2026届广东高三冲刺训练数学试卷2（适用于新高考1卷）

**基本信息** 2026届高三数学冲刺卷适配新高考1卷，以科技情境（独角兽企业、芯片投资）和生活实践（抽奖概率）为载体，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过分层设问（导数应用、球面几何）考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，贴合真题命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、排列组合、导数极值、解三角形、数列新定义（第5题最优分解）|结合数学文化与生活情境（抽奖概率），考查数学抽象与逻辑推理| |多选题|3题|统计图表（独角兽企业）、三角函数性质、立体几何动态问题|通过图表数据培养数据观念，分层设项考查空间想象| |填空题|3题|向量运算、直线与圆、导数公切线（第14题）|小切口深挖掘，考查数学运算与转化思想| |解答题|5题|数列求和、概率统计（芯片投资）、导数证明、球面三角形、双曲线综合|以芯片投资（线性回归）、球面几何为载体，综合考查数学建模与逻辑推理|

绝密★启用前 2026届高三冲刺训练试卷2 （适用于新高考1卷区域） 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（    ）种． A．66 B．72 C．85 D．96 3．已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为 A． B． C． D． 4．在中，，，若这样的三角形有两解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前100项和为（    ） A． B． C． D． 6．在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 二、多选题 9．成立时间少于10年.估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业.2021年中国新经济独角兽企业分布较广泛､覆盖居民生活的各个方面.如图为2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图，中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业数量共同占比达到69%.下列说法正确的是（    ） A．随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注 B．这12个行业TOP200榜单中独角兽企业数量的中位数是17 C．中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业超过130家 D．2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通､企业服务､文化娱乐的企业数量共同占比超过40% 10．已知函数，下列说法中正确的有（    ） A．若，则在上是单调增函数 B．若，则正整数的最小值为2 C．若，把函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数 D．若在上有且仅有3个零点，则 11．如图，已知正方体，点，O分别为上、下底面的中心.正四面体以为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（   ） A．直线与直线所成的角为90° B．直线与平面所成的角为45° C．若正方体的棱长为2，则点到平面的距离为 D．此双曲线的离心率为 三、填空题 12．已知点是直线上一点，且，若，则实数________ 13．在直角坐标系xOy上有两点､，给定三个条件：①，②，③.请从上述三个条件中选出两个分别填在下列空白处（只填代号），使其构成一个真命题：当且仅当___________. 14．若存在过点的直线与函数，的图象都相切，则_______． 四、解答题 15．设数列的前项和为，且单调递增，． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 16．我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为，收益率为％的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为0.4，收益率为％的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5． (1)已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目； (2)若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表： 年份x 2018 2019 2020 2021 1 2 3 4 累计投资金额y（单位：亿元） 2 3 5 6 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元． 附：收益＝投入的资金×获利的期望；线性回归中，，． 17．已知函数（其中，）. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围； (3)求证：对于任意大于的正整数，都有 18．如图，球的半径为．为球面上三点，我们把过球心的平面截球面所得的圆称为大圆，和是大圆上的劣弧，它们围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若二面角分别为，则球面三角形的面积为. (1)若二面角均为，求球面三角形的面积； (2)已知平面三角形为直角三角形，，设.则： ①求证：； ②延长与球交于点，若直线与平面所成的角分别为，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 19．已知是离心率为的双曲线E：的左焦点，C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，． (1)求E的方程． (2)过点作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q，使得直线QM与QN的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求面积的最小值． 2026届高三冲刺训练试卷2（参考答案） （适用于新高考1卷区域） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D A B C B A ABC ABD ACD 12.【答案】 13.【答案】或 14. 【答案】2 一、单选题 1．【答案】A 【详解】因为集合，， 则集合必包含元素，可能包含元素，所以，，故A正确，BD错误， 因为，且，所以，故C错误. 2．【答案】B 【详解】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有种安排方法， 若甲、乙两位教研员去同一所高中则有种安排方法， 综上可得不同的调研安排方案有种. 故选：B 3．【答案】D 【详解】试题分析：由已知得:在R上有两个不相等的实根,所以解得:,故选D． 考点：函数的极值． 4．【详解】设，，，由正弦定理： 三角形有两解，即在内有两个不同的解，需要满足： 解得：，选 A 5．【答案】B 【详解】当为偶数时，设，， ， 所以； 当为奇数时，设，， ， 所以； 所以的前100项和为. 6．【答案】C 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 7．【答案】B 【详解】在矩形，，，， 由可得， 由可得， 则，即， 可知折起后，必有，，， ，平面， 故平面， 因为是确定的直线，故对任意点，，，都在同一个确定的平面内， 因为，可知点在以点为圆心，半径为的圆上（如图）， 由图知，当且仅当与该圆相切时，取到最大值， 则也取到最大值， 此时，， 则的最大值为. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于证明平面后，要考虑动点的轨迹，同时将理解为点与圆上的点的连线，结合图形，得出当且仅当与该圆相切时，取到最大值的结论. 8．【答案】A 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 二、多选题 9．【答案】ABC 【详解】A选项，由图可知，汽车交通行业独角兽企业TOP200榜单中数量最多，是由A选项正确. B选项，数据为，中位数为，B选项正确. C选项，，所以C选项正确. D选项，汽车交通､企业服务､文化娱乐占比，D选项错误. 故选：ABC 10．【答案】ABD 【详解】依题意，， 对于A，，， 当时，有，则在上单调递增， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，因，则是函数图像的一条对称轴，，整理得， 而，即有，，故B正确； 对于C，，， 依题意，函数， 这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故C不正确； 对于D，当时，， 依题意，，解得，故D正确. 故选：ABD 11．【答案】ACD 【详解】对于A，设正方体棱长为，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 所以，，，，，， 所以 ， 所以直线与直线所成的角为，故A正确； 对于B，，，，，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令 ，， 设直线与平面所成的角为， 则， 因为，所以，故B错误； 对于C，由于正方体的棱长为2，则，，，，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令 ，得， 所以点到平面的距离，故C正确； 对于D， 因为，，所以旋转轴的方向向量为， 四个顶点，，，，所以， ，同理可得是正四面体， 正四面体绕轴旋转，其侧面上的每一条母线绕轴旋转形成一个曲面， 在包含旋转轴的轴截面中，这些母线的轨迹与轴截面相交形成双曲线， 选取母线，计算母线与旋转轴的夹角， ，所以， 在轴截面中，其母线旋转轨迹是双曲线，其渐近线与轴角也为，即渐近斜率为， 所以，，故D正确. , 三、填空题 12．【答案】 【详解】解：⟹⟹⟹ 故：λ= 【点睛】本题考查向量的加法法则，属于基础题． 13．【答案】或 【详解】若①成立，则有， 即，故①是②的充分条件， 但当时，③不成立，故①不是③的充分条件； 若②成立，则有， 故，故②是①的充分条件， 但当时，③不成立，故②不是③的充分条件； 故①与②互为充要条件. 故答案为：或. 14．【答案】2 【详解】， 设直线与函数的图象相切于点， 则切线斜率，切线的方程为． 设直线与函数的图象相切于点， 则切线斜率，切线的方程为． 因为过点的直线与函数的图象都相切， 所以 由（1）得，将代入（3）， 得，所以； 由（2）+（4）得， 因为，所以． 故答案为：. 【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线的公切线方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于较难试题. 四、解答题 15．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为且单调递增，所以不为常数， 由，得， 即，解得或（舍去）， 当时，， 当时，， 所以，. （2）当时，， 当时， ，① 则，② ①-②： . 所以， 所以． 经检验，当时，满足上式， 所以. 16．附：收益＝投入的资金×获利的期望；线性回归中，，． 【答案】(1)该风投公司投资光刻胶项目； (2)；2022年年末． 0.3 P p 【详解】（1）若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为 所以． 0.3 0 P 0.4 0.1 0.5 若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为 所以． 因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的， 所以，所以． 因为， ， 所以，， 这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥． 综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目． （2），， ，， 则， ，故线性回归方程为． 设该公司在芯片领域的投资收益为Y，则，解得， 故在2022年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元． 17．【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）∵，∴（）, ∴,∵,∴在点处的切线方程为. （2）∵,∴（）, ∵在上为增函数，∴对任意恒成立. ∴对任意恒成立， 即对任意恒成立.∵时，， ∴，即所求正实数的取值范围是. （3）当时，， 当时，，故在上是增函数. 当时，令，则当时，，所以 所以 因此 所以即 所以即对于任意大于 则正整数 ，都有 18．【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）由题意可得，所以球面的面积为. （2）①由余弦定理可得：，，， 由题意可得，在中，， ； ②由是球的直径得， 且，平面， 所以平面，且平面，则， 由，平面，可得平面， 由直线与平面所成的角分别为，所以， 不妨设，则， 由可以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 则， 由，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为； 要使取最小值，则取得最大值， 因为 ， 令，，则， 可得， 当且仅当取等号. 则取最大值，为最小值. 【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值是解决最值问题的重要方法之一，本题在求解的最值时，利用换元法令，，将函数表达式中包含变量的部分整理为，从而可利用基本不等式工具求出的最值，进而可求出答案. 19．【答案】(1) (2)（i）（ii） 【详解】（1）设双曲线的右焦点为，连接，， 由题意知，四边形是平行四边形，∴， ∴，∴， ∵离心率，∴半焦距， ∴， ∴E的方程为； （2）（i）设，，l：， 代入，整理得， ∴，解得， ∴，， 设，则 ， ∴， 即， 要使上式在时恒成立，则，， ∴； （ii）由（i）知， ， 点到直线l的距离为， ∴， 设，∵，∴，， ∴； 设，由对勾函数的性质知，单调递增， ∴， ∴，， ∴， 故面积的最小值为． 试题 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $