精品解析：广西 崇左市宁明飞鸿学校2025-2026学年下学期期中质量检测九年级数学科试卷

2026年春季学期期中质量检测 九年级数学科试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后“；“一个未知数“；“未知数的最高次数是2“；“二次项的系数不等于0“；“整式方程“． 利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】A、方程是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义； B、方程含两个未知数和，属于二元二次方程，不符合“一元”条件； C、方程中，为分式，不是整式方程，因此不符合要求； D、方程中，未知数的最高次数为1，属于一元一次方程． 故选：A． 3. 将抛物线y＝3x2向右平移3个单位，所得到的抛物线是（ ） A. y＝3x2＋3 B. y＝3(x－3)2 C. y＝3x2－3 D. y＝3(x＋3)2 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（3，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移3个单位所得对应点的坐标为（3，0），所以平移后的抛物线解析式为y＝3(x－3)2 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4. 如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， ∴． 5. 直线与双曲线相交于，两点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，联立方程组、正确计算是解题的关键．先求出反比例函数解析式，再联立两个函数的方程求解交点坐标即可. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴将，代入得， 解得， ∴双曲线的解析式为， 联立两个函数的方程：， 消去，得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为． 故答案为：A． 6. 已知的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系． 根据圆心A的坐标是，点P的坐标是，可以求得的长，然后用的长与圆的半径比较大小即可判断点P与的位置关系． 【详解】解：∵圆心A的坐标是，点P的坐标是， ∴， ∵的半径为5，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故选：C． 7. 如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，，先求出，再求出，根据切线的性质，即可求解， 本题考查了，正多边形与圆，切线的性质，解题的关键是：添加辅助线求出的度数． 【详解】解：如图，连接OA，， ∵多边形ABCDE为圆内接正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵PA为圆O的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 一个不透明的盒子内装中有除颜色外，其余完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，小星将盒中小球搅匀后，每次从中随机摸出一球，记下颜色后放回盒中搅匀，再从中随机摸出一球．下面是他前两次摸球的情况： 次数 第1次 第2次 第3次 颜色 红球 红球 ？ 当小星第三次摸球时，下列说法正确的是（ ） A. 一定摸到红球 B. 摸到红球的可能性小 C. 一定摸不到红球 D. 摸到红球、白球、黄球的可能性一样大 【答案】D 【解析】 【分析】根据三种颜色的球个数相同即可得到解答． 【详解】解：∵一个不透明的盒子内装中有除颜色外，其余完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球， ∴从中随机摸出一球得到摸到红球、白球、黄球的可能性一样大， 故选：D 【点睛】此题考查了事件发生可能性的大小，读懂题意是解题的关键． 9. 如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 四边形的面积 D. 的面积 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，由，可证，则，，可证，则，由，可得，即可求的面积，然后判断作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即可求的面积， 故选：B． 10. 如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，分别为，的中点，可知是的中位线，根据中位线定理可以求出，根据角平分线的性质可证，根据线段之间的关系可以求出的长度． 【详解】解：，，， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ． 11. 如图，在中，，，，点D在边上，，将沿折叠，的对应边为，连接．则的长为（　　） A. 5 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．过点E作于点F，推出为等边三角形，求得，在中，，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点E作于点F，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 故选：B． 12. 在正方形中，对角线、交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，且，连接交于点，，点在线段上，且，延长交于点，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的垂线，交于点，交于点，连接，由正方形的性质容易证明，则，结合等腰三角形三线合一的性质可得，因此，通过等量代换可得．容易证明是等腰直角三角形和四边形是矩形，则，，进而证明，因此也是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出．由和可得，从而证明，则． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 14. 假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种， ∴小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________. 【答案】5． 【解析】 【详解】解：设AE=x，则AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD. ∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∴△ACD∽△DCE， ∴，即 解得：x=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．相似三角形的判定与性质． 16. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 【答案】51 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 由题可知，， 设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：51． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）直接利用开平方法解方程即可； （2）把方程化为，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，. 18. 如图，在矩形中，若，求的长度． 【答案】1 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理得到，根据勾股定理求出的值，即可得到的长度． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． （1）求证：； （2）若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 20. 如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接． （1）求证：； （2）当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）在中点时，的面积最大，见解析． 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，，再结合正方形的性质，即可证明； （2）根据正方形的性质结合勾股定理求出的值，再根据（1）所得，通过全等的性质，可推出，设，，求出的面积，最后根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵线段绕点顺时针旋转至的位置， ∴，． ∵正方形， ∴，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形，为对角线，边长为 ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∵由（1）知， ∴，， ∴， ∵设，， ∴ ∵， ∴当时，有最大值， ∴，即， ∴在中点时，的面积最大． 21. 网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为6万件和8.64万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递的快递件数的月增长率； （2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有12个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的况下，能否完成今年8月份的投递任务？ 【答案】（1） （2）不能完成今年8月份的投递任务 【解析】 【分析】（1）设该快递公司投递的快递件数的月增长率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）根据平均增长率，求得8月份的投递任务，比较万件，判断即可．本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 【小问1详解】 设该快递公司投递的快递件数的月增长率为x，根据题意，得， 解得（舍去）， 答：设该快递公司投递的快递件数的月增长率为． 【小问2详解】 （万件）， 而实际投送量为万件）， 且， 答：不能完成今年8月份的投递任务． 22. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证； （2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 ∵是的直径，， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小华在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小华投出的手榴弹的运路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡的坡度为，坡顶A处的水平距离为30米． （1）求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）小华投出的手榴弹能否越过坡顶A？请说明理由； （3）若，坡上趴着几位“敌军”同学，手榴弹落地后会爆炸，爆炸后距落地点米范围内会受波及，问手榴弹落地爆炸后是否会波及斜坡？请说明理由． 【答案】（1） （2）小华投出的手榴弹能越过坡顶，见解析 （3）手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡，见解析 【解析】 【分析】本题是二次函数的应用，关键是利用待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式； （2）先利用坡度求出，再根据二次函数关系式求出当时，的值，再进行比较即可； （3）令，解方程求出手榴弹落地点到原点的距离，再利用勾股定理求出，从而求出，然后用与比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得：顶点，且抛物线过原点， 所以设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 小华投出的手榴弹能越过坡顶， 理由： 由（1）知， 当时，， ∵山坡的坡度为米， ∴米， ∵， ∴小华投出的手榴弹能越过坡顶； 【小问3详解】 手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡， 理由： 令，则， 解得， ∴手榴弹的落地点距离原点40米， ∵米，米， ∴(米)， ∴(米)， ∵， ∴手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期中质量检测 九年级数学科试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线y＝3x2向右平移3个单位，所得到的抛物线是（ ） A. y＝3x2＋3 B. y＝3(x－3)2 C. y＝3x2－3 D. y＝3(x＋3)2 4. 如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 10 5. 直线与双曲线相交于，两点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 7. 如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，的大小为（　　） A. B. C. D. 8. 一个不透明的盒子内装中有除颜色外，其余完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，小星将盒中小球搅匀后，每次从中随机摸出一球，记下颜色后放回盒中搅匀，再从中随机摸出一球．下面是他前两次摸球的情况： 次数 第1次 第2次 第3次 颜色 红球 红球 ？ 当小星第三次摸球时，下列说法正确的是（ ） A. 一定摸到红球 B. 摸到红球的可能性小 C. 一定摸不到红球 D. 摸到红球、白球、黄球的可能性一样大 9. 如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 四边形的面积 D. 的面积 10. 如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（     ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，点D在边上，，将沿折叠，的对应边为，连接．则的长为（　　） A. 5 B. 2 C. D. 12. 在正方形中，对角线、交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，且，连接交于点，，点在线段上，且，延长交于点，则（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 14. 假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是______． 15. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________. 16. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在矩形中，若，求的长度． 19. 如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． （1）求证：； （2）若，四边形与四边形相似，求的长． 20. 如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接． （1）求证：； （2）当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由． 21. 网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为6万件和8.64万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递的快递件数的月增长率； （2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有12个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的况下，能否完成今年8月份的投递任务？ 22. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 23. 某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小华在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小华投出的手榴弹的运路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡的坡度为，坡顶A处的水平距离为30米． （1）求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）小华投出的手榴弹能否越过坡顶A？请说明理由； （3）若，坡上趴着几位“敌军”同学，手榴弹落地后会爆炸，爆炸后距落地点米范围内会受波及，问手榴弹落地爆炸后是否会波及斜坡？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $