数学·2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)（含答题卡）

绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷） 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟， 一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 $ 1.已知集合A={x-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= A.{-1,0 B.{2,3 C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2 2若产=1+i,则 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 3.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.已知cos(a十3)=m,tan atan3=2,则cos(x一3)= 补 A.-3m B一罗 c D.3m 5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则圆锥的体积为 A.23π B.3√3π C.63π D.93π -x2-2a.x-a,x<0 6.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是 e+ln(x+1),x>0 如 A.(-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,1 D.[0,+o∞) 7.当x∈[0,2x]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x-)的交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(.x一1)+f(x一2)，且当x<3时f(x)=x,则下列结论 中一定正确的是 ( ) 留 A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的 亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x一2.1， 样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口 后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则（若随机变量Z服从正态分布V(u,o),则P(Z<4十a) ≈0.8413) 2024·新课标I卷第1页（共4页） A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 10.设函数f(x)=(x一1)(x一4)，则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 11.设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标 原点O,且C上的点满足：横坐标大于一2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=α (a<0)的距离之积为4，则 A.a=-2 B.点(22,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点（x)在C上时%≤十2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12设双曲线C号苦=1(。>0,6>0)的左，右焦点分别为，上，过B作平行于y销的直线交 C于A,B两点，若|F,A=13,AB=10,则C的离心率为 13.若曲线y=e十x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x十1)十a的切线，则a= 14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的 卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡 片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然 后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总 得分不小于2的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=√2cosB,a2+b2-c2= √2ab. (1)求B: (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. 2024·新课标I卷第2页（共4页） 16.15分已知A0:3》和P3,号)为椭周C号+芳-1o>6>0)上两点。 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9，求I的方程. 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√3. (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC: (2)若AD1DC,且二面角ACP-D的正弦值为受，求AD. D 2024·新课标I卷第3页（共4页） 18.(17分)已知函数fx)=n2”x十ax+Mx-1) (1)若b=0,且(x)≥0，求a的最小值： (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； (3)若f(x)>一2当且仅当1<x<2,求b的取值范围. 19.(17分)设m为正整数，数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a和 a,(<)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 4142…,4m+2是(i,)一可分数列. (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6，使得数列a1,a2,…,a6是(i,j)-可分数列： (2)当m>3时，证明：数列a1,a,a4m+2是(2,13)-可分数列： (3)从1,2，…，4m十2中一次任取两个数i和j(i<j),记数列a1a2,…,am+2是(i,j)一可分数 列的概率为P,证明：P。>g 2024·新课标I卷第4页（共4页）参考答案 2024年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标I卷) 1.A通解（直接法）因为A={x|-5<x3<5)={x1-5 <x<5},B={-3,-1,0,2,31,所以A∩B={-1.01,故 选A. 优解（验证法）因为(-3)3=-27<一5，(-1)3=一1∈ (-5,5),03=0∈(-5.5)，23=8>5.33=27>5，所以-1 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C ∈A.0∈A,-3任A.2任A.3任A.所以A∩B={-1,01.故8.B赋值法因为当x<3时，f(x)=x,所以f(1)=1, 选A. f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)十f(.x-2),令x=3,得 f(3)>f(2)+f1)=2+1=3:令x=4,得f(4)>f(3)+ 2.C解法-（解方程法）周为，产-1+i,所以x=(-1) f(2)>3+2=5:依次类推，得f(5)>(4)+f(3)>5+3 +i),即=-1十i-i,即i=1+i,所以=1+i =8:f(6)>f(5)+f(4)>8+5=13:f(7)>f(6)+f(5) i >13+8=21:f(8)>f(7)十f(6)>21+13=34:f(9)> 1+i)(-卫=1-i,故选C. f(8)+f(7)>34+21=55:f(10)>f(9)+f(8)>55+34 i(-i) =89:f(11)>f(10)+f(9)>89+55=144:f(12)>f(11) 解法二（取倒数法）国为，一1+i,所以1-= +f10)>144+89=233:f(13)>f(12)+f(11)>233+ 。1+7即 144=377:f(14)>f(13)+f(12)>377+233=610:f(15) 11 1-i >f(14)+f(13)>610+377=987:….显，然f(16)> 2 1000,所以f(20)>1000,故选B. 2 9.BC数形结合法由题意可知，X一V(1.8,0.1),所以 所以一千1一i,故选C P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413.所以 3.D解法一（向量法十坐标法）因为b⊥(b-4a),所以b· P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413= (b-4a)=0,即b=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以 0.1587<0.2,所以A错误，B正确.因为Y一N(2.1,0. 12),所以P(Y2.2)0.8413,P(Y>2)>P(Y>2.1) b2=4十x2,a·b=x,得4十x2=4x,所以(x一2)2=0，解得 0.5.所以P(2Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2) x=2,故选D. -P(Y≤2.1)≈0.8413-0.5=0.3413，所以P(Y>2) 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b一4a= P(2Y2.1)+P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.8413 (2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b- 0,8,所以C正确，D错误.综上，选BC. 4a),所以b·(b-4a)=0,所以2X2+x(x一4)=0，所以10，ACD代数推理法+作差比较法因为f(x)=(x一1)2 (x一2)2=0，解得x=2,故选D. (x-4),所以f(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2= 4.A由cos(a十3)=m得cos acos B-sin a sin B-m①.由 3(x-1)(x-3),令f(x)=0,解得x=1或x=3,当x<1 tan atan月=2得sin a sin=2 或x>3时，「(x)>0,当1<x<3时，f(x)<0,所以函 ②，由①②得 cos acos B 数f(x)的单调递增区间为（一∞，1），(3，十a),单调递诚 sin a sin月-2n,所以cos(a-)=cos-叶sin a sin cos acos B=-m 区间为(1,3)，故x=1是函数f(x)的极大值，点，x=3是 函数f(x)的极小值点，所以A正确. 3=一3m,故选A. 当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,即0<x2<x<1,又 5.B设國柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均为 函数f（x)在(0,1)上单调递增，所以f(x2)<f(.x),所以 B错误. V3.且侧面积相等，所以2πr×3=π√(W3)2+r2,得r2 当1<x<2时，1<2x-1<3,函数f(x)在(1,3)上单调 9,所以围维的体积V=子×5=3x,故选B 递减，所以-4=f(3)<f(2x-1)<f(1)=0,所以 正确. 6.B逻辑分析法十数形结合法因为函数f(x)在R上单 当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(2-x-1)2(2-x 调递增，且当x<0时，f(x)=-x2一2a.x-a,所以f(x)= 4)-(x-1)2(.x-4)=(x-1)2(-x-2)-(x-1)2(x 一x2一2a.x-a在(-o,0)上单调递增，所以一a≥0，即a 4)=(x-1)2(-2.x+2)=-2(x-1)3>0,所以f(2-x) 0:当x≥0时，f(x)=e+ln(x+1),所以函数f(x)在 >f(x),所以D正确. [0,十c∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则 综上，选ACD a≤f(0)=1,即a≥-1.综上，实数a的取值范国是[一1， 11.ABD定义法十逻辑推理法十放缩法因为坐称原，点O 0].故选B. 在曲线C上，所以2×|a=4,又a<0,所以a=一2，所以 A正确. 7.C数形结合法周为函数y=2sin(3-石)的最小正周 因为点(2√2,0)到点F(2,0)的距离与到定直线x=-2 期T=经，所以通教y=2sm(3r一看)在[0.2m]上的图象 的距离之积为(2√2-2)(2√2十2)=4，所以点(2√2,0)在 曲线C上，所以B正确. 恰好是三个周期的图象，所以作出函数y=2sin 设P(x,y)(x>0,y>0)是曲线C在第一象限的点，则有 (3红-）与y=sinx在[0,2x]上的图象如图所示。 V0+F+2》=4.所以产-(-2. 数学答案一1 令)=--2，期了)=2 32 第2步：将C代入已知等式求B 2(x-2),因为f(2)=1,且f(2)<0,所以函数f(x)在x imsB=hC=号msB- =2附近单调递减，即必定存在一小区间(2一，2十e)使 得f(x)单调递减，所以在区间(2一E,2)上均有f(x)>1, 又0<B<B=景 所以P(x,y)的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误. (2)第1步：求A 因为点(x0,y%)在C上，所以x0>-2且√(x0一2)+喝 +2》=4.得f2-w-2r<1f 由得A=一B-C-登 (r0+2)2,所 第2步：利用正弦定理得出a,c的关系 16 以y6≤10|≤ /(x+2)= 西十2所以D正确.综上， 4 2+6a=l生 sin A sin C得“=L 由正弦定理“ 2 4 2 选ABD 12. 第3步：利用三角形面积公式求 解法一（直接法）由AB引=10及双曲线的对称性 得1AF2=LAB=5,因为AF,=13,所以2a=AF △ABC的面积S=之acsin B=1+,x9=3+. 4 2 得c=22. -|AF2-13-5=8,2c=|FF2|=√/AF12-AF27 16.解：第1步：代入A,P坐标求解a,b =√132-52=12，所以a=4,=6,则C的离心率e=9 {9=1 由题知 -- 是+- ,解得/a=2V3 1b=3 解法二（二级结论）因为1AB1=10,所以26=10，所以 第2步：根据a,b,c的关系求解c,得出C的离心率e a 62_c2-a =5,又|AF1|=13,所以|F1F2|=2e= c0=6C的离心常e=合- aa (2)第1步：求解PA V-(=12,得=6，所以2+-6 pA1V3+(2)-5, 2 0得a,所以C约离心年一后-号-是 第2步：得出点B到直线PA的距离h 设点B到直线PA的距离为h,则△ABP的面积为S= 13.ln2由题，令f(x)=e+x,则(x)=e+1,所以 f(0)=2,所以曲线y=e十x在，点(0,1)处的切线方程 之PA1·h=9,解得h=12,5 5 为y=2.x+1.令g(x)=ln(x+1)十a,则g'(x)=1 x+1' 第3步：求解点B坐标 设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切于点(xo,yo),则 易知直线PA:x+2y-6=0,设B(x,y), 0市2，得0=一2，期0=2十1=0，所以0 lx+2y-61125 5 则 5 n(-2+)+a,所以a=ln2 1129 14.号因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能减，所以 x=-3 四轮比赛后，甲的总得分最多为3. 若甲的总得分为3，则甲出卡片3,5,7时都赢，所以只有1 种组合：3一2,5一4,7一6,1-8. 》 若甲的总得分为2，有以下三类情况： 第4步：求直线（的方程 第一奏，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3一2， .3 1 5-4,1-6,7-8； 故1：y=2x-3或y=2x 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3-2,7一4,1一6.5- 17.解：(1)第1步：证明AD⊥AB 8或3-2,7-4,1-8,5-6或3-2,7-6,1一4,5-8，共 由于PA⊥底面ABCD,ADC底面ABCD,∴.PA⊥AD. 3种组合： 又AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PBC平面PAB, 第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5-2,7一4,1一6， AD⊥平面PAB, 3-8或5-2,7-4,1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8 又ABC平面PAB,∴.AD⊥AB. 或5-4,7-2,1-8,3-6或5一2,7-6,1一4,3-8或 第2步：证明AB⊥BC,得出BC∥AD 5一2,7-6,1-8,3-4或5-4,7一6,1-2,3-8，共7种 AB2+BC=AC2,.AB⊥BC,.BC∥AD, 组合， 第3步：证明AD∥平面PBC 综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的 ADt平面PBC,BCC平面PBC,∴AD∥平面PBC. 组合共有4×3×2×1=24（种），所以甲的总得分不小于2 (2)第1步：建系，设出点A(a,0,0),写出相关向量的坐标 的概率P-号=2 由题意知DC,AD,AP两两垂直，以D为坐标原，点，AD 所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且平行于 15.解：(1)第1步：利用余弦定理求C AP的直线为：轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 由余孩定理得cosC=2+-2- D(0,0,0).设A(a,0,0),a>0,则CD=√4-a2,C(0 2ab 2 V4-a,0),P(a,0,2).CD=(0,-√4-a2,0),AC= 又0<C<r,∴C=不 4 (-aW4-a2,0),CP=(a,-V4-a,2). 数学答案一2 当6<- 号时，g)<0,g()=2十动 2 =二3hx2+6bx+2 x(2-x) 令g)=0,得=1什品 B 因为< 2 第2步：得出平面CPD的一个法向量 设平面CPD的法向量为n=(x,y,), CD·n=0J-√4-ay=0 可取n=(2,0, 所以当r1+品) 时，g(x)<0,f(x)<0,fx) a.x-V√4-ay+2g=0 在(，1√+品)上单调递减，故√+品)<了 第3步：得出平面ACP的一个法向量 设平面ACP的法向量为m=(x1,x1z1), (1)=一2，不将合题意」 第4步：得出b的取值范围 m·CP=0 ·即 a.x1-V√4-ay+21=0 2 m·AC=0-ax,+√4-ay1=0 综上，b的取值范国为[-号，十∞) 19.解：(1)(1,2)，(1,6)，(5,6). 可取m=（√4-a,a,0) (2)第1步：分析当m=3时的分组情况 第4步：根据二面角A一CP-D的正弦值列方程 当m=3时，刷去a2a13,其余项可分为以下3组：a1,a4, :二面角A一CP-D的正弦值为 a7,a1o为第1组，a3,a6,ag,a12为第2组，a5,a8,a1ia14为 7 第3组， “余我值的绝时值为， 第2步：分析当m>3时的分组情况，得结论 当m>3时，删去a2,a13,其余项可分为以下m组：a1a4, a7a1o为第1组，a3,a6,ag,a1e为第2组，a6,a8,a1t,a11为 2v4-a 故cos(m,m》l=m·m√4-a+aVA+@ m·n 7 第3组，a15,a16,a17,a18为第4组，a19,a20,a21,a2g为第5 组，…，a4m-1am…a4m+1,a4m+2为第m组，可知每组的4 第5步：得出AD的长 个数都能构成等羞数列，故数列a1,a2,…,am+2是(2， 又a>0,∴.a=√3，即AD=3. 13)一可分数列. 18.解：(1)第1步：求函数f(x的定义战 (3)第1步：证明1,2，…，4m十2是(4p+1,4q十2)一可分 f(x)的定义域为(0,2). 数列，并求出方法数 第2步：求解(x) 易知a1a2…,d4m+2是(i,j)一可分数列→1,2，…，4m十 若6=0，则fx)=ln2后十a,了（)-2. 2是(4p+1,4q十2)一可分数列，其中，q∈{0.1，…，m}. 当0≤p≤g≤m时，删去4p十1,4g十2， 2)t+a=x2-n+a: 2 其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都 (2-x)2 能构成等差数列， 第3步：根据f(x)≥0求a的最小值 故数列1,2，…，4m十2是(4p十1,4q十2)一可分数列，可 当x∈(0,2)时，x(2-x)∈(0,1]，f(x)mim=2十a>0,则 分为(1,2,3,4)，…，(4p-3,4p一2,4p一1,4p),…,(4( a≥-2， +1)-1,4(q+1),4(q+1)+1,4(q+1)+2),…,(4m 故a的最小值为一2 1,4m.4m十1,4m十2).p,q的可能取值方法数为C+1十 (2)第1步：求解f(2一x)与f(x)的关系式 m+1=m+1)(m+2) f2-)=ln2,+a(2-x)+b1-x)3=-ln2-x 2 第2步：证明1,2，…，4m十2是(4p十2,4g十1)一可分数 a.x-b(x-1)3+2a=-f(x)+2a, 列，并求出方法数 第2步：得出曲线y=f(.x)的对称中心 易知a1a2…,a4m+2是(i,j)一可分数列→1,2，…，4m十 故曲线y=f(x)关于点(1，a)中心对称. 2是(4p+2,4q十1)一可分数列，其中p,9∈{0,1，…，m}. (3)第1步：求a的值 当9一p>1时，别去4p+2,49十1， 由题知f(1)=a=一2， 将1~4p与4g十3~4m+2从小到大，每4项分为1组， 第2步：求解F(x)并变形整理 可知每组的4个数成等差数列. 此时f(x)=ln2-x -2x+b(x-1)3, 考虑4p十1,4p十3,4p十4，…，4g,4g+2是否可分，等同 于考虑1,3,4…，41,41+2是否可分，其中1=q-p>1, fx)=2=1.②。)+r-2+36(x-102= 2 可分为(1,1+1,21+1,31+1)，(3,1+3,21+3,31+3)，(4， (2-x)2 x(2-x) 1+4,2t十4,31十4)，…，(1,21,31,41)，(t+2,21+2,31+2, 2+3r-2=-1[2+6] 41十2)，每组4个数都能构成等差数列. 故数列1,2，…，4m+2是(4p+2,4q十1)-可分数列，p,g 第3步：分类讨论，研究∫(x)的单调性，并判断是否符合 题意 且q一D>1的可能取值方法数为C品+1一m=m1)m 2 2 1 记g(x)=x(2-x) 十3h,x∈(0,2)，易知g(x)在(0,1)上 第3步：证明Pm>8 单调递减，在(1,2)上单调递增，g(1)=2+36, (m十1)(m+2)+(m-1)m 2 当≥- 号时，gx)≥0fx)≥0，fx)在(0,2)上单词 从而Pm之 2 Cim+2 递增， m2+m+1、1 又f(1)=-2,故符合题意. 8n2+6m+1>8 数学答案一32024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷） 数学答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 考生 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂下面的缺考标 (正面朝上，请勿贴出虚线方框) 禁填 记。□ $ 1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写请楚，并认真核实对监考员所粘贴的条形码上的准考证号，姓名、考场 和座位号是否准确无误。 注意事 2.选择题必须使用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选择其它答案涂黑。非选择题必 须使用0.5毫米黑色签字笔填写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、试题纸上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁、完整，严禁折叠，严禁使用涂改液，胶带纸和修正带。 5.正确填涂■ 补 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分」 1.[A]CB][CTCD] 3.[A][B[C][D] 5.[A]B][C][D] 7.[A][B[C][D] 2.[A][B[C][D] 4.[A][B[C[D] 6.[A][B[C][D] 8.A][B][C][DJ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 炉 9.[A][B][C][D]1o.[A][B][C[D]1l.[A][B[C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 13. 14. 蜜 四、解答题：本题共5小题，共77分， 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第1页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第2页（共4页） ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17.(15分) 4 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第3页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第4页（共4页）