18.1.2 矩形的判定-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（华东师大版·新教材）

第18章矩形、菱形与正方形 2.矩形的判定 课时1矩形的判定定理 [答案33] 《基础巩固练 如澳息⑨有一个角是直角的平行四边形是矩形！ 5如图，在口ABCD中，点E、F分别在边BC、AD ①已知在四边形ABCD中，∠ABC=90°，再补充一 上，且BE=DF,连结AE、CF,分别过点E、F作 个条件使四边形ABCD为矩形，这个条件可以是 EH⊥CF于点H,FG⊥AE于点G.求证：四边形 EGFH是矩形. A.AC=BD B.AB=BC C.AC与BD互相平分D.AC⊥BD 2新考向如图，点M在口ABCD的边AD上，BM =CM,现有以下三个条件：①∠1=∠2；②AM= 5题图 DM;③∠3=∠4，从中选择一个合适的作为已知 条件，使口ABCD为矩形 (1)你添加的条件是 (填序号)； (2)添加条件后，请证明口ABCD为矩形 A M D 3 4 知识点③对角线相等的平行四边形是矩形 2题图 6(江苏南京期末)要判断一个四边形是否为矩 形，可行的是 () A.判断两组对边是否相等 B.判断对角线是否相等 C.判断对角线是否互相平分 D.判断对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 7如图，在口ABCD中，点E、F分别在BC、AD上， 知识点②有三个角是直角的四边形是矩形 BE=DF,AC=EF.求证：四边形AECF是矩形. 3下列各图中，是矩形的是 7题图 C D 4小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该 A.测量三个角是否都是直角 B.测量对角线是否互相平分 C.测量两组对边是否分别相等 D.测量一组对角是不是直角 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 77 同步练测·八年级数学·华师版·下册 《能力提升练> [答案P33] 1①（德阳中考）如图，要使平行四边形ABCD是矩6（云南中考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，0是 形，需要增加的一个条件可以是 AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连结 D AD、CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1, △BOC的周长为2，四边形ABCD的周长为L?: (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若L2-1=2,3=28,求AC的长， 1题图 A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD 2(湖南郴州期末)如图，在平行四边形ABCD中， 对角线AC、BD相交于点O.下列条件不能判定 6题图 平行四边形ABCD为矩形的是 2题图 A.AD=BC,AB∥CD B.AC=BD C.∠BAD=∠ADC D.∠ABC=90° 3如图，已知MN∥PQ,EF与MW、PQ分别交于点 ⑦如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交 A、C,过点A、C作两组内错角的平分线，分别交 于点O,AC=20cm,BD=12cm.两动点E、F以 于点B、D,则四边形ABCD是 2cm/s的速度分别从点A、C同时出发，在线段 AC上做相对运动. M (1)求证：当点E、F在运动过程中不与点0重 B 合时，四边形BEDF一定为平行四边形； (2)当点E、F运动多少秒时，四边形BEDF为 3题图 矩形？ ④如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E, 使CE=CD,连结AE交BC于点F,∠AFC= n∠D,当n= 时，四边形ABEC是矩形. D 7题图 4题图 5将6张宽为1的小矩形按如图所示的方式摆放 在口ABCD中，则口ABCD的面积为 D 5题图 78 50 见此图标目服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 第18章矩形、菱形与正方形 课时2直角三角形斜边上的中线的性质定理及其逆定理 《基础巩固练 [答案P34] 知限息①直角三角形斜边上的中线的性质定理/ 7如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC<AC,CD是 ①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上 斜边AB上的高线，CE是斜边AB上的中线. 的中线，若CD=5,则AB的长为 (1)若BD=ED,求证：∠A=30°； A.2.5B.5 C.10 D.15 (2)若AD=4BD=8,求CD的长 2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E 是AB的中点，AD、CE相交于F,且AD=DB.若 ∠B=20°，则∠DFE等于 ( A.30° B.40° C.50° D.60° 7题图 120° B D D E 2题图 3题图 3如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD、AE分别 是边BC上的中线和高，若AE=2,SAAn=5,则 AD的长为 A.5 B.3 c.1 D 4④一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角形 部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°，D为 边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD= 知跟点②直角三角形斜边上的中线的性质定理 的逆定理 8如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB的中点，且 0 23456789 4题图 () A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm DE=BE=2AB,则∠C的度数是 D.6 cm A.65° B.70° C.75 D.80° ⑤如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC 的中点，若AB=10cm,AC=8cm,则四边形 AEDF的周长为 cm A 8题图 9题图 9如图，0为线段AB的中点，AB=4cm,P1、P2、 5题图 6题图 P3、P4到点0的距离分别是1cm,2cm,2.8cm, 6如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90° 1.7cm,这四个点中能与A、B构成直角三角形 E为对角线AC的中点，连结BE、ED、BD.若 的顶点的是 ∠BAD=56°，则∠EDB的度数为 度 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 793.3 4.15[解析]连结AC.四边形ABCD是矩形，.AD∥BE,AC =BD,∴.∠E=∠DAE.易证∠ADB=∠CAD=30°.又：BD= CE,.CE=CM,∴.∠E=∠CME..'∠CAD=∠CAE+∠DAE, ∴.∠E+∠E=30°，即∠E=15°. 5.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ..0A=0C,0B=OD. .BE DF,..OE=OF 0A=0C, 在△AOE和△COF中， ∠AOE=∠COF, LOE=OF, .△AOE≌△COF(SAS),.AE=CF, (2)解：5. 6.证明：(1)：四边形ABCD是矩形， .∴.AD∥BC,AD=BC. .CE=AF, .DF=BE. 又.DF∥BE .四边形BEDF是平行四边形. (2):四边形ABCD是矩形， .∠DAB=90°， .∴.∠FAB=90 AF=1,AB=2, .由勾股定理，得BF=√AF2+AB2=√12+22=5. ·四边形BEDF为平行四边形， .DF∥BE,DE=BF=√5， ∴.∠DAE=∠AEB. .AD=5...DE =AD ∴.∠DAE=∠DEA, .∴.∠AEB=∠DEA.即EA平分∠DEB 7.解：(1)所作图形如答图所示. 7题答图 (2)如答图，连结AF. 设CF=x,则BF=4-x EF是AC的垂直平分线， ∴.FA=CF=x. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2+BF2=AF2, 3+(4-2=2,解得x=宫CF-空 参考答案及解析 2.矩形的判定 课时1矩形的判定定理 【基础巩固练】 1.C[解析]有一个角是直角的平行四边形是矩形，，只 要四边形ABCD是平行四边形，即可判定四边形ABCD是矩 形，.可添加AC与BD互相平分.故选C 2.解：(1)①（或②） (2)添加条件① 证明：在口ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°， 即∠1+∠3+∠2+∠4=180°. .BM=CM,∴.∠3=∠4. 又：∠1=∠2，∴.∠1+∠3=∠2+∠4， ·∠ABC=∠BCD=90°，∴口ABCD为矩形 添加条件②. 证明：在□ABCD中，AB∥DC,AB=DC, .∠A+∠D=180 AB DC, 在△ABM和△DCM中， AM=DM, BM=CM. .△ABM≌DCM(SSS),∴.∠A=∠D=90°， .口ABCD为矩形. 3.D 4.A[解析]：三个角都是直角的四边形是矩形，∴.选项A 符合题意；：对角线互相平分的四边形是平行四边形，“选 项B不符合题意；：两组对边分别相等的四边形是平行四 边形，∴.选项C不符合题意；一组对角是直角的四边形不 一定是矩形，.选项D不符合题意.故选A 5.证明：在□ABCD中，AD∥BC,AD=BC. BE DF,.'.AF CE. 又.AF∥CE,.四边形AECF是平行四边形， ∴.AE∥CF,∴.∠AEH+∠FHE=180° .EH⊥CF,FG⊥AE,∴.∠FGE=∠FHE=∠GEH=90°， ..四边形EGFH为矩形. 6.D 7.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .∴.AD=BC,AD∥BC. BE=DF,∴.AD-DF=BC-BE,即AF=EC, .四边形AECF是平行四边形. :AC=EF,.平行四边形AECF是矩形 【能力提升练】 1.D 2.A[解析]根据一组对边相等，另一组对边平行，不能判定 平行四边形ABCD为矩形，故选项A符合题意：根据对角线 相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩 形，故选项B不符合题意；四边形ABCD是平行四边形， .∠BAD+∠ADC=180°.又.∠BAD=∠ADC,∴.∠BAD= ∠ADC=90°.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判 定平行四边形ABCD为矩形，故选项C、D不符合题意.故选A ·33· 同步练测·八年级数学·华师版·下册 3.矩形 4.2[解析]：四边形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD, .∠BCE=∠D.由题意，得AB∥EC,AB=EC,.四边形 ABEC是平行四边形..·∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴.当∠AFC =2∠D时，有∠FEC=∠FCE,∴.FC=FE,∴，四边形ABEC是 矩形. 5.32[解析]解法一如答图①，过，点A作AF⊥BC于点F, 过点C作CE⊥AD于点E.四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,.AF⊥AD,CE⊥BC,则四边 形AFCE是矩形，∴AE=CF,∴DE=BF.由图形可知，AE= CF=AF=CE=4,DE=BF=4,∴.BC=BF+CF=8,∴.平行 四边形ABCD的面积=BC·AF=8×4=32. E B F 5题答图① 解法二如答图②，由图形知CG=AG=4,AH=3,HG=1, FG=AH=3,.AF=1=EF,△AEF为等腰直角三角形， .∠AEF=45°.：EF∥BC,.∠B=∠AEF=45°=EAF, .BG=AG=4,BC=8,.平行四边形ABCD的面积为8×4=32. E B G 5题答图② 6.(1)证明：：0是AC的中点， .0A=0C OB OD, .四边形ABCD是平行四边形 .·∠ABC=90°， .平行四边形ABCD是矩形. (2)解：：记AB=a,BC=b,△AOB的周长为1，△B0C的 周长为2，四边形ABCD的周长为l3, .2-41=BC-AB=b-a=2, 3=2(AB+BC)=2(a+b)=28, f6-a=2, lb+a=14, ∫a=6, Lb=8, ∴.AB=6,BC=8, .AC=√AB2+BC=10. 7.(1)证明：如答图，连结DE、EB、BF、FD. D。 C 0 7题答图 ·34 ,·两动点E、F以2cm/s的速度分别从点A、C同时出发，在 线段AC上做相对运动，∴.AE=CF. ',·平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, .OD=OB,OA =OC,..0A-AE=OC-CF, 即OE=OF,∴.四边形BEDF为平行四边形 (2)解：设运动ts时，四边形BEDF为矩形. 当点E在OA上，点F在OC上时，EF=BD=12cm, 四边形BEDF为矩形， .AE=CF=2tcm,.EF=20-4t=12,∴t=2, 当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cm, EF=4t-20=12,∴.t=8. 综上，当点E、F运动2s或8s时，四边形BEDF为矩形. 课时2直角三角形斜边上的中线的 性质定理及其逆定理 【基础巩固练】 1.C 2.D[解析]：在△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点， ∴.BE=CE.,∠B=20°，∴.∠ECB=∠B=20°..AD=BD, ∠B=20°，.∠DAB=∠B=20°，.∠ADC=∠B+∠DAB= 20°+20°=40°，.∴.∠DFE=∠ADC+∠ECB=40°+20°= 60°.故选D. 3.A[解析]AE是△ABC中BC边上的高，S△AD=V5,， 1 S△AD=2×BD X AE=5.AE=2,BD=5.:AD是 Rt△ABC中BC边上的中线，∴.DC=BD=AD=√5.故选A 4.B[解析].点A、B对应的刻度为1、7，.AB=7-1= 6(cem).:LACB=0,D为线段AB的中点，CD=7AB =宁×6=(em).故选B 5.18[解析]，E、F分别是AB、AC的中，点，AB=10cm,AC= 8cmAEB-x10=5(cm).AF-AC=x8 =4(cm).'AD是△ABC的高，.∠ADB=∠ADC=90°.在 R△ADB中，E是AB的中点，则DE=2AB=子×10= 5(cm）).同理可得DF=24C=7×8=4(cm）,四边形 AEDF的周长=AE+DE+AF+DF=5+5+4+4= 18(cm).故答案为18. 6.34[解析]：∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中 点，∴.EA=EB=EC=DE,.∠DAE=∠EDA,∠BAE= ∠EBA.在△AED中，∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE.同 理可得∠BEC=2∠BAE,∠DEB=LDEC+∠BEC= 2∠DAE+2∠BAE=2(∠DAE+∠BAE)=2×56°=112°， :∠BDB=7×(180-12)=34,故答案为34. 7.(1)证明：在△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线， 则CB=之AB=BB=AE .·BD=ED,CD⊥EB, ∴.CE=CB, ∴.CE=BE=CB, ∴，△CBE为等边三角形， .∠B=60°. ∠ACB=90° .∠A=90°-60°=30°. (2)解：4BD=8, ∴.BD=2, ∴.AB=AD+BD=10. 由(1)可知cE=BE=74B=5, .DE BE-BD =3. 由勾股定理得CD=√CE2-DE2=√52-32=4. 8.C[解析]~D是AB的中点，BD=AD=子AB=DE= BE,∴.△ABE是直角三角形，且∠AEB=90°，△BDE为等 边三角形，.∠ABE=60°，∠A=90°-60°=30°.AB= 4C∠C=7×(180-30)=75,故选C 9.P2[解析]如答图，连结AP2、BP2.O为线段AB的中 点，AB=4cm,A0=B0=分AB=2emP到点0的距 离是2cm,∴OP2=2cm,∴.A0=B0=OP2,∴.△ABP2是直 角三角形.故答案为P2: 0 B 9题答图 18.2菱形 1.菱形的性质 【基础巩固练】 1.B[解析]有一组邻边相等的平行四边形是菱形，要使 □ABCD成为菱形，则需添加的一个条件可以是BA=BC. 故选B. 2.菱形3.2 4.C[解析]四边形ABCD是菱形，边长为5，∴AB=5,AC⊥ BD,∴.∠AOB=90°..OE∥BC,.OE∥AD,∴.∠BOE= ∠BDA..'AB=AD,∴.∠BDA=∠ABD,∴.∠BOE=∠ABD, AOB=BE=之AB=子 5 5.10 6.1[解析]：四边形ABCD是菱形，∴DO=B0=1,CD∥AB, .∠ODF=∠OBE,∠OFD=∠OEB,∴.△DOF≌△BOE, ∴，△DOF的面积=△BOE的面积，∴，△AOE与△DOF的面 积之和=△B0A的面积=号×2x1=1.故续1 参考答案及解析 7.72[解析]如答图，连结AP,由四边形ABCD是菱形， ∠ADC=72,得LADB=之∠ADC=×72=36.EP是 AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性，得∠DAP= ∠ADB=36°，∴.∠APB=∠DAP+∠ADB=72°.由菱形对角 线的对称性，得∠CPB=∠APB=72°. D B 7题答图 8.(0,√/13) 9.（1)证明：连结AC. .·BD、AC是菱形ABCD的对角线， ∴.BD垂直平分AC,.AE=EC. (2)解：F是线段BC的中点.理由如下： .·四边形ABCD是菱形，..AB=CB. 又：∠ABC=60°，∴.△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°. AE=EC,,∠EAC=∠ACE. LCEF=60°，LCEF=LEAC+LACE, ∠BAC=30=号LBMC, ∴.AF是等边三角形ABC的角平分线， ∴.BF=CF,·F是线段BC的中点. 10.B[解析]四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,.OA =OC=4,OB=OD=3,AC⊥BD.在Rt△AOB中，AB= V+平=5.：S美5m=24AC,BD=DH.M8,7× 1 8×6=DH·5,.DH= 故选B 24 11.15 【能力提升练】 1.A 2.C[解析]四边形ABCD是菱形，.AB=AD=BC=DC,∠B =∠D.ACE=CF,.BC-CE=DC-CF,即BE=DF.在 AB=AD, △ABE和△ADF中， ∠B=∠D,∴.△ABE≌△ADF(SAS),故 BE=DF, 选项A不符合题意；B.:LBMF=∠DAE,∴LBAF-∠EMF= ∠DAE-∠EAF,即∠BAE=∠DAF.在△ABE和△ADF中， r∠B=∠D, AB=AD, ∴.△ABE≌△ADF(ASA),故选项B不符合 ∠BAE=∠DAF, 题意；C.由AE=AF,不能判定△ABE≌△ADF,故选项C符合 题意；D.∠AEC=∠AFC,∴.∠AEB=LAFD.在△ABE和 r∠AEB=∠AFD, △ADF中， ∠B=∠D, ∴，△ABE≌△ADF(AAS),故选 LAB=AD, 项D不符合题意. ·35·