11.1二次根式的概念 同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦二次根式概念，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层递进设计，强化从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次根式定义、简单运算|单选1-3题考查概念辨析，填空7-9题强化基础计算，落实符号意识| |中档|有意义条件、性质应用|单选4-5题结合分式考查条件限制，解答13-14题系统训练化简，发展推理意识| |提升|综合化简、实际应用|解答16-19题结合三角形边长、数轴等情境，考查性质综合运用，培养数学思维与应用意识|

11.1二次根式的概念 一、单选题 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A． B．4 C． D．16 3．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，则等于（   ） A．1 B．5 C． D． 5．使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 6．已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算：______． 8．当时，二次根式_____． 9．若二次根式，则_______． 10．若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 11．若，则代数式的值为_____ 12．已知实数a满足，那么的值是________． 三、解答题 13．求下列式子有意义的x的取值范围 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） . 14．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 15．化简： (1) (2) (3) (4) 16． 若a，b，c分别是三角形的三边长，化简：． 17．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：______，______； (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______； ②化简：． 18．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 19．阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式； 乙的解答：原式． (1)你认为 的解答是错误的； (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ； (3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】解：A、被开方数，故不是二次根式，不符合题意； B、∵对任意实数，都有，∴，且根指数为2，满足二次根式的所有条件，故一定是二次根式，符合题意； C、∵当时，被开方数是负数，不满足要求，∴不一定是二次根式，不符合题意； D、∵该式根指数为3，是三次根式，不满足根指数为2的要求，∴不是二次根式，不符合题意． 2．B 【详解】解：∵， ∴． 3．C 【详解】二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数， ， 移项得， 两边同除以得． 4．A 【详解】解：， ，， ，， ， ， ． 5．B 【详解】解：∵ 式子在实数范围内有意义， ∴  ，， 解得，， ∴ 的取值范围是且． 6．D 【详解】解：∵ ， 分两种情况： 1．当 时，， ∴ ， 取1和2： 时，， 时，， ∴ 总和为 ； 2．当时，， ∴ ； 从3到，共个值，每个， ∴ 和为， 综上，． 故选：D． 7．4 【详解】解：． 8． 【详解】解：把代入中，得， 故答案为：． 9． 【详解】解：对两边同时平方， 得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 验证：当时，，满足二次根式有意义的条件． 10．3 【详解】解：是一个整数，， 是一个整数，即是一个整数， 为完全平方数， 又因为n是正整数， 可取的最小正整数为． 11．2026 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 12．2026 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 13．（1）x＜ ；（2）x≤3且x≠﹣2；（3）x≥3；（4）x=0；（5）任意实数；（6）x= ． 【详解】（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件， 被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0， 解得x＜ ． 所以x的取值范围是x＜ ． （2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件， 被开方数3﹣x≥0，解得x≤3； 分母x+2≠0，解得x≠﹣2． 所以x的取值范围是x≤3且x≠﹣2． （3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件， 被开方数x﹣3≥0，解得x≥3； 分母x﹣2≠0，解得x≠2． 因为大于或等于3的数中不包含2这个数， 所以x的取值范围是x≥3． （4）根据题意得：﹣x2≥0， ∵x2≥0， ∴x2=0， 解得x=0． ∴x的取值范围是x=0； （5）根据题意得：2x2+1≥0， ∵x2≥0， ∴2x2+1＞0， 故x的取值范围是任意实数； （6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥； 2x﹣3≤0，解得x≤ ． 综上，可知x= ． ∴x的取值范围是x= ． 14．(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 15．(1)7 (2) (3) (4)8 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解： 16． 【详解】解：因为a，b，c分别是三角形的三边长， 所以， 所以原式 ． 17．(1)7， (2)①，；② 【详解】（1）解：，． （2）解：①由数轴可得：，， ∴，， 而数轴上b在右侧且更靠近， ∴不成立，即， ∴，； ②∵，， ∴，， ∴． 18．(1) (2)或 (3)9901 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 19．(1)甲 (2) (3)2 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∴甲的解答是错误的； 故选：甲； （2）解：错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴，， ∴原式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $