若， 则，故C正确； 对于D：， 则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 10．CD 【分析】先化简，，A选项利用奇函数若，则，验证；B选项令，求出对称中心的坐标；C选项通过令，求出的增区间，再判断是否正确；D选项通过，确定的值域. 【详解】. 对于A，周期为，，因此不是奇函数，故A错误； 对于B，令，，解得：, 当时，，所以关于对称， 则关于对称，故B错误； 对于C，令，，解得:， 所以增区间为，, 当时，则，故C正确； D选项：，则，则，故D正确. 故选：CD. 11．AC 【分析】分析出关于中心对称，关于轴对称，根据单调性得到，设对称中心和对称轴的距离为，则，设的最小正周期为，分，，，和五种情况，结合函数的性质判断出答案. 【详解】，故关于中心对称， ，故关于轴对称， ，则， 在上是单调函数，所以，故， 设对称中心和对称轴的距离为，则， 设的最小正周期为， 若，则，故，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 当时，，不合要求， 综上，所有可能取值为1或5. 故选：AC 12． 【分析】利用函数最值得出，所以，已知在上单调递增，所以，解出.分和，根据在上单调性进行讨论，得出值. 【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即， 所以，所以 已知在上单调递增，所以，即，解得. 当时，因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得，所以， 解得，故. 当时，因为，所以. 取，则，因为， 所以，故在上单调递减，不满足题意. 同理可得，时，也不满足题意. 综上可得：. 故答案为：. 13． 【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得，即， 因为在上是增函数，则， 所以函数的增区间包含， 令，得， 所以，所以故的取值范围为. 故答案为： 14．②③ 【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误. 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 15．(1)值域，对称轴方程，减区间； (2). 【分析】（1）利用和角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由同角公式求出，再代入（1）中求值. 【详解】（1）依题意，， 所以函数的值域为； 由，得函数的对称轴方程； 由，得单调递减区间. （2）由，，得，所以. 16．(1) (2)最小正周期，， 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由余弦二倍角公式得到，从而得到； （2）利用三角恒等变换得到，利用得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）因为，且， 所以，， 所以． （2）， 所以函数的最小正周期． 由，， 解得，． 所以函数的单调递减区间，． 17．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 18．(1)． (2) 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间. （2）由（1）结合已知求出，再利用差角的余弦公式求解即得. 【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得，， 即，则，， 所以 . 19．(1)最小正周期； (2) 【分析】（1）利用和角公式、二倍角公式和辅助角公式将函数解析式化成正弦型函数，求得最小正周期，借助于正弦函数的单调区间即可求出其单调减区间； （2）由给定范围求得整体角的范围，结合正弦函数的图象，即可求得函数的值域. 【详解】（1） ， 故函数的最小正周期 由，可得. 故函数的单调减区间为：； （2）因，由，可得， 由正弦函数的图象，可得， 故的值域为. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $