精品解析：广西百色市2026届初中毕业班学业水平考试适应性检测 数 学

2026届初中毕业班学业水平考试适应性检测 数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．答题结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 6. 南宁市教育和体育局为了了解该市义务教育阶段学校120万名学生眼睛视力情况，在南宁市所属各区县不同地区的学校按照学生比例随机抽查了5万名学生进行测试，并将结果进行统计，在这个调查中，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是5万名学生 B. 总体是该市义务教育阶段学校的120万名学生的视力情况 C. 这个调查是全面调查 D. 个体是该市义务教育阶段学校的每一名学生 7. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 8. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在和之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 10. 某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 12. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上．） 13. 25的算术平方根是 _______ . 14. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要著作．某中学拟从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是________． 15. 把多项式分解因式的结果是_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（ ）的图象上，则的面积等于______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）计算：； （2）解方程组：． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 19. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：（A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，85，87，89，89． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 a 九年级 b 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由； （3）该校八、九年级共有学生1800人且全部参与问卷调查，请估计八、九年级共有多少名学生的成绩不低于90分？ 20. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 21. 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：100000元 花费：96000元 单价：x元/个 单价：元/个 （1）项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 22. 【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式： 【实践探究】 （2）在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离； 【拓展应用】 （3）为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度． 23. 新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”． 【初步探索】 （1）如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N． ①求证：； ②若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业班学业水平考试适应性检测 数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．答题结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴点位于第二象限． 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 5. 2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据立体图形的三视图进行判断即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同． 6. 南宁市教育和体育局为了了解该市义务教育阶段学校120万名学生眼睛视力情况，在南宁市所属各区县不同地区的学校按照学生比例随机抽查了5万名学生进行测试，并将结果进行统计，在这个调查中，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是5万名学生 B. 总体是该市义务教育阶段学校的120万名学生的视力情况 C. 这个调查是全面调查 D. 个体是该市义务教育阶段学校的每一名学生 【答案】B 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本容量、全面调查与抽样调查的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：样本容量是样本中个体的数目，是一个数值，不能表述为“5万名学生”， A选项说法错误； 总体是考查对象的全体，本题考查对象是该市义务教育阶段120万名学生的视力情况， B选项说法正确； 本次调查只抽取部分学生进行测试，属于抽样调查，不是全面调查， C选项说法错误； 个体是总体中每一个考查对象，本题个体是该市义务教育阶段每一名学生的视力情况，不是每一名学生本身， D选项说法错误． 7. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，即化简为最简二次根式后被开方数为，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：同类二次根式化简后被开方数相同才可合并 对各选项依次化简： 选项A，，被开方数为，不能与合并； 选项B，，被开方数为，能与合并； 选项C，，被开方数为，不能与合并； 选项D，，被开方数为，不能与合并； 8. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在和之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 9. 三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出年平均增长率，根据两年增长后的总收入列方程求解即可． 【详解】解：设2023年到2025年的年平均增长率为， 2023年旅游总收入为100亿元，经过两年增长后2025年总收入为121亿元， 可列方程为， 两边同除以100得， 增长率为正数， ， 解得， 即年平均增长率为． 10. 某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令和相交于点，根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：令和相交于点， ， ， ， ， ． 11. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为． 12. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数与x轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断． 【详解】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故①错误； ②函数的对称轴是，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故②错误； ③当时，方程有一根在和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0， 则，故③正确； ④∵抛物线对称轴为，则， ∴，故④正确； ⑤抛物线的顶点为， ∴方程没有实数根时， ∴抛物线顶点在x轴下方, ∴， ∴，故⑤正确， ∴正确的选项有③④⑤共3个． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上．） 13. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 14. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要著作．某中学拟从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵一共有4部数学著作，且每部数学著作被选择的概率相同， ∴从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是． 故答案为：． 15. 把多项式分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了公式法因式分解，正确应用公式是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（ ）的图象上，则的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】过点、点作轴的垂线，垂足为，则，得出，设，则，根据反比例函数的解析式表示出， ，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，则， ∴， ∵是的中线， ∴， 设，则， ∵点在反比例函数（）的图象上， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理数运算法则进行计算即可； （2）用加减消元法进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：得：， 解得， 将代入①，解得， ． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2） 解：猜想， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵． ∴，， ∵， ∴ ∵的平分线，交于点M． ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可； （2）利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，，，利用角平分线得到，则，即可证明猜想． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：（A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，85，87，89，89． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 a 九年级 b 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由； （3）该校八、九年级共有学生1800人且全部参与问卷调查，请估计八、九年级共有多少名学生的成绩不低于90分？ 【答案】（1），， （2） 解：九年级学生对阅兵活动相关知识更加了解，理由如下：八、九年级的平均分均为分，九年级的中位数，众数均高于八年级的中位数，故整体上看九年级学生竞赛成绩较好． （3）人 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可得到答案； （2）根据平均分、中位数，众数进行分析即可解答； （3）用样本估计整体进行计算即可． 【小问1详解】 解：众数， 中位数是第位数据，的人数为：人， 的人数为：人， 故， 组所占百分比， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：九年级组人数：人， 八年级90分以上人， 人． 20. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 故是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，根据为的直径，得到，证明即可得到结论； （2）设的半径为，则，求出，证明，根据相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 点B是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故的半径为． 21. 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：100000元 花费：96000元 单价：x元/个 单价：元/个 （1）项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【解析】 【分析】（1）根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出现在单枪和双枪新能源充电桩的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，列分式方程可得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个； 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个） 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个） 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 根据题意，得 解得 ∵a为整数， ∴a的最小值为4， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 22. 【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式： 【实践探究】 （2）在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离； 【拓展应用】 （3）为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度． 【答案】（1） （2）该点到支架的水平距离为米或米； （3）支架的最大长度为． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标和点D的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）利用（1）中函数解析式直接求解； （3）根据题意得出A，B两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，设，可得，利用配方法求的最大值； 【小问1详解】 解：由题知，，抛物线的顶点坐标为， ， 代入点可得，，解得， ． 【小问2详解】 解：令，即， 解得， 答：该点到支架的水平距离为米或米； 【小问3详解】 解：由题知，， 当时，， ， 设直线的解析式为，代入，， 可得， 解得， 直线的解析式为， ， 设， 点F在线段上，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值1.125． 支架的最大长度为． 23. 新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”． 【初步探索】 （1）如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N． ①求证：； ②若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长． 【答案】（1） （2）①证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，证明是等腰直角三角形，得到，即可得到结论； （2）①根据题意证明，即可证明，即可得到结论； ②根据题意证明为等腰三角形，得到点为的中点，求出，根据勾股定理求出，再证明故点为中点，求出，即可得到答案； （3）分点是中点和点是中点两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：，证明如下： 过点作，则四边形是矩形， ∴， 矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”， ，， 是等腰直角三角形， ， 矩形， ， ； 【小问2详解】 解：①略 ②，，四边形是“直角等距四边形”， ， 为等腰三角形，， 点为的中点， ， 在中，， 由①知， ， 是等腰三角形，， 故点为中点， ， ； 【小问3详解】 解：在中，，， ， 当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”． 过作于， ∴， ∴， ∴， 设， 由“等垂点”可得，， ∴，、 ∵， ， ，， ∵， ∴，解得， ∴； 当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”． 过作于， ∴， ∴， ∴， 解得， 由“等垂点”可得，，同理可得， ，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $