2026届高考数学二轮专题强化训练：三角函数的奇偶性、对称性

**基本信息** 聚焦三角函数奇偶性与对称性，构建“定义判断-性质应用-图像变换-综合迁移”的方法体系，通过典型问题培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|4（1-4）|奇偶性定义法、特殊值验证、图像对称特征分析|从函数奇偶性定义出发，结合三角函数诱导公式推导对称性条件| |性质应用|6（5-10）|辅助角公式化简、整体代换求对称轴/中心、单调性与对称性联动|以对称性为核心，关联周期性、最值等性质，形成性质网络| |图像变换|3（4、9、14）|平移伸缩对对称性影响、变换后函数性质判断|通过图像变换揭示对称性的不变性与可变性，深化数形结合| |综合应用|6（11-19）|函数零点与对称性综合、实际问题建模（降噪耳机）|从数学内部综合到跨学科应用，提升知识迁移能力|

2026年高考数学二轮专题强化训练： 三角函数的奇偶性、对称性 一、单选题 1．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为（ ） A． B． C． D． 2．函数图像的一条对称轴为，则（    ） A． B． C． D． 3．若为偶函数，则实数（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的个数是（    ） ①函数的最小正周期为 ②函数在区间上单调递增 ③函数在区间上的最小值为 ④是函数的一条对称轴 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 7．已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 8．若函数图象的一个对称中心为，则的值为（    ）． A． B． C．1 D． 二、多选题 9．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．偶函数 C．在上单调递减 D．关于中心对称 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．的图象过点 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 11．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上单调递增 12．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递减 C．，使得 D．的值为定值 13．下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．的单调增区间为 D．若时，函数有两个不同零点，则 14．已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（    ） A． B．为其一个对称中心 C．若在单调递增，则 D．曲线与直线有7个交点 三、填空题 15．若函数的最大值为，则 ，的一个对称中心为 16．若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处的切线斜率互为倒数，那么 . 17．定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 四、解答题 18．设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 19．已知函数． (1)求函数的对称中心及对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C C A C D BCD BCD 题号 11 12 13 14 答案 AC ABD ACD ACD 1．D 【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 2．A 【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出. 【详解】由的图象关于对称， 可知：，即，则． 故选：A． 3．B 【分析】根据偶函数的定义，由即可求解. 【详解】由得： 由题意可知： 可得：恒成立， 所以， 故选：B. 4．C 【分析】首先对化简，然后根据图像变换得到，再逐一分析关于的性质即可. 【详解】根据二倍角公式，得， 再向右平移个单位长度，得到， 再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到，即， 对于①，的最小正周期,故①正确， 对于②，令,解得, 令，则单调递增区间为，不是的子集，在区间上不是单调递增，故②错误， 对于③，，，由余弦函数的图像可知，故③正确， 对于④，令，解得,令，则，是函数的一条对称轴，故④正确. 故选：. 5．C 【分析】由题意，利用辅助角公式得，其中.根据题设知，为图象的一条对称轴，结合可求得，，，再根据关于轴对称，得到，，从而求得的最小值. 【详解】由题意，知，其中. 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以为图象的一条对称轴，所以，. 又，所以，，解得，，， 所以.将的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象. 由的图象关于轴对称，得，， 所以，， 所以的最小值为. 故选：C. 6．A 【分析】构造奇函数，利用函数的平移，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】设，由于， 故为R上的奇函数，则的图象关于原点对称． 又，所以的图象关于对称， 即，由，所以， 故选：A． 7．C 【分析】先推得的对称性与单调性，又也关于对称，由对称性可知方程唯一的根在对称轴上，代入即可解得. 【详解】因为，则， 所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减； 又，故可看作由函数向右平移1个单位得到， 所以的图象也关于对称； 又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根， 因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得. 故选：C．    8．D 【分析】根据正弦函数的对称性求解即可. 【详解】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，解得， 又因为，所以. 故选：D. 9．BCD 【分析】A选项，根据辅助角公式，平移和伸缩变换得到，从而得到的最小正周期；B选项，由函数奇偶性定义得到B正确；C选项，由得到，由整体法得到函数的单调性；D选项，，故D正确. 【详解】A选项，， 的图象向右平移个单位长度得到 ， 再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到， 所以的最小正周期为，A错误； B选项，的定义域为R，且， 故是偶函数，B正确； C选项，由得， 由于在上单调递减， 所以在上单调递减，C正确； D选项，，，所以D选项正确. 故选：BCD. 10．BCD 【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可. 【详解】对于A：设该函数的最小正周期为，则有， 即，由函数的图象可知：，又，所以， 即，由图象可知：，所以，因此A不正确； 对于B：，所以B正确； 对于C：因为， ，所以， 所以函数的图象关于直线对称，因此C正确； 对于D： 当时，， 当， ， 当函数在区间上不单调时，则有，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键. 11．AC 【分析】根据二倍角公式可化简，进而根据正弦型函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】， 又，所以为奇函数，故A正确， 的最小正周期，故B错， 当时，取最小值为，故C正确. 令,解得， 所以的单调递增区间为， 令，得的其中一个单调递增区间为，故D错误， 故选：AC. 12．ABD 【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C． 【详解】因为经过， 所以，即，，解得，， 又，所以，则， 对于A，， 时，令，可得， 故为奇函数，所以A正确； 对于B，时，， 对于在上单调递减，可得在上单调递减，所以B正确； 对于D， ， 所以恒为， 即对的值为定值，所以D正确； 对于C，当，时，， 当，时，， 当，时， ，所以C错误． 故答案为：ABD. 13．ACD 【分析】根据三角恒等变换化简得，利用最小正周期公式求解判断A，根据正弦函数对称性求对称轴判断B，根据正弦函数单调性求解单调区间判断C，将问题转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D. 【详解】由于 ， 故最小正周期，故A正确； 令，解得，令得， 所以直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，所以， 所以函数的单调递增区间为，故C正确； 若函数有两个不同的零点， 即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点， 由，得， 设，则， 作出函数图象如图所示， 由图可知：，故D正确. 故选：ACD. 14．ACD 【分析】对于A，根据相邻两对称轴之间的距离求周期得出，再根据偶函数求得；对于B，利用代入验证法进行判断；对于C，根据正弦函数增区间公式进行求解；对于D，数形结合，结合对称性得出结果. 【详解】对于A，由题意，故， 又的图象向左平移个单位得到为偶函数， 所以，且，故，故A正确； 对于B，因为，且不为零，故B错误； 对于C，令，， 令，故易知在单调递增，故，故C正确； 对于D，直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称， 当时，，当时，，如图， 由对称性可知曲线与直线有7个交点，故D正确． 故选：ABD． 15． （答案不唯一） 【分析】根据辅助角公式对函数进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中心. 【详解】由，其中， 又函数的最大值为，则， 又，则，，不妨取， 故， 则的对称中心满足，，解得，， 即的对称中心为，， 则的一个对称中心可为：， 故答案为：，（答案不唯一） 16． 【分析】根据题设中的奇函数和偶函数求出，根据导数的几何意义得切线斜率，根据互为倒数得的关系式，化简后可得. 【详解】函数是偶函数， 可得， 即有 ，① 是奇函数， 可得， ， 即为，② 由①②可得，， ，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数， 可得， 可得， 即为， 即为，即有， 可得，，. 故答案为：. 17． 【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出 【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值， 而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期， 因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得， 所以.不妨设，如图所示：    依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大， 若对应为点，则直线为图象的对称轴， 又是函数图象的一个对称中心，且， 则，解得，则. 所以取值的最大值为. 故答案为：. 18．（1）；（2）. 【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值； (2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：， 函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为. (2)由函数的解析式可得： . 据此可得函数的值域为：. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19．(1)对称中心为，对称轴方程为：； (2)最大值为，最小值为0． 【分析】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为，利用正弦函数的对称性，求解即可． （2）当时，，可得，即可得出函数的最值． 【详解】（1） ， 令，解得， 对称轴方程为：． 令，解得， 函数的对称中心为． （2）当时，， 由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为， 函数的最大值为，最小值为0． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $