小练14 导数与函数的单调性-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练14 导数与函数的单调性 (考试时间：30分钟满分：117分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 5.(教材改编题)已知定义在R上的函数 1.(教材改编题)函数f(x)=x2-lnx的单调 f(x)满足f(-x)+f(x)=0,f(一2)=0， 递减区间是 f(x)是f(x)的导函数，当x>0时， Ao.号 xf(x)-f(x)<0,则不等式f(x)>0的 解集为 B[竖+) A.(-∞，-2)U(0,2) B.(-∞，-2)U(2,+∞) C.(-2,0)U(0,2) D.(-2,0)U(2,+∞) D.[-9oo,号 8已知a=2.6六4=2h2则eac 2.(教材改编题)若函数f(x)=x2一alnx十1 这三个数的大小关系为 在[1，十o∞)上单调递增，则实数a的最大 A.c<b<a B.a<b<c 值为 C.a<c<b D.c<a<b A.-1B.0 C.1 D.2 7.(多选)如图是函数y=f(x)的导函数 3.已知函数f(x)=ax十lnx十3在区间 f'(x)的图象，则 (1,2)上不单调，则实数a的取值范围是 A.(-2,-1) B(1,》 c[-1,] A.f(x)在（一2,1）上是增函数 B.f(x)在(-2，-1)上是减函数 D(合 C.f(x)在(-1,2)上是增函数 4.如图，直线1和圆P,当1从l。开始在平面 D.f(x)在(2,4)上是减函数 上按逆时针方向绕点O匀速转动（转动角 8.（多选)小明在研究物理中某种粒子点P(x,y) 的运动轨迹，想找到y与x的函数关系，从而 度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分 解决物理问题，但百思不得其解，经过继续 的面积S是时间t的函数.这个函数的图象 深入研究，他发现y和x都与某个变量t 大致是 (t∈R)有关联，且有 {x=t一sint,小明以 Ly=1-cos t. 此为依据去判断函数y=f(x)的性质，得 到了一些结论，有些正确的结论帮助小明 顺利的解决了物理问题，同时也让小明深 深感受到学好数学对物理学习帮助很大！ 我们来看看，小明的以下结论正确的是 A.函数y=f(x)的图象关于原点对称 B.函数y=f(x)是以2π为周期的函数 C.函数y=f(x)的图象存在多条对称轴 D.函数)=x)在(0,2)上单调递增 27 9.(5分)若定义在R上的函数f(x)=ax3+14.(15分，教材改编题)利用函数的单调性， bx2+x的单调增区间为（一1,1），则a+b 证明下列不等式 (1)e>1+x,x≠0； 10.(5分)已知函数f(x)=-x2+aln(2x+3) (2)lnx<x<e,x>0; 在（一1，十oo)上是减函数，则实数a的取 (3)x≥0时，xex≤ln(1十x). 值范围是 11.(5分)若函数f(x)=(m.x2-2x)e在 [1,3]上存在单调递增区间，则实数m的 取值范围是 12.（15分)已知函数f(x)=(x-2)e一 1 2a.x2+ax(a∈R. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性. 15.(15分)设函数g(x)在区间D上可导， g'(x)为g(x)的导函数，若g(x)是D上 的减函数，则称g(x)为D上的“上凸函 数”；反之，若g(x)为D上的“上凸函数”， 则g'(x)是D上的减函数. (1)判断函数f(x)=2 xcos x-1在 (0,)上是否为“上凸函数”，并说明理由： 13.（15分，教材改编题)设函数f(x)=xe-r （2)若函数h)=一号女+方ax-alnz +bx,曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切 十ax是其定义域上的“上凸函数”，求实数 线方程为y=ex+e. a的取值范围. (1)求实数a,b的值； (2)求f(x)的单调区间. 28数学 ·(x-x1), 即y=(2x1十2)x-x号①. (3分) 函数y=-x2十a的导函数为y'=-2x, 设曲线C2上的切点为Q(x2,一x十a), 则点Q处的切线方程为y一(-x十a)=一2x2(x x2）, 即y=-2x2x十x号十a②. (6分) 设直线1是过点P和点Q的公切线， 则①式和②式都是直线（的方程， 则 消去x2得方程2x十2z1十1十a=0, (8分) 因为C和C:有且仅有一条公切线， 所以△=4-4X21十a)=0,解得a=-之， 所以x=一交： 即当a=一 之时，C和C有且仅有一条公切线， 由①得公切线方程为y=x一4： 1 (10分) (2)由1)可知，当a<-合时，C和C,有两条公 切线， 设一条公切线上的切点为P(x1y1),Q(x2y2), 其中点P在C上，点Q在C2上， 则有x1十x2=-1, 则y十y=x十2x1十(-十a)=x十2x-(1十 1)2+a=-1十a, 故线段PQ的中点坐标为(-是，一+），13分) 同理求得另一条公切线段PQ'的中点坐标也 是（合2） 所以公切线段PQ和P'Q互相平分， 即若C和C:有两条公切线，相应的两条公切线段 互相平分. (15分) 小练14导数与函数的单调性 1.A【解析】由题可得了(x)=2x-1=2x- ,x 0,令了()≤0，解得0<≤号，所以函数了(x)的 单调递减区间为(0，号]，故选A 2.D【解析】(x)=2x-冬，由f(x)在 [1,十∞)上单调递增，可知在[1，十∞)上恒有 f(x)=2x-是≥0，即a≤(2x2)因为y=2x2 在[1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，y=2x2取 最小值，且最小值为2，所以a≤2，当a=2时， 2 参考答案及解析 f(x)=2(x-)≥0在[1，+∞)上恒成立，所以 f(x)在[1，十∞)上单调递增，所以实数a的最大值 为2.故选D. B【解析】由题可得了(x)-a+是=中x∈ (0,十∞)，当a≥0时，f(x)>0,函数f(x)单调递 增，不合题意；当a<0时，令f(x)>0,解得0<x< 一立令了(x)<0,解得>-是，所以f()在区 间(0，一日)上单调递增，在区间(-日，十∞)上单 调递减，又因为函数f(x)在区间(1,2)上不单调， 所以1<-<2，解得-1<a<-子，综上所述，实 数a的取值范围是(-1，-令)，故选B 4.D【解析】观察可知面积S的变化情况为“一直增 加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象 是变化率先变大再变小，由此知D项符合要求，故 选D. 5.A【解析】令g(x)=fC,则g(x)= 工f(x)-f,由题可知，当x>0时，g(x)<0, 故g(x)在(0，十∞)上单调递减，因为f(-x)+ f()=0,所以f()为奇函数，又y=是也为奇函 数，故y=g(x)为偶函数，则g(x)在(-∞，0)上单 调递增，又f(-2)=0,则g(-2)=二2=0，画 -2 出y=g(x)的大致图象如图所示， g(x)- f(x) 2 当x>0时，要使f(x)>0,则g(x)>0,数形结合可 知，此时x∈(0,2)：当x=0时，因为f(x)为R上 的奇函数，故f(0)=0,不满足题意；当x<0时，要 使f(x)>0,则g(x)<0,数形结合可知，此时x∈ (一©∞，一2).综上所述，不等式∫(x)>0的解集为 (-∞，-2)U(0,2).故选A. 6C【解折】令f)-,则f(x)=22兰 (2x)2 1n工，令f(x)>0,解得0<x<e:令∫(x)<0, 2x2 解得x>e,所以f(x)在(0，e)上单调递增，在 (e,十∞)上单调递减，由题可得c=2-n2 e2 参考答案及解析 e ne2ln2n2f(号)，a=2-n4=f(4)7 4 8 6=六-=f(e),因为专4，e均在单调递减区何 内，且c<号<4，所以f)<f(号)<f(e),所以 a<c<b.故选C 7.BCD【解析】由图可知，当-2<x<一1时， f'(x)<0:当-1<x<2时，f(x)>0;当2<x<4 时，f'(x)<0:当x>4时，f'(x)>0,所以f(x)在 (一2，-1)上单调递减，在(-1,2)上单调递增，在 (2,4)上单调递减，在(4，十∞)上单调递增.故 选BCD. 8.BCD【解析】对于A,由题意知y=1一cost≥0，故 f(x)不可能关于原点对称，A错误；对于B,y= sinx,y=cosx的周期均为2π，则y=f(x)是以2π 为周期的函数，B正确；对于C,当t=kπ，k∈Z时， x=kπ一sinkπ=kπ，k∈Z,此时y=1一cost有多条 对称轴，C正确；对于D,x=t一sint,令h(t)=t sint,则h'(t)=1-cost≥0，h(t)单调递增，由x∈ (0,2),易知t∈(0，受)，又g(t)=1-cost在 (0,乏)上单调递增，则根据复合函数的单调性可得 y=∫(x)在(0,2)上单调递增，D正确放选BCD g.一号【解析】由题意可得了(x)=3ax2+2bx+1, 因为f(x)的单调增区间为（一1,1），所以 ”w解0么比时 b=0, f(x)=-x2十1，令f(x)>0,解得-1<x<1,符 合题意，故a十6=一号 10.(-0,-号]【解析】由题得了()=-2x+ Za -4x-6x+2a,:f(x)在(-1，+∞)上是 2z+3=2x+3 减函数，∴.f(x)≤0在（一1，十∞）上恒成立，又 2x十3>0，.-4x2-6x十2a≤0在(-1，十o)上恒 成立，即a≤2x2十3.x在(-1，十∞)上恒成立，令 g6x)=2x十3，当x=-是时g)=-号，则 <一号，即实数u的取值范围是(-，号] 1.(号十o∞）【解析】由f(x)=(mr2-2x)e,得 f(x)=(m.x2-2x十2m.x-2)e,因为f(x)在 [1,3]上存在单调递增区间，所以只需f(x)>0 在区间[1,3]上有解，即nx2十2x-2x-2>0在 区间[1,3]上有解，所以m>2C在区间 x2+2x ·26 数学 [1,3]上有解，所以m> 「2(x+1)7 x2+2x」mi ,令t=x十 1,t∈[2,4]，则2(x+1」 2(x十1) 2t x2十2x (x十1)2-1-1= ，令80= 2 ,则8)在[2,4幻上单潤递 t 增，所以g(4)=g(40=4一子=只，所以 1 [是门=高所以m>是所以实致m的取 「2(x+1)7 值范围是（会，十∞） 12解：)当a=1时()=(x-2)e-合2+ 则f(x)=(x-1)e-x十1， 所以f(2)=0,f'(2)=e2-1, 所以切线方程为y=(e-1)(x-2), 即(e2-1)x-y-2(e2-1)=0. (4分) (2)由题可得f(x)=(x一1)e-ax十a =(x-1)(e-a), (5分) 当a≤0时，在区间(-∞，1)上，f'(x)<0: 在区间(1，十∞)上，f'(x)>0, 所以f(x)在区间（一∞，1）上单调递减，在区间 (1,十∞)上单调递增； (7分) 当a>0时，令f(x)=0, 解得x1=lna,x2=1, ①当lna=1,即a=e时，f'(x)≥0(x∈R), 则f(x)在R上单调递增： (9分) ②当lna<1,即0<a<e时， 在区间(-∞，lna),(1,十∞)上，f(x)>0, 在区间(lna,1)上，f(x)<0, 所以f(x)在区间(-o∞，lna),(1,+o∞)上单调 递增，在区间(lna,1)上单调递减； (11分) ③当lna>l,即a>e时， 在区间(-∞，1)，(lna,十∞)上，f(x)>0, 在区间(1，lna)上，f(x)<0, 所以f(x)在区间（一∞，1），(lna,十∞)上单调 递增，在区间(1，lna)上单调递减. (13分) 综上所述，当a≤0时，f(x)在区间(-∞，1)上单 调递减，在区间(1，十∞)上单调递增： 当a=e时，f(x)在R上单调递增； 当0<a<e时，f(x)在区间(-oo,lna), (1,十∞)上单调递增，在区间(lna,1)上单调 递减； 当a>e时，f(x)在区间(-o∞，1)，(lna,十∞)上 单调递增，在区间(1，lna)上单调递减.(15分) 13.解：(1)由题可得f(x)=e-r(1-x)+b, 因此曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 k=f(1)=b, (2分) 又f(1)=e-1+b, 数学 所以6=e, 1e-l+b=2e, 解得a=2,b=e. (6分) (2)由(1)可知f(x)=xe2-r+ex, f(x)=(1-x)e2-x+e. 令g(x)=(1-x)e2-x十e, 则g'(x)=(x-2)e2-r, 当x>2时，g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x<2时，g(x)<0,g(x)单调递减， (11分) 所以当x=2时，g(x)取得最小值，最小值为g(2)= e-1, 所以g(x)>0,即f(x)>0恒成立， 所以f(x)的单调递增区间为（一∞，十∞）.(15分) 14.证明：(1)要证e>1十x,只需证e-x-1>0, 令f(x)=e-x-1(x≠0)， 则f(x)=e-1, 因为f(0)=e-1=0, 所以当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减； 当x>0时，f(x)>0,f(x)单调递增， 故f(x)>f(0)=0, 即e-x-1>0, 所以e>1十x,x≠0得证， (4分) (2)要证lnxx,只需证x-lnx>0, 令f(x)=x-lnx(x>0), 则f(x)=1子 1 因为f(1)=1-1=0, 所以当0<x<1时，f(x)<0,f(x)单调递减； 当x>1时，f(x)>0,f(x)单调递增， 故f(x)≥f(1)=1在(0，十o)上恒成立， 即x-lnx>0, 所以lnx<x在(0，十∞)上恒成立. (7分) 要证xe,只需证e一x>0, 令g(x)=e2-x(x>0), 则g'(x)=e-1, 因为g'(0)=e°-1=0， 所以当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 故g(x)>g(0)=1在(0，十∞)上恒成立， 即e-x>0, 所以x<e在(0，十o∞)上恒成立. 综上，当x>0时，lnx<x<e. (10分) (3)设f(x)=e-(1十x),则f(x)=e-1, 当x≥0时，f(x)≥0，f(x)单调递增， 所以f(x)≥f(0)=0, 所以当x≥0时，e≥1十x>0, 所以号<十所以≤千 (12分) 令g(x)=n(1+x)-1十x 1 1 则g(x）=1十x1+x)十x) 2 参考答案及解析 当x≥0时，g'(x)≥0，g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0, 所以千≤n1+, 所以是≤千≤n1+: 所以当x≥0时，xer≤ln(1十x). (15分) 15.解：(1)因为f(x)=2 rcos-1,x∈(0,5)： 所以f(x)=2cosx-2 rsin x, (2分) 令u(x)=2cosx-2 rsin tE(0,)小 u'(x)=-4sin x-2xcos <0, 所以u(x)即∫(x)在(0，乏)上单调递减， 所以f(x)=2 cos-1在(0，号)上是“上凸函 数”. (5分) (2)因为h(x)=-号r十合ar-ainx十ax x>0, 所以h'(x)=-x2十ax-alnx-a十a=-x2十a.x aln x, (7分) 令(x)=-x2十ax-alnx,x>0, 则(x)=-2x+a-是， 因为h(x)是其定义域上的“上凸函数”， 所以h'(x)即(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以()=-2x+a-是≤0在xe(0,+o∞)上 恒成立， 即-2x2十a.x-a≤0在x∈(0，十∞)上恒成立. (10分) 一元二次函数g(x)=一2x2十ax一a的对称轴为直 线x=骨 当x=是<0，即a≤0时，只需g(0)≤0， 解得a≥0，则a=0; (12分) 当x=是>0，即a>0时，只需（号）≤0， 即-号+号-a<0,解得0<a<8 (14分) 综上，实数a的取值范围为[0,8]. (15分) 小练15导数与函数的极值、最值 1.A【解析】依题意设其中一个正方形的边长为xdm (0<x<2),则另一个正方形的边长为(2-x)dm,所 以两个正方形的面积和为S=x2十(2-x)2=2x2 4x十4=2(x-1)2十2(0<x<2),当x=1时，两个正 方形的面积和最小，此时另一个正方形的边长为2 1=1dm,所以两个正方形的边长分别为1dm,1dm. 故选A.