12.3证明（分层练习） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 苏科版七年级下册“12.3证明”同步练，通过“典型例题-举一反三-巩固练习”三层设计，实现从基础证明方法到综合推理应用的进阶，培养推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典型例题|单一知识点（平行线判定、推理依据）|以选择填空示例基础证明，如例1平行线判定条件辨析| |举一反三|变式应用（命题判断、条件补充）|通过变式题强化推理逻辑，如变式3添加平行条件| |巩固练习|综合拓展（新定义、跨情境应用）|结合生活情境（躺椅、仰卧起坐）提升应用能力，如15题“好友角”探究|

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 12.3证明 (分层练习) 【典型例题】 【例1】如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是( A.∠3+∠5=180°B.∠1=∠5 C.∠3=∠4 D.∠1=∠2 【例2】如图，直线AD∥BC,若∠2=52°，BA⊥AC于点A,则∠I为() A.38° B.32 C.52° D.58° 【例3】图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若AB与BC 的夹角为105°，∠1=55°，则∠2的度数为 第1页共41页 图1 图2 【例4】如图，点A,B,E在一条直线上.在空格上填写推理的依据. (1):∠1=∠3（已知）AB11DC( (2):∠DAE=∠CBE(已知，.AD/1BC( (3):∠CDA+∠DAB=180(已知，.AB1/DC( 【例5】完成下面推理说明： 己知：如图，BH∥CF,BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD. 求证：AB∥CD 第2页共41页 证明：：BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD(已知)， ∠2=∠ 2 21 ·（角平分线的定义). :BE∥CF(已知)， ∴.∠1=∠2(). ∠ABC=∠BCD .2 2 (等量代换). .∠ABC=∠BCD(等式的性质)· .AB∥CD() 【例6】如图，①AB∥CD,②BE平分∠ABD,③DE平分∠BDC,④∠I+∠2=90°. (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是 (“真”或“假”) 第3页共41页 命题； (2)若(1)为真命题，证明(1)中的结论：若(1)为假命题，请举出反例. 【举一反三】 【变式1】下列命题是真命题的是( ) A.若a<b,b>c,则a<c B.若a<b,则ac<bc C.若a=b,则ac≠bc D.若a>b,则a-c>b-c 【变式2】如图，若CB∥DF,则下列结论成立的是() 2 3 D A.∠1=∠2 B.∠1+∠2=90° C.∠2=∠3 D.∠1=∠3 【变式3】如图，点E在AD的延长线上，请添加一个恰当的条件 使 AB∥CD. 第4页共41页 B 【变式4】一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE,垂足为A,CD平行于地面AE,若 ∠ABC=115 ∠BCD ,则 的度数为 D 【变式5】如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式： (1):∠ABD=∠CDB(已知).—1(） (2):∠ADC+∠DCB=180(已知).—11 (3)AD11BE(已知.∠DCE= 第5页共41页 (4).—//—’∴.2BAE=∠CFE(—） 【变式6】(1)如图，DE∥BC,∠I=∠3，CD⊥AB,求证：FG1AB; (2)若把(1)中的“DE∥BC”与结论“FGLAB”对调，所得的命题是否为真命题？试说 明理由写出过程. D ●入 30 2〉 B G 【巩固练习】 1.下列命题是真命题的是() A.同位角相等 B.三角形的外角大于任何一个内角 C.垂线段最短 D.过一点有且只有一条直线与己知直线平行 第6页共41页 2.试说明“若∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A=∠C,则∠B=∠D”是真命题.以 下是排乱的推理过程： ①因为∠A=∠C(已知)； ②因为∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°（已知）； ③所以∠B=180°-∠A,∠D=180°-∠C(等式的性质)： ④所以∠B=∠D(等量代换)； ⑤所以∠B=180°-∠C(等量代换). 正确的顺序是( A.①→③→②→⑤→④ B.②→③→⑤→①→④ C.②→③→①→⑤→④ D.②→⑤→①→③→④ 3.一副三角板如图放置，∠A=45°，∠F=60°，AB∥EF,则∠CBF=() D B A.45° B.55° C.65° D.75° 第7页共41页 4.小明和小亮在研究一道数学题，如图，EF⊥AB,CD⊥AB,垂足分别为E,D,G在AC 上 小明说：“如果∠CDG=∠BFE,则能得到∠AGD=∠ACB”; 小亮说：“连接FG,如果FG//AB,则能得到∠GFC=∠ADG”. 则下列判断正确的是( ) A.小明的说法正确，小亮的说法错误B.小明的说法正确，小亮的说法正确 C.小明的说法错误，小亮的说法正确D.小明的说法错误，小亮的说法错误 5.如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且 ∠D=2∠D1C,E=2∠E6C.若<D1C的平分线与∠EBC的平分线的交于点P,则△与 第8页共41页 ∠2 的数量关系为() 2 A22=150°-∠ 6 2=13+2∠1 B. C.∠2=175°-∠1 D.∠2=115°+∠1 6.如图，AB∥CD,AE交CD于点F,∠A=60,∠C=25,则∠E= B 7.如图是某种可调节躺椅的示意图，AE与BD的交点为C,∠CAB=50°，∠CBA=60°， ∠CEF=30° 为了舒适，需调整CDF 大小，使∠EFD=120° 0，且<CMB<CBA 第9页共41页 ∠CEF ∠CDF 保持不变，则图中 应调整为 度 8.如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线， 延长FB和GC交于点H.设∠A=a,∠H=B,则a与P之间的数量关系为 F G 9.某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC=125°，AB∥DE,∠D=85°， 则∠ACD= A 10.如图所示，己知AB∥CF,AB⊥BD于点B,∠I+∠3=180°，则下列结论一定正确的有 第10页共41页 (填序号)· ①∠2=∠3；②∠4=∠AFD;③AF∥CE;④∠D=∠DCE;⑤∠FCD=90°；⑥∠4=∠2+∠3；⑦ 若∠1=120°，则∠ECD=30°. B A01 C 2 E D 11.已知：如图，AD⊥BC,EG⊥BC,垂足分别为D,G,∠1=∠E. 求证：AD为∠BAC的平分线. 证明：，AD⊥BC,EG⊥BC(已知)， ,∴，∠ADC=∠EGC=90(H .AD/1 ∴.∠1=( 第11页共41页 ∠E= 又.∠1=∠E(已知， .∠ 即AD为∠BAC的平分线. 12.如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C;③AB∥CD.请你从中任选两个作为条件， 另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性. G 13.仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动.如图1，这是小玲 同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，已知AB‖CD,AC‖DE,∠EDG=96°. 第12页共41页 B C DG 图1 图2 (1)求∠FAB的度数. (2)若∠ECD=54°，求∠E的度数. 14.如图，已知点E,F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H,∠C=∠EFG, ∠CED=∠GHD G D (1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由： (2)若∠EHF=70°，∠D=30°，求∠AEM的度数. 第13页共41页 15.【概念】如果两个角的度数之差为30°，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫 做另一个角的“好友角”，例如∠1=70°，∠2=40°，∠1-∠2=30°，则∠1和∠2互为“好 友角”，即∠1是∠2的“好友角”，∠2也是∠1的“好友角”. B 图1 图2 【理解】(1)若∠A=45°，则∠A的“好友角”的度数为： (2)已知∠1和∠2互为“好友角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，∠1的度数为； (3)如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部A处，已知∠B=58°， ∠C=82,若∠AEB和∠ADC互为“好友角，则AEB ”和 的度数为 第14页共41页 【拓展】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，过点C作AB的垂线，垂足为D, 1E、CD相交于点F.若CE与∠CEF互为“好友角”，求∠1BC 的度数. 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是() 第15页共41页 A.∠3+∠5=180°B.∠1=∠5 C.∠3=∠4 D.∠1=∠2 【答案】D 【例2】如图，直线AD∥BC,若∠2=52°，BA上AC于点A,则∠I为() A D B A.38° B.32° C.52 D.58 【答案】A 【例3】图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若AB与BC 的夹角为105°，∠1=55°，则∠2的度数为 第16页共41页 图1 图2 【答案】130° 【例4】如图，点A,B,E在一条直线上.在空格上填写推理的依据. D (1):∠1=∠3（已知），.AB/1DC( (2):∠DAE=∠CBE(已知)，.AD/IBC( (3)∠CDA+∠DAB=180(已知).AB1/DC( 【答案】(1)：'∠1=∠3（已知），.AB/DC(内错角相等，两直线平行). (2):∠DAE=∠CBE(已知)，.AD11BC(同位角相等，两直线平行). (3).'∠CDA+∠DAB=180°（已知），∴.AB/1DC(同旁内角互补，两直线平行). 第17页共41页 【例5】完成下面推理说明： 已知：如图，BH∥CF,BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD. 求证：AB∥CD 证明：：BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD(已知)， (角平分线的定义). .BE∥CF(已知)， ∴.∠1=∠2(). ,∠ABC=∠BCD .2 2 (等量代换)· .∠ABC=∠BCD(等式的性质)· .AB∥CD(). 【答案】：BECF分别平分∠ABC和∠BCD(已知)， 第18页共41页 :1=1乙ABC∠2=∠BCD 2 2 ,(角平分线的定义)， :BE∥CF(已知)， .∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）， ∠ABC=∠BCD ∴.2 2 (等量代换)， .∠ABC=∠BCD(等式的性质). ∴.AB∥CD(内错角相等，两直线平行). 【例6】如图，①AB∥CD,②BE平分∠ABD,③DE平分∠BDC,④∠I+∠2=90°. (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是(“真”或“假”) 命题； (2)若(1)为真命题，证明(1)中的结论：若(1)为假命题，请举出反例. 第19页共41页 【答案】(1)解：即若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是真命题， 故答案为：真； (2)解：.AB∥CD, ∴.∠ABD+∠CDB=180°∠ABD, ,BE平分， ∴.∠ABE=∠1， .DE平分∠BDC, ..∠CDE=∠2， ,∠ABD+∠CDB=180 ∴.∠ABE+∠1+∠CDE+∠2=180°， ∠1+∠1+∠2+∠2=180°， 2(∠1+∠2)=180°， ∠1+∠2=90°. 第20页共41页 【举一反三】 【变式1】下列命题是真命题的是( ) A.若a<b,b>c,则a<c B.若a<b,则ac<bc C.若a=b,则ac≠bc D.若a>b,则a-c>b-c 【答案】D 【变式2】如图，若CB∥DF,则下列结论成立的是() A B 2 3 D A.∠1=∠2 B.∠1+∠2=90° C.∠2=∠3 D.∠1=∠3 【答案】C 【变式3】如图，点E在AD的延长线上，请添加一个恰当的条件 使 AB∥CD. D E 第21页共41页 【答案】∠A=∠CDE(答案不唯一) 【变式4】一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE,垂足为A,CD平行于地面AE,若 ∠ABC=115 BCD ,则 的度数为 D B E 【答案】155° 【变式5】如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式： (1):∠ABD=∠CDB(已知)，.—11（—) (2)片∠ADC+∠DCB=180(已知)，.—11（—） (3AD1IBE(已知，.∠DCE=(—) (4)—1I’.∠BAE=∠CFE() 第22页共41页 【答案】(1)：∠ABD=∠CDB(已知，.AB/1CD(内错角相等，两直线平行). (2):∠ADC+∠DCB=180(已知，.AD1/BC(同旁内角互补，两直线平行 (3)AD11BE(已知)，.∠DCE=∠ADC(两直线平行，内错角相等)： (4)AB11CD'.∠BAE=∠CFE(两直线平行，同位角相等 【变式6】(1)如图，DE∥BC,∠1=∠3，CD⊥AB,求证：FGLAB; (2)若把(1)中的“DE∥BC”与结论“FGLAB”对调，所得的命题是否为真命题？试说 明理由写出过程. D 3C 2 【答案】(1)证明：DE∥BC .∠1=∠2 又：∠1=∠3 .∠2=∠3 第23页共41页 .CD∥FG .∠BFG=∠CDB :CD⊥AB ·∠CDB=∠BFG=90° :FG L AB. (2)真命题，理由如下： CD⊥AB,FG LAB .CD∥FG .∠2=∠3 ,∠1=∠3 .∴.∠1=∠2 .DE∥BC. 【巩固练习】 1.下列命题是真命题的是() 第24页共41页 A.同位角相等 B.三角形的外角大于任何一个内角 C.垂线段最短 D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 2.试说明“若∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A=∠C,则∠B=∠D”是真命题.以 下是排乱的推理过程： ①因为∠A=∠C(已知)； ②因为∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°（已知）； ③所以∠B=180°-∠A,∠D=180°-∠C(等式的性质)； ④所以∠B=∠D(等量代换)； ⑤所以∠B=180°-∠C(等量代换). 正确的顺序是（) A.①→③→②→⑤→④ B.②→③→⑤→①→④ C.②→③→①→⑤→④ D.②→⑤→①→③→④ 【答案】C 第25页共41页 3.一副三角板如图放置，∠A=45°，∠F=60°，AB∥EF,则∠CBF=() D ◆y C A.45° B.55° C.65° D.75° 【答案】D 4.小明和小亮在研究一道数学题，如图，EF⊥AB,CD⊥AB,垂足分别为E,D,G在AC 上 小明说：“如果∠CDG=∠BFE,则能得到∠AGD=∠ACB”; 小亮说：“连接FG,如果FG/IAB,则能得到∠GFC=∠ADG”· 则下列判断正确的是( ) 第26页共41页 A.小明的说法正确，小亮的说法错误B.小明的说法正确，小亮的说法正确 C.小明的说法错误，小亮的说法正确D.小明的说法错误，小亮的说法错误 【答案】A 5.如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且 ∠D=2∠D1C,2E=2∠EBC.若<D1C的平分线与∠BC的平分线的交于点”，则与 ∠EBC <2 的数量关系为() A2=150°-∠1 6 B2=130+54 C.∠2=175°-∠1 D.∠2=115°+∠1 【答案】A 6.如图，AB∥CD,AE交CD于点F,∠A=60,∠C=25,则∠E= 第27页共41页 【答案】35 7.如图是某种可调节躺椅的示意图，AE与BD的交点为C,∠CAB=50°，∠CBA=60°， ∠CEF=30° 为了舒适，需调整∠CDF 大小，使 0,且<CMB<CBA ∠EFD=120° ∠CEF ∠CDF 保持不变，则图中 应调整为 度 【答案】20 8.如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线， 延长FB和GC交于点H.设∠A=a,∠H=B,则a与B之间的数量关系为 第28页共41页 D H 90°、1 【答案】 9.某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC=125°，AB∥DE,∠D=85°， 则∠ACD= 0 【答案】30 10.如图所示，己知AB∥CF,AB⊥BD于点B,∠1+∠3=180°，则下列结论一定正确的有一 (填序号). ①∠2=∠3；②∠4=∠AFD;③AF∥CE;④∠D=∠DCE;⑤∠FCD=90°；⑥∠4=∠2+∠3；⑦ 若∠1=120°，则∠ECD=30°. 第29页共41页 B C A01 3 4 E 【答案】①②③⑤⑦ 11.已知：如图，AD⊥BC,EG⊥BC,垂足分别为D,G,∠1=∠E. 求证：AD为∠BAC的平分线. 证明：，AD⊥BC,EG⊥BC(已知)， .∠ADC=∠EGC=90° .'AD//- .∠1= ∠E= 又.'∠1=∠E(已知)， .·∠ 第30页共41页 即AD为∠BAC的平分线. 【答案】，AD⊥BC,EG⊥BC(已知)， ∴.∠ADC=∠EGC=90(垂直的定义 :AD/EG(同位角相等，两直线平行) :.∠1=∠2（两直线平行，内错角相等， ∠E=∠2（两直线平行，同位角相等）· 又.∠1=∠E(已知)， ∴.22=23等量代换)， 即AD为∠BAC的平分线. 12.如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C;③AB∥CD.请你从中任选两个作为条件， 另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性. 第31页共41页 B 【答案】第一种情况： 已知：∠1=∠2，∠B=∠C, 求证：AB∥CD 证明：如图， E B ,∠1=∠3，∠1=∠2， .∠3=∠2 ∴.EC∥BF, ∴.∠AEC=∠B, 又.∠B=∠C, ∴.∠AEC=∠C, 第32页共41页 .AB∥CD 第二种情况： 己知：∠I=∠2，AB∥CD, 求证：∠B=∠C 证明：如图， B G 2 .∠1=∠3，∠1=∠2， ∴∠3=∠2 ∴.EC∥BF, ∴.∠AEC=∠B, ,AB∥CD ∴.∠AEC=∠C, ∴.∠B=∠C 第33页共41页 第三种情况： 已知：∠B=∠C,AB∥CD, 求证：∠1=∠2 证明：如图， AB∥CD ∴.∠AEC=∠C, ,∠B=∠C, ∴.∠AEC=∠B, ∴.EC∥BF, ∴.∠3=∠2 .∠1=∠3， 第34页共41页 .∠1=∠2 13.仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动.如图1，这是小玲 同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，己知ABI‖CD,AC DE,∠EDG=96. E B D 图1 图2 (1)求∠FAB的度数. (2)若∠ECD=54°，求∠E的度数. 【答案】(1)解：“AC DE,∠EDG=96°， ∴.∠ACD=∠EDG=96°， ABI CD, .∠FAB=∠ACD=96°； 第35页共41页 (2)解：在△ECD中∠EDG=∠B+∠ECD, ∠EDG=96°，∠ECD=54°， .96°=∠E+54°， ∴.∠E=96°-54°=42° 14.如图，已知点E,F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H,∠C=∠EFG, ∠CED=∠GHD M E F B H G (1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由： (2)若∠EHF=70°，∠D=30°，求∠AEM的度数. 【答案】(1)解：∠AED+∠D=180°，理由如下： ,∠CED=∠GHD ∴.CE∥GF 第36页共41页 .∠C=∠FGD .'∠C=∠EFG ∴.∠FGD=∠EFG .AB∥CD .∠AED+∠D=180° 【小问2详解】 解：∠DHG=∠EHF=70°，∠D=30°， :.∠HGD=180°-70°-30°=80°， ∴.∠CGF=180°-80°=100° .CE∥GF .∠C=180°-∠CGF=180°-100°=80° ABI CD ∴.∠AEC=∠C=80° ∴.∠AEM=180°-∠AEC=180°-80°=100° 第37页共41页 15.【概念】如果两个角的度数之差为30°，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫 做另一个角的“好友角”，例如∠1=70°，∠2=40°，∠1-∠2=30°，则∠1和∠2互为“好 友角”，即∠1是∠2的“好友角”，∠2也是∠1的“好友角”· 图1 图2 【理解】(1)若∠A=45°，则∠A的“好友角”的度数为； (2)已知∠1和∠2互为“好友角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，∠1的度数为： (3)如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部A处，已知∠B=58°， ∠C=82°，若∠AEB和∠ADC互为“好友角”，则∠AEB的度数为一 【拓展】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，过点C作AB的垂线，垂足为D, 、CD相交于点F.若FCE与∠CEF互为“好友角”，求<ABC的度数. 第38页共41页 【答案】【理解】(1)根据“好友角”定义可得： ∠A的“好友角”的度数为 5°+30°=75°45°-30°=15° 或 故答案为：75°或15°： (2).∠1和∠2互为“好友角”，∠1>∠2， .∠1-∠2=30°， .∠1和∠2互补， .∠1+∠2=180°， 「∠1-∠2=30° 联立∠1+∠2=180°， 解得∠1=105°， 故答案为：105°： (3)如图，连接AA', AA- =A D .∠B=58°，∠C=82°， 第39页共41页 .∠BAC=40°， ∴.由折叠性质可知∠EA'D=∠BAC=40°， ∠A'EB=∠EA'A+∠EAA',∠A'DC=∠DA'A+∠DAA', ∴.∠A'EB+∠A'DC=∠EA'A+∠EAA'+∠DA'A+∠DAA'=∠EA'D+∠BAC=80°， 即∠A'EB+∠A'DC=80°， :∠A'EB和∠ADC互为“好友角”， ∴.∠A'EB-∠A'DC=30°或∠A'DC-∠A'EB=30°， :.∠A'EB=55°或∠A'EB=25°： 【拓展】 ,AE平分∠CAB,CD⊥AB, ∴.∠CAE=∠BAE,∠CDB=90°， .∠CEF=∠B+∠BAE,∠FCE=90°-∠B, :.2∠CEF+∠FCE=∠B+∠BAC+90°=180°， ,∠FCE与∠CEF互为“好友角”， 第40页共41页 :.∠CEF-∠FCE=30°或∠FCE-∠CEF=30°， 则∠FCE=40°或∠FCE=80°， .∠FCE+∠ABC=90°， ∴.∠ABC=50°或∠ABC=10°. 第41页共41页