精品解析：甘肃兰州新区贺阳高级中学等校2026届高三高考压轴冲刺数学试题（一）

2026年高考压轴冲刺 数学（一） 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.建议用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 50 2. 已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，有一块菜地被分成四部分，现要在这四部分种植蔬菜，要求每部分只种植一种，现有4种不同的蔬菜种子可供选择，则在相邻部分不种植同一种蔬菜的条件下，恰好种了3种蔬菜的概率为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 6. 记，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（ ） A. B. 所调查市民年龄众数的估计值为40 C. 所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D. 所调查市民的平均年龄约为34.5岁 10. 如图，，，是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则（） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的单调递增区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的零点为 11. 若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数在区间上为“凹函数” D. 若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则______. 13. 已知1，，，…，，100构成正项等比数列，该数列的前项的积为，，则数列的通项公式为______. 14. 过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 纪录片《重返狼群》再度翻红，某市为了了解市民是否关注《重返狼群》与性别的关联性，在本市随机调查了1000名市民，得到如下列联表. 性别 是否关注《重返狼群》 合计 不关注 关注 男 520 80 600 女 380 20 400 合计 900 100 1000 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民是否关注《重返狼群》与性别有关； （2）将频率视为概率，现从全市市民中随机抽取3名，记关注《重返狼群》的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在平面四边形中，，，. （1）若，求的长； （2）当四边形的面积取最大值时，求. 17. 如图，在四棱锥中，，，，点满足. （1）求证：平面； （2）若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且的面积为4. （1）求的方程； （2），为上两点. （ⅰ）若直线过点，且倾斜角为，过点且与直线垂直的直线交于，两点，求四边形的面积； （ⅱ）若点，，过点作于点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出此定点和定值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若在处的切线的斜率为1，求的值； （2）若，，求的取值范围； （3）若有3个零点，，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考压轴冲刺 数学（一） 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.建议用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 50 【答案】B 【解析】 【详解】由题得， 所以. 2. 已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的坐标表示求解. 【详解】由，得，即， 则，而向量，， 因此，所以. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 5. 如图，有一块菜地被分成四部分，现要在这四部分种植蔬菜，要求每部分只种植一种，现有4种不同的蔬菜种子可供选择，则在相邻部分不种植同一种蔬菜的条件下，恰好种了3种蔬菜的概率为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出符合条件的种植总数，再求出恰好种了3种蔬菜的种植数即可. 【详解】恰好种植4种蔬菜有种方法；恰好种植3种蔬菜有种方法；恰好种植2种蔬菜有种方法， 因此符合条件的不同种植方法总数是， 所以恰好种了3种蔬菜的概率. 6. 记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由已知条件和椭圆定义表示出，，，由勾股定理求得与的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案. 【详解】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 8. 在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，，可得，分别取与的外心，，过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，得解. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为、所以，， 所以，又，所以. 分别取与的外心，，易知点，分别在，上， 过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心. 由已知可得，，连接，易得， 所以，则，则， 所以在中，，即三棱锥外接球的半径为， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（ ） A. B. 所调查市民年龄众数的估计值为40 C. 所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D. 所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 10. 如图，，，是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则（） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的单调递增区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的零点为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据图象交点距离关系求出函数的周期和的值，确定函数解析式.然后分别利用三角函数的性质（对称性、单调性）以及图象变换规则对各个选项进行验证. 【详解】由题意，是函数图象与直线的三个相邻交点. 因，则，. 根据正弦函数图象的对称性及周期性，点与点是相邻的两个同相位点， 所以等于一个周期，即周期. 又因，则，所以. 对于A，两点关于函数图象的某条对称轴（波峰所在直线）对称. 由，，取，得对称轴. 因为，所以. 代入函数解析式，可得，故A错误. 对于B，令，解得. 当时，，即直线是图象的一条对称轴，故B正确. 对于C，令，解得. 所以的单调递增区间为，故C正确. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，得到. 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到. 令，即，则，解得，故D正确. 11. 若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数在区间上为“凹函数” D. 若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】先通过赋值法求解抽象函数的解析式，再结合题目给出的“凹函数”定义，利用导数逐一分析各选项即可. 【详解】∵ 函数的定义域为，满足，且， 令，得，即， ∵ ，∴ . 令，得，即， 代入原式验证：左边，右边，等式成立， 故. 对选项A：∵ ，∴ A正确. 对选项B：∵ ，，故，故不是奇函数，B错误. 对选项C：， 则，设函数的导函数为 则， 当时，，， 故，即在上为减函数，不符合凹函数定义，C错误. 对选项D：，故， 则，设函数的导函数为， 若为上的凹函数，则为上的增函数，即对任意恒成立， 故恒成立， 即对任意恒成立. 令，则， 令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， ∴ ，即，故D正确. 【点睛】方法归纳：求解抽象函数解析式常用赋值法，处理新定义问题需准确转化定义为已有知识，恒成立问题优先分离参数转化为函数最值问题求解. 易错归纳：判断凹函数时需注意是一阶导数单调递增，即二阶导数非负，避免混淆导数阶数出错；求解函数最值时需准确判断单调性，不要弄错极值点的函数值符号. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则______. 【答案】4 【解析】 【详解】. 13. 已知1，，，…，，100构成正项等比数列，该数列的前项的积为，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用等比数列通项公式得到公比的幂次关系，再将前项积用公比表示，结合对数运算性质化简得到通项. 【详解】设该正项等比数列的公比为，由题意可知数列共有项， 首项为1，第项为100，根据等比数列通项公式得：， ， 将 代入上式：， 所以. 14. 过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设过原点直线与双曲线交点关于原点对称，取双曲线上点，利用点差法得出，结合已知斜率之积为得到关系，再由双曲线离心率公式及即可求出离心率. 【详解】设，，. 由在双曲线上得，. 两式作差得. ，，. 由题意，离心率，. 代入得，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 纪录片《重返狼群》再度翻红，某市为了了解市民是否关注《重返狼群》与性别的关联性，在本市随机调查了1000名市民，得到如下列联表. 性别 是否关注《重返狼群》 合计 不关注 关注 男 520 80 600 女 380 20 400 合计 900 100 1000 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民是否关注《重返狼群》与性别有关； （2）将频率视为概率，现从全市市民中随机抽取3名，记关注《重返狼群》的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为市民是否关注《重返狼群》与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）零假设：市民是否关注《重返狼群》与性别无关，计算出的观测值，结合临界值可得出结论； （2）根据题意，再计算期望即可． 【小问1详解】 零假设：市民是否关注《重返狼群》与性别无关， 计算得， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为市民是否关注《重返狼群》与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001； 【小问2详解】 由列联表知1000名市民中有100人关注，关注率为， 用频率估计概率，可知任意抽取一名市民，该市民关注《重返狼群》的概率为， 则， 所以． 16. 如图，在平面四边形中，，，. （1）若，求的长； （2）当四边形的面积取最大值时，求. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）中由正弦定理求出，又在中，由余弦定理求出； （2）结合图形，设，利用正弦定理求得，根据三角形面积公式求出四边形的面积表达式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合正弦函数的性质即可求得. 【小问1详解】 由题得，， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由余弦定理得： . 所以. 【小问2详解】 设，， 则，， 在中，由正弦定理得， 所以四边形的面积 . 因为，所以， 所以当，即时，四边形的面积取最大值. 即当四边形的面积取最大值时，. 17. 如图，在四棱锥中，，，，点满足. （1）求证：平面； （2）若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，连接，由得到，证明出四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用数量积求出平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 过点作，交于点，连接， 因为. 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，，平面， 所以，， 又， 所以，，两两垂直. 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则.即， 令，得，，则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，则. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且的面积为4. （1）求的方程； （2），为上两点. （ⅰ）若直线过点，且倾斜角为，过点且与直线垂直的直线交于，两点，求四边形的面积； （ⅱ）若点，，过点作于点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出此定点和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）定点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦点与准线坐标，求出通径长和三角形底边长，结合三角形面积条件求出的值，进而得到抛物线的标准方程. （2）（i）题先求出两条互相垂直直线的斜率，联立直线与抛物线方程推导焦点弦长公式，分别算出两条焦点弦的长度，再利用对角线垂直四边形面积公式求出结果. （ii）设出直线的横截式方程，联立抛物线借助韦达定理，由向量垂直数量积为零化简整理，通过配方求解并舍去不合题意的根，得到直线恒过的定点，再由直角顶点轨迹为圆的性质，确定定点与定值大小. 【小问1详解】 抛物线，焦点，准线，. 过垂直轴的直线，代入抛物线得， 所以，. 由且，得. 抛物线的方程：. 【小问2详解】 （ⅰ）由，焦点. 抛物线，焦点，. 过焦点直线设为，联立，消去得. 设交点纵坐标为，则，. 弦长，化简得焦点弦长公式. 直线的倾斜角为，则斜率. 因为，所以. 将代入焦点弦长公式， ，. 将代入公式，，. 所以对角线互相垂直的四边形面积：. （ⅱ）由题可知直线斜率不为. 设直线的方程为，，. 联立，消去得. 由韦达定理得，. 因为，所以. 又，，则. 将，代入上式得. 展开并整理得. 将，代入得. 化简得，即. 解得或（舍去，因为当时，直线过点）. 所以直线的方程为，即. 故直线过定点. 因为，所以点的轨迹是以为直径的圆（除去，两点）. 的中点坐标为，. 则圆的半径为. 所以存在定点，使得为定值. 19. 已知函数. （1）若在处的切线的斜率为1，求的值； （2）若，，求的取值范围； （3）若有3个零点，，，且，证明：. 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义可得，然后求即可； （2）求导，令，根据导数可知在上单调递减，再分、两种情况讨论求解． （3）易知时，最多有个零点，再证时，有三个零点，再得到，结合基本不等式即可证明． 【小问1详解】 定义域为， ， 因为在处的切线的斜率为， 所以， 解得； 【小问2详解】 由(1)知， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，， 则当时，，即， 所以在上单调递增，那么，满足题意， 当时，，， 所以存在，使得， 当时，，即， 所以在上单调递减，那么，不满足题意， 所以，的取值范围是； 【小问3详解】 由(2)知，当时，在上单调递增，最多有个零点，不符合题意， 当时，，，， 令，， ，即， 所以存在，，使得，即， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递减； 当时，单调递增。 又，所以有个零点，且， 又，即， ， ，即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $