精品解析：广东茂名市茂南部分学校2025-2026学年九年级下学期阶段性综合练习（一）数学科试卷

2025-2026学年度初三阶段性综合练习（一） 数学科练习 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若一动物爬行，逆时针旋转记为，则顺时针旋转记为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负，再进行作答即可． 【详解】解：一动物爬行，逆时针旋转记为，则顺时针旋转记为. 故选：D 2. 惠州218环南昆山-罗浮山最美旅行公路，全长约218千米，呈“8”字形环线，218千米用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：218千米米米． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质，二次根式的加减乘除，根据二次根式的性质和二次根式的加减乘除运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 4. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 【详解】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形． 故主视图为： 故选：A． 5. 某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x，5，5，6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（ ）． A. 2 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中位数和平均数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．中位数把样本数据分成了相同数目的两部分． 先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】解：，按从小到大排列为2，3，3，4，5，5，6， 所以中位数为4． 故选：B． 6. 如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据幂的乘方、积的乘方、完全平方公式，同底数幂的乘除法等基本规则，逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：A、 ， 故 A错误． B、 ， 故 B错误． C、 ， 故 C错误． D、 ， 故 D正确． 故选：D． 8. 甲、乙两个工程队同时修建两条长为1000米的马路，所修建的马路的长度y（米）与天数x（天）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 甲工程队每天修建100米 B. 甲、乙两队在前6天修建的马路长度相同 C. 乙工程队休息前修建的速度比休息后修建的速度慢40米/天 D. 乙工程队比甲工程队早2天完成任务 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用一次函数图象性质解决工程问题 【详解】解：由图象可得，甲工程队每天修建（米），故A正确，不符合题意； 甲工程队前6天修建的马路长度是（米）， 乙工程队前6天修建的马路长度是米， 甲、乙两队在前6天修建的马路长度相同，故B正确，不符合题意； 乙工程队休息前修建的速度是（米天）， 休息后修建的速度为（米天）， 乙工程队休息前修建的速度比休息后修建的速度每天慢100米，故C错误，符合题意； 由图象可得乙8天修完，甲10天修完， 乙工程比甲工程队早2天完成任务，故D正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图是一条高速公路隧道的横截面，其形状是以为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则路面宽的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，关键是利用垂径定理得出被垂直平分，进而构造直角三角形求解弦长．首先根据圆的半径和隧道高度求出圆心到路面的距离，再在直角三角形中运用勾股定理求出弦长的一半，最后计算出路面宽的长度． 【详解】解：由题意可知，于点，根据垂径定理，垂直平分，即，且圆心在上． ，， ； 在中，由勾股定理得：； ； 故选：D． 10. 如图，是直角三角形，度，，点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上，则（ ） A. 9 B. C. 27 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，相似三角形的判定和性质，作轴，轴，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积，即可得出结果． 【详解】解：作轴，轴，则， ∵度， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限内， ∴； 故选C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，代数式求值． 根据绝对值的非负性，平方的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用位似图形点的坐标求相似比，利用位似是特殊的相似，求出相似比是，进而即可解答． 【详解】解：∵，点O是位似中心，点A的坐标为，点的坐标为，且， ∴和的位似比为，则和的相似比为， ∴． 故答案为：． 13. 一元二次方程有两个_______实根（填“相等”或“不等”）． 【答案】不等 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用根的判别式进得判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：不等 14. 对于任意不相等的两个实数、，定义运算※如下：．如．那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是理解：定义运算※：，再将，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角板全等的性质，可得，结合，可判定的形状，进而得到的度数，该角度即为三角板的旋转角，进而求出点A运动路径对应的圆心角．最后使用弧长公式，代入旋转角度数和半径的长度，即可计算出路径长度． 【详解】由题意可知：是直角三角形，，， 两块三角板全等，因此旋转后可得 ． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 点的运动路径是以为圆心、为半径的圆弧， ∴点A运动路径的长度为 ．​ 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）． 16. 按要求完成作答： （1）计算： （2）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】（1） （2），，见解析， 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂计算即可； （2）分别求解两不等式，在数轴上分别表示出两不等式的解集，可知原不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识点，根据题意、正确作图是解题的关键． （1）利用尺规按要求作出图形即可； （2）根据三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等边对等角、角平分线的定义等知识点求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 18. 我市为了解七年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了部分七年级学生2025年初的视力数据，并调取该批学生2024年初的视力数据，制成题图1和题图2的统计图： 青少年视力健康标准 类别 视力 健康状况 A 视力 视力正常 B 4.9 轻度视力不良 C 视力 中度视力不良 D 视力 重度视力不良 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次随机抽查的该批七年级学生人数； （2）若2025年初该市有七年级学生2万人，请估计这些学生2025年初视力正常的人数比2024年初增加了多少人？ （3）结合本次调查结果，请为保护该市七年级学生的视力健康提出一条合理化建议． 【答案】（1）参与随机抽查的该批学生人数为400人 （2）估计这些学生2025年初视力正常的人数比2024年初增加了300人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，核心是利用样本估计总体的统计思想． （1）年初的条形统计图给出了四类视力情况的学生人数，将四类人数相加即可得到本次抽查的总人数； （2）先通过扇形统计图求出年初样本中视力正常的人数，结合年初的正常人数得到样本中增加的人数，再根据样本中增加人数的占比，估算全市2万名学生中增加的人数； （3）结合视力不良的现状，从用眼习惯、护眼措施等角度提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：本次随机抽查的该批七年级学生人数为： (人)； 【小问2详解】 解：年初视力正常的人数为：(人)， 年初视力正常的人数为人， 则抽查样本中年初视力正常的人数比年初增加了(人)， 比例为：， 因此估计全市2万名七年级学生中，年初视力正常的人数比年初增加了： (人)； 【小问3详解】 解：结合本次调查结果，为保护该市七年级学生的视力健康，可提出以下建议：学校应加强视力健康宣传教育，定期开展视力检测；学生应养成良好的用眼习惯，减少电子产品使用时长，保持正确的读写姿势，增加户外活动时间等(答案不唯一)． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）． 19. 如图，四边形的顶点在轴上，顶点，在轴上，，点的坐标为，双曲线经过点．的角平分线与轴交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数表达式的求解，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定．熟悉用待定系数法求反比例函数表达式，平行线的性质：两直线平行，内错角相等，角平分线的定义，等腰三角形等角对等边，平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是解题的关键． （1）根据双曲线经过点，将点的坐标代入y，得到反比例函数的表达式． （2）根据角平分线的性质和平行线的性质，得到，继而得到，因为，根据一组边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：∵双曲线经过点， ∴将点的坐标代入y得：2， ∴解得：， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 20. 背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息： （1）球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米； （2）篮筐的高度为3.05米； （3）小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米． （1）求小李投篮时，篮球出手时的高度； （2）在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由． 【答案】（1）米 （2）无法完成，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数； （1）设，将点代入，当时，求出的值即可求出； （2）令，求出，根据，米米，得出结论即可． 【小问1详解】 解：以点为原点建立平面直角坐标系， 设， 将点代入， 解得 ∴ 当时，得 ∴米 【小问2详解】 解：令， （米） ∵米米， ∴小姜同学无法完成此次防守． 21. 东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元． （1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元； （2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？ 【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是35元． 【解析】 【详解】分析：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入-成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 详解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元， 根据题意得： ， 解得：x=25， 经检验，x=25是原分式方程的解． 答：第一批悠悠球每套的进价是25元． （2）设每套悠悠球的售价为y元， 根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%， 解得：y≥35． 答：每套悠悠球的售价至少是35元． 点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分）． 22. 如图是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，支架连接靠背和小桌板为杯托底面圆的直径，测得，，，（，，） （1）如图2，求点到靠背的距离；（精确到） （2）如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知托杯凹陷深度为，一个高为圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？（精确到） 【答案】（1）约为 （2）能 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，把所求线段或角，整理到合适的直角三角形中求解，是解决本题的关键． （1）延长交于点，则，根据的长和的正弦值，解直角三角形即可得的长，即为点到靠背的距离； （2）延长交于点，解直角三角形求得的长度，加上的长度，再和杯子的高度比较即可判断水杯能否放在杯托处． 【小问1详解】 解：延长交于点，如图所示： 靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行， ， 在中，，则， ， 则点到靠背的距离约为； 【小问2详解】 解：一个高为的圆柱形水杯能竖直放在杯托处． 理由如下： 延长交于点，如图所示： 则， ， ， ， 在中，， 则， ， ， ， ∴一个高为的圆柱形水杯能竖直放在杯托处． 23. 我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来． （1）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象是由函数向__________（填“左”或“右”）平移1个单位得到． ②函数的图象关于点__________中心对称（填写点的坐标）． （2）一次函数的图象经过函数的中心对称点，并且与函数的图象交于点，点B．当时，x的取值范围是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点． ①求出函数的表达式． ②过线段中点M的一条直线l与这个函数的图象交于P，Q两点（P在Q右侧），若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）①左，② （2）或 （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）依据题意，①函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位得到，②由关于原点对称，从而可以得到函数的图象关于对称，进而得解； （2）先由平移规律找到函数的对称点为，再利用待定系数法求出，进而可得出的坐标，结合图象即可得解； （3）将坐标原点平移到点的位置，构建新的坐标系，在新的坐标系中，分点在点的左边和右边两种情况讨论，只需先求出点在新坐标系下的坐标，就可求出点在原坐标系下的坐标． 【小问1详解】 解：观察图象并分析表格， ①函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； ②函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴对称中心也是由原点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， ∴函数的图象关于点成中心对称， 故答案为：左；； 【小问2详解】 解：， ∴由（1）规律知，函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴对称中心也是由原点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， ∴函数的对称点为， ∴一次函数的图象经过，， ∴，解得， ∴， 将与列成方程组得， ，解得或， ∴， ∴如图所示， 当时，即对应的一次函数图象在函数的图象下方对应的自变量的取值范围，即为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：①∵矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点， ∴， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，，解得，， ∴，， ∴，解得， ∴， 将、代入函数可得， 解得：， ②∵线段中点为M， ∴为函数的对称中心， ， ， 以B、E、P、Q为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线， ∵， ∴由平移规律知，的图象可以看作由的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的，此时，若两坐标轴也一起移动，则新坐标系下得到的新函数解析式为，点的新坐标为，点为新坐标系的原点， ∴可构建如图所示的新坐标系，若点在点的左边， ∵直线与双曲线都是以点为对称中心， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作轴于，过点作轴于， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得：， ∴， 设点在新坐标系中的坐标为， 则有， 解得（舍去），， 当时，， 即点在新坐标系中的坐标为， ∴点在原坐标系中的坐标为，即； 若点在点的右边， 如图， 同理可得：点在新坐标系中的坐标为， ∴点在原坐标系中的坐标为即， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象及性质，一次函数图象及性质，矩形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，中心对称等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初三阶段性综合练习（一） 数学科练习 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若一动物爬行，逆时针旋转记为，则顺时针旋转记为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 惠州218环南昆山-罗浮山最美旅行公路，全长约218千米，呈“8”字形环线，218千米用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x，5，5，6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（ ）． A. 2 B. 4 C. 4.5 D. 5 6. 如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两个工程队同时修建两条长为1000米的马路，所修建的马路的长度y（米）与天数x（天）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 甲工程队每天修建100米 B. 甲、乙两队在前6天修建的马路长度相同 C. 乙工程队休息前修建的速度比休息后修建的速度慢40米/天 D. 乙工程队比甲工程队早2天完成任务 9. 如图是一条高速公路隧道的横截面，其形状是以为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则路面宽的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，是直角三角形，度，，点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上，则（ ） A. 9 B. C. 27 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则_____． 12. 如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则________． 13. 一元二次方程有两个_______实根（填“相等”或“不等”）． 14. 对于任意不相等的两个实数、，定义运算※如下：．如．那么______． 15. 将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）． 16. 按要求完成作答： （1）计算： （2）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 18. 我市为了解七年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了部分七年级学生2025年初的视力数据，并调取该批学生2024年初的视力数据，制成题图1和题图2的统计图： 青少年视力健康标准 类别 视力 健康状况 A 视力 视力正常 B 4.9 轻度视力不良 C 视力 中度视力不良 D 视力 重度视力不良 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次随机抽查的该批七年级学生人数； （2）若2025年初该市有七年级学生2万人，请估计这些学生2025年初视力正常的人数比2024年初增加了多少人？ （3）结合本次调查结果，请为保护该市七年级学生的视力健康提出一条合理化建议． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）． 19. 如图，四边形的顶点在轴上，顶点，在轴上，，点的坐标为，双曲线经过点．的角平分线与轴交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）若，，求证：四边形是平行四边形． 20. 背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息： （1）球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米； （2）篮筐的高度为3.05米； （3）小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米． （1）求小李投篮时，篮球出手时的高度； （2）在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由． 21. 东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元． （1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元； （2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分）． 22. 如图是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背垂直于水平面，小桌板与水平面平行，支架连接靠背和小桌板为杯托底面圆的直径，测得，，，（，，） （1）如图2，求点到靠背的距离；（精确到） （2）如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知托杯凹陷深度为，一个高为圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？（精确到） 23. 我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来． （1）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象是由函数向__________（填“左”或“右”）平移1个单位得到． ②函数的图象关于点__________中心对称（填写点的坐标）． （2）一次函数的图象经过函数的中心对称点，并且与函数的图象交于点，点B．当时，x的取值范围是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点． ①求出函数的表达式． ②过线段中点M的一条直线l与这个函数的图象交于P，Q两点（P在Q右侧），若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $