精品解析：广东省茂名市茂南区愉园中学2024-2025学年下学期第一次模拟考九年级数学试题

2024-2025学年度初三级第一次综合模拟测试 数学科试卷 总分120分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将珠江的水位下降4米记作“米”，则“米”表示珠江的水位（ ） A. 下降3米 B. 上升4米 C. 上升3米 D. 下降4米 2. 如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯．它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2－0.5毫米之间．“黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在．以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，下列数量关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成六等份）停在红色区域中的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 不等式组的解集是（ ） A. 无解 B. C. D. 8. 如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　） A. 3.7 B. 4.1 C. 5.5 D. 5 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. ________． 12. 已知方程的一个根是1，则它的另一个根是________． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_____． 14. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，即y＝，其中k≠0．已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m，则400度近视眼镜的镜片焦距为________m． 15. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 三、解答题：本大题共3小题，16小题6分，17小题7分，18小题8分，共21分． 16 计算：． 17. 为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 18. 如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，） 四、解答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图， 中， ，以点为圆心，为半径作圆，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是的切线． 20. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 765 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； （2）若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合上表中统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 21. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 五、解答题：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 对于二次函数和一次函数，我们把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点和抛物线E上的点，请完成下列任务： 【尝试】 （1）当时，抛物线的顶点坐标为 . （2）判断点A是否在抛物线E上； （3）求n的值. 【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 . 【应用】二次函数是二次函数和一次函数 一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由. 23. 阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初三级第一次综合模拟测试 数学科试卷 总分120分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将珠江的水位下降4米记作“米”，则“米”表示珠江的水位（ ） A. 下降3米 B. 上升4米 C. 上升3米 D. 下降4米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了具有相反意义的量，理解相反数的意义是解题的关键．根据具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：∵珠江的水位下降4米记作“米”， ∴米表示上升3米，故C正确． 故选：C． 2. 如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯．它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2－0.5毫米之间．“黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在．以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据三视图概念（主视图：是指从物体的正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上得到的视图；俯视图：由物体上方向下做正投影得到的视图；左视图：左视图是指视点在物体的左侧，投影在物体的右侧的视图；）进行观察判断，即可解题． 【详解】解：该蛋壳黑陶高柄杯的主视图和左视图为如题干所示的平面图形， 该蛋壳黑陶高柄杯的俯视图同心的圆， 故该蛋壳黑陶高柄杯的主视图与左视图相同， 故选：B． 3. 据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：27亿． 故选：C． 4. 如图，已知，，下列数量关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ，选项C正确， 无法判断与是否相等， 无法得出分别与相等， 无法得出， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减和乘除运算，正确理解整式的加减和乘除运算的法则是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，幂的运算法则即可判断答案． 【详解】选项A，与不是同类项，不能合并，故选项A错误，不符合题意； 选项B，，故选项B错误，不符合题意； 选项C，，故选项C错误，不符合题意； 选项D，计算正确，符合题意． 故选D． 6. 如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成六等份）停在红色区域中的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】确定红色区域在转盘中所占的比例，这个比例即为停在红色区域中的概率． 【详解】解：红色区域在转盘中占2份，即， 停在红色区域的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查用图形面积表示概率，掌握相应的面积与总面积之比是所求事件的概率是解题关键． 7. 不等式组的解集是（ ） A. 无解 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，分别求出两个不等式的解集，再找到公共部分即可． 【详解】解：解得， 解得， ∴不等式组的解集是， 故选：B． 8. 如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据含直角三角形性质求得，由菱形的性质得出即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， 即， 故选：B． 9. 如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　） A. 3.7 B. 4.1 C. 5.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B中的满足条件， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. ________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】． 故答案为：． 12. 已知方程的一个根是1，则它的另一个根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设它的另一个根是t，利用一元二次方程根与系数的关系，列式求解即可． 【详解】解：∵1是方程的一个根，设它的另一个根是t， 则， ∴． 即方程的另一个根是2， 故答案为：2． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：7． 14. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，即y＝，其中k≠0．已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m，则400度近视眼镜的镜片焦距为________m． 【答案】025## 【解析】 【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．令y=400，求得x的值即可． 【详解】解：由题意设y=， 由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k=0.5×200=100， ∴y=． 故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：y=， 当y=400时，y==400， 解得：x=0.25． 故答案为0.25． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 15. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图 是OB的中点 , OA＝2， ＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移， 阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键． 三、解答题：本大题共3小题，16小题6分，17小题7分，18小题8分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则是解题的关键．根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行求解即可． 【详解】解： ． 17. 为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 【答案】原计划每天这种树棵 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天种树x棵，则实际每天种树棵，根据工作时间＝工作总量＋工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天这种树棵． 18. 如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡的坡度为，台阶斜坡的铅直高度为2米，求旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】旗杆的高度为13.6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交的延长线于点F，分别解直角三角形，直角三角形和直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：延长交的延长线于点F， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， ∵斜坡的铅直高度为2米， ∴，米， ∵在端点D处，测得顶端A的仰角为， ∴， ∴，， ∵点C处，测得旗杆顶端A的仰角为， ∴ 在中，， 即：， ∴ 答：旗杆的高度为13.6米． 四、解答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图， 中， ，以点为圆心，为半径作圆，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是的切线． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质、线段的垂直平分线的作法与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质和圆的切线的判定定理，掌握作图方法和添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的基本作图的作法解答即可； （2）连接，利用线段垂直平分线的性质可得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可． 【小问1详解】 作图如下：即为线段的垂直平分线． 【小问2详解】 证明：连接，如图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． 20. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； （2）若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【答案】（1），， （2） （3）甲，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数和方差的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、， 中位数， 甲组数据中出现的次数最多， 众数， 由信息识别准确度的折线图可知：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：（人）， 估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人； 【小问3详解】 解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 甲款软件使用效果更好． 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数、方差的意义对题目进行分析是解题的关键． 21. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 【小问2详解】 ①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 五、解答题：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 对于二次函数和一次函数，我们把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点和抛物线E上的点，请完成下列任务： 【尝试】 （1）当时，抛物线的顶点坐标为 . （2）判断点A是否在抛物线E上； （3）求n的值. 【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 . 【应用】二次函数是二次函数和一次函数 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由. 【答案】尝试：（1）．（2）点在抛物线E上．（3）． 发现：、． 应用：不是，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合知识，该题通过新定义的形式考查了二次函数的综合知识，理解新名词的含义尤为关键． 尝试：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标； （2）将点A的坐标代入中直接进行验证即可； （3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值． 发现：将抛物线E展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标． 应用：将发现中得到的两个定点坐标代入二次函数中进行验证即可． 【详解】解：尝试： （1）将代入抛物线E中，得： ， ∴此时抛物线的顶点坐标为：； 故答案为：． （2）∵将代入，得， ∴点在抛物线E上． （3）将代入抛物线的解析式中， 有， 解得：． 发现： ∵将抛物线E的解析式展开，得： ， 当时，， ∴抛物线E必过定点、． 应用：将代入，，即点A在抛物线上． 将代入，计算得：， 即可得抛物线不经过点B， 二次函数不是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”． 23. 阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）①28；②见解析；（2）4；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得； ②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，则点的运动路径是在以为直径的圆的上，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，，最后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴， 故答案为：28． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． （2）如图3，连接， ∵矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为， 故答案为：4． （3）如图4，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在点的运动过程中，始终有， 又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动， ∴点的运动路径是在以为直径的圆的上， 如图4，取的中点，连接， ∴，， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，较难的是题（3），正确找出点的运动路径是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $