专题01分式易错必刷题型专项训练(28大题型共计89道题)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式全章高频易错点，以“典题特征+易错点”双维度构建方法体系，覆盖概念辨析、性质应用、运算技巧及方程应用，逻辑递进且直击中考失分盲区。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题型|值为0需分子为0且分母非0；值正负需结合分子分母符号|从分式意义（有无意义）到值的条件（0、正负、整数），构建概念认知链| |性质应用|4题型|变形需保证同乘整式非0；系数化整取最小公倍数|由分式基本性质延伸至符号变换、系数统一，强化性质应用严谨性| |运算技巧|10题型|约分先因式分解；混合运算遵循“先乘方再乘除后加减”|从基础运算（约分、通分）到综合运算（含整式加减、恒等式确定），形成运算能力梯度| |方程与应用|10题型|解分式方程必须验根；无解需考虑增根及整式方程无解|从方程求解到解的情况分析（正数、无解），再到行程/工程等实际应用，体现模型意识|

专题01分式易错必刷题型专项训练 本专题汇总分式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.分式值为0的条件 题型02.分式有无意义的条件 题型03.分式值正负时取值范围 题型04.求分式值为整数的未知数 题型05.分式变形成立的条件 题型06分式性质判断值变化 题型07.分子分母最高次项化为正数 题型08.分子分母系数化为整数 题型09.分式约分 题型10.分式通分 题型11.分式乘方运算 题型12.分式乘法运算 题型13.分式除法运算 题型14.含乘方的分式乘除混合运算 题型15.同分母分式加减法 题型16.异分母分式加减法 题型17.整式与分式相加减 题型18.分式恒等式确定分子分母 题型19.分式加减乘除混合运算 题型20.分式化简求值 题型21.分式最值 题型22.解分式方程 题型23.由分式方程解的情况求值 题型24.分式方程无解问题 题型25.分式方程行程问题 题型26.分式方程工程问题 题型27.分式方程经济问题 题型28,分式方程和差倍分问题 易错必刷题型01.分式值为0的条件 典题特征：已知分式值为0，求解字母取值 易错点：①只令分子为0，忽视分母不为0 ②求得结果不代入检验分母 1．若分式的值为0，则的值为________． 【答案】8 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 2．当_________时，分式的值为0． 【答案】2 【分析】分式值为零需满足分子为零，且分母不为零，根据该条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， 依题意得 且. 解方程 ， 因式分解得， 解得或， 解不等式 ， 因式分解得， 解得且， 综上可得． 3．分式，当x等于（　　）时分式的值为零． A．3 B． C．3或 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得，， 故选：B 【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．若分式的值为，则的值为（  ） A． B． C．3或－3 D． 【答案】D 【分析】先根据分式的值为0可得，再利用平方根解方程可得，然后根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】由题意得：， 则，即， 由平方根解方程得：， 分式的分母不能为0， ， 解得， 则的值为3， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、利用平方根解方程，掌握理解分式的值是解题关键． 易错必刷题型02.分式有无意义的条件 典题特征：依据分式有无意义，确定字母取值范围 易错点：①混淆两类判定标准 ②多因式分母遗漏限制条件 5．关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴不符合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 6．当x__________时，分式有意义；当x__________时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义和没有意义，由于分式有意义，则；由于分式没有意义，故． 【详解】解：当时，分式有意义， 所以； 当时，分式没有意义． 所以． 故答案为：；． 7．下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 【答案】A 【分析】本题考查了分式的意义，掌握当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式的性质逐一判断即可． 【详解】A、当时，无意义，符合题意； B、当时，无意义，不符合题意； C、当时，的值不存在，不符合题意； D、当时，的值为正数，不符合题意． 故选：A． 易错必刷题型03.分式值正负时取值范围 典题特征：判定分式正负，求解对应字母范围 易错点：①正负符号判定逻辑错误 ②解题未保留分母非零前提 8．当_____时，分式的值为负数． 【答案】 【分析】先判断分式分母的取值范围，再根据分式值为负数的条件，得到分子的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数． 若分式的值为负数， 则分子小于， 即， 解得． 9．若分式的值为正数，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 10．若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，不等式的解集在数轴上表示，根据分式表示的数是负数，得，转化为不等式问题求解即可． 【详解】根据题意，得， 解得， x的取值范围在数轴上表示如下：      故选：C． 易错必刷题型04.求分式值为整数的未知数 典题特征：求取分式结果为整数时的字母整数值 易错点：①遗漏负约数取值 ②选取数值未排除分母为零情况 11．分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2， ∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 12．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 13．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【答案】B 【分析】逆用同分母分式的加减法法则，把分式进行化简，判断分式的值的取值范围，计算即可，本题考查了同分母分数加减法法则的应用，不等式的基本性质，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】∵ ， ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 易错必刷题型05.分式变形成立的条件 典题特征：判定分式等式变形成立的限制条件 易错点：①忽略同乘整式不可为0 ②随意改动分式整体符号 14．若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 15．若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 易错必刷题型06分式性质判断值变化 典题特征：分子分母同比例缩放，判断分式数值变动 易错点：①误用分式基本性质 ②混淆倍数变化与分式值关系 17．如果把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】将x，y扩大后的数值代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化情况． 【详解】解：∵把分式中的和都扩大到原来的倍后 ∴新的分式为 ∴分式的值扩大到原来的倍． 18．若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式基本性质，将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， ， 故答案为：． 19．已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小； 由且 ，可得，，故，比较各选项与的大小即可． 【详解】解：∵且 ， ∴，， 故， A、∵，， ∴， ∴比小，故此选项不符合题意； B、∵且， ∴， ∴一定比大，故此选项符合题意； C、∵，故此选项不符合题意； D、∵，但可能大于或小于，故与大小不确定， ∴不一定比大； 故选：B． 易错必刷题型07.分子分母最高次项化为正数 典题特征：调整分式，使最高次项系数为正数 易错点：①符号变换规则混乱 ②单侧变号导致分式数值改变 20．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 21．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 22．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 易错必刷题型08.分子分母系数化为整数 典题特征：将含分数、小数系数统一化为整数系数 易错点：①未选取系数最小公倍数 ②漏乘分子或分母单项 23．方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 24．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 25．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 易错必刷题型09.分式约分 典题特征：对分式进行约分化简运算 易错点：①因式分解不完整 ②直接拆分整式项盲目约分 26．下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A ， 分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式； 选项B 无法分解因式，分子和分母没有公因式，不能约分， 是最简分式； 选项C ，分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D ，分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式． 27．约分： （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 28．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【详解】解：∵， ∴括号中应填． 29．约分：． 【答案】 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 易错必刷题型10.分式通分 典题特征：异分母分式统一化为同分母分式 易错点：①最简公分母选取错误 ②分母改动后分子未同步调整 30．下列变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，异分母的加减法，逐项判断即可；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变 【详解】A.当时， ，选项A不正确，不符合题意； B. 选项B不正确，不符合题意； C. ，选项C正确，符合题意； D. 选项D不正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，，异分母的加减法，掌握分式的基本性质是解题的关键． 31．若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的通分，分母变为，乘了，根据分式的基本性质，分子也应乘以． 【详解】解：， 因此分子应变为：， 故答案为：． 32．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 33．通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，通分的定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式的变形叫做分式的通分． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ， ． 易错必刷题型11.分式乘方运算 典题特征：单独对分式整体进行乘方计算 易错点：①指数运算法则记错 ②负数乘方符号判定失误 34．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先约分，再利用分式的乘方法则，结合积的乘方法则化简即可得到结果． 【详解】解：． 35．已知，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，实数的运算，以及分式的混合运算． 利用完全平方公式将化为，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 36．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 易错必刷题型12.分式乘法运算 典题特征：独立进行分式之间乘法计算 易错点：①无序交叉约分 ②多项相乘符号计算出错 37．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 38．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 39．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法，首先把分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子、分母的公因式化为最简分式即可． 【详解】解： ． 易错必刷题型13.分式除法运算 典题特征：独立进行分式之间除法计算 易错点：①未将除法转为乘倒数形式 ②运算中丢失原有因式 40．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合分式除法法则化简原式，再将各选项代入被污染部分，判断结果是否为整式，即可得到答案． 【详解】解：根据分式除法运算法则，原式可化为： A 当时，原式，结果分母含未知数，不是整式，此选项符合题意； B 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； C 当时，原式，是整式，此选项不符合题意；. D 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； ∴ 被墨水覆盖的部分不可能是． 41．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，先将除法运算转换为乘法运算，再因式分解后约分即可求解，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 42．化简下列分式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除法法则进行计算即可； （2）根据分式乘除法法则把除法变换为乘法，进行因式分解后，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型14.含乘方的分式乘除混合运算 典题特征：同一算式包含乘方、乘除多类运算 易错点：①颠倒既定运算顺序 ②多步连续计算符号出错 43．计算________． 【答案】 【分析】先算乘方，再把除法转化为乘法，最后利用分式的乘法法则得结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 44．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 45．计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 易错必刷题型15.同分母分式加减法 典题特征：分母相同，仅开展分子加减运算 易错点：①分母随意变更数值 ②分子加减忽略括号符号 46．化简的结果是___________． 【答案】 【详解】解：． 47．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，需要通分和化简，选项A在计算过程中符号处理错误，导致等式不成立；选项B、C、D通过通分和化简后等式均成立． 【详解】解：A、∵ ，， ∴， 通分得 ， 又 ∵， ∴ ，但右边为，故等式不成立； B、∵ ，， ∴ 左边，与右边相等，故正确； C、∵ 分母相同， ∴，与右边相等，故正确； D、通分后公分母为， ∴，，， 左边 = ，与右边相等，故正确； 故选：A． 48．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型16.异分母分式加减法 典题特征：异分母分式通分后再进行加减运算 易错点：①通分计算出现偏差 ②运算结束未化为最简分式 49．计算：______． 【答案】 【分析】先将异分母分式变形为同分母分式，再根据同分母分式的加减法法则进行计算，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 50．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分化简即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 51．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可； （2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错必刷题型17.整式与分式相加减 典题特征：整式直接与分式开展加减运算 易错点：①未把整式化成分母为1的分式 ②通分过程计算失误 52．计算______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 53．已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入消去b，进行化简即可得到结果． 【详解】解：把代入，得 ， ， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，列代数式．熟练掌握运算法则是解题的关键． 54．计算 （1） （2） （3） 【答案】（1）2；（2）；（3）． 【分析】（1）按同分母分式加法法则计算即可； （2）先通分、再按同分母分式加法法则计算即可； （3）先加括号、然后再通分计算即可． 【详解】解：（1） = = =2； （2） = = = =； （3） = = =． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运用，牢记分式加减运用法则并正确通分成为解答本题的关键． 易错必刷题型18.分式恒等式确定分子分母 典题特征：依据等式恒成立，求解未知整式项 易错点：①等量对应关系判断错误 ②整式变形计算出现偏差 55．已知，则______， ______． 【答案】 【分析】先对等式右侧通分，利用左右两侧分子相等得到关于A、B的方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 56．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 57．已知，求A、B的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的运算及二元一次方程组，熟练掌握通分运算法则是解题的关键； 右边的分式的最简公分母就是左边分式的分母，对右边分式进行化简，通过比较系数可建立方程组，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ． 易错必刷题型19.分式加减乘除混合运算 典题特征：同一算式包含加减、乘除多类分式综合计算 易错点：①违背先乘除后加减运算顺序 ②括号去括号符号处理错误58．若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可． 【详解】解：A．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； B．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； C．，是整式，故本选项符合题意； D．是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：C． 59．若，，则____________． 【答案】0 【分析】本题主要考查分式的性质，根据分式的混合运算法则计算，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 60．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行括号内的加法运算，再进行除法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可求解； 本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错必刷题型20.分式化简求值 典题特征：先化简分式，再代入数值计算结果 易错点：①化简步骤出现错误 ②代入数值使分母等于0 61．若，则的值是______． 【答案】6 【分析】将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可． 【详解】由，得， 两边平方，得， 得， ∴． 62．已知，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握约分法则，整体代入求值，是解题的关键． 将所求分式分解为多个简单分式之和，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 63．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式及整体代入法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用完全平方公式对两边平方，得，再由，将两边同时除以，得，把代入，即可求解． 【详解】解：由， 对等式两边平方，得，即， ， 由题意得， 将两边同时除以，得到，即， ， 解得， 故选：C． 64．先化简，再求值． ，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了分式的计算，掌握分式化简的方法再代入求值是解题的关键． 先根据代数式混合运算的法则将原式化简，再将x的值代入，即可求解． 【详解】解： ， 将代入，得原式． 易错必刷题型21.分式最值 典题特征：求解分式表达式的最大、最小数值 易错点：①忽略分母取值限制 ②变形推导逻辑出现漏洞 65．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 66．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 67．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 易错必刷题型22.解分式方程 典题特征：按照步骤求解常规分式方程 易错点：①去分母漏乘常数项 ②解题完成省略验根步骤 68．把分式方程化为整式方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程两边同时乘以，得：． 69．方程的解是________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求出一元一次方程的解后检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 70．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 易错必刷题型23.由分式方程解的情况求值 典题特征：已知方程解为正数、负数、特定值，反求参数取值范围 易错点：①求解后忽略分母不为0的限制条件 ②不等号方向判定出错 71．若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 72．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母，建立不等式求的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 解得：且． 73．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围，先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解x关于k的表达式，再根据解为正数和分母不为零的条件列不等式求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为， 左边合并：，即， 两边同乘得：， 解得， ∵解为正数， ∴，即， ∴， 又∵分母， ∴，即， ∴， 综上，且， 故选：D． 74．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，求所有满足条件的整数的值之和． 【答案】所有满足条件的整数的值之和是 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组． 先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． 关于的不等式组至少有2个整数解， ，解得． 解分式方程，得． 关于的分式方程的解为非负整数， 为不等于1的非负整数， 可得，为偶数，且， 且，是偶数，则所有满足条件的整数的值之和是． 易错必刷题型24.分式方程无解问题 典题特征：判定分式方程无解时的参数取值 易错点：①只考虑增根情况 ②遗漏整式方程本身无解情形 75．若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程无解， 当分式方程有增根时，，则， 此时， 解得：； 当整式方程无解时，， 解得：， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 76．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 易错必刷题型25.分式方程行程问题 典题特征：利用分式方程解决路程速度时间类应用题 易错点：①行程公式运用错误 ②单位不统一直接列式计算 77．已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程无解求参数． （1）将“▲”替换为后，先统一分式的分母，再通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，最后检验解的合理性即可得到方程的解． （2）先设“▲”为，将原分式方程化为整式方程，分式方程无解包含两种情况，一是整式方程本身无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别分析求解即可得到“▲”的值． 【详解】（1）解：当“▲”时，原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 移项得 合并同类项得 解得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． （2）解：设“▲”表示的数为， 原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 整理得 原分式方程无解 分两种情况讨论 情况一：整式方程无解，此情况不存在． 情况二：整式方程的解是原分式方程的增根，原分式方程的增根满足， 即 将代入 得 解得 所以“▲”表示的数是． 78．一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 【答案】这列火车原来的速度为75千米／时 【分析】此题主要考查了列分式方程解应用题，关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程． 设这列火车原来的速度为每小时x千米，那么提速后的速度为每小时千米，根据等量关系：3小时后，按原速度行驶所用时间－提速后时间，列出方程，求解即可． 【详解】解：设这列火车原来的速度为x千米／时， 根据题意，得． 解得． 经检验知是原方程的解． 所以，这列火车原来的速度为75千米／时． 79．甲、乙两人计划周末到诗城奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时．求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； 【答案】甲乘坐高铁的平均速度为 ，乙乘坐顺风车的平均速度为 【分析】设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时， 则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴（千米/时）， 答：甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时． 80．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到48千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）解：设无人机的速度提高到千米/时，则 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 易错必刷题型26.分式方程工程问题 典题特征：借助分式方程求解工作效率相关问题 易错点：①工作总量设定出错 ②效率加减关系判断颠倒 81．某工厂现在比原计划平均每天多生产机器台，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需的时间相同，问现在平均每天生产机器多少台？ 【答案】台 【分析】结合题意信息，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划每天生产台， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：现在平均每天生产240台机器． 82．用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 【答案】 原计划每天整理60份文件 【分析】设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件，根据实际比原计划提前6天完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件， 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天整理60份文件． 83．江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 易错必刷题型27.分式方程经济问题 典题特征：运用分式方程解决利润单价类实际问题 易错点：①成本利润关系混淆 ②数值计算出现大额偏差 84．某商店第一次用800元购进2B铅笔若干支，第二次又用800元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的，购进数量比第一次少200支． (1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？ (2)第一次购买铅笔________支． 【答案】(1)元 (2)1000 【分析】（1）设第一次每支铅笔的进价是x元，则第二次每支铅笔是元，根据“第二次购买数量比第一次少200支”列出方程，求解并检验即可； （2）根据“数量＝总价÷单价”计算即可． 【详解】（1）解∶设第一次每支铅笔的进价是x元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答∶第一次每支铅笔的进价是元． （2）解∶（支）， 答：第一次购买铅笔1000支． 85．某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车 (2)采购这两种电单车总共需要花费元 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【详解】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． （2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 86．某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 【答案】(1)第一次购书的进价是元一本 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）设第一次购书的单价为元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出的值即可得出答案； （2）根据（1）先求出第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）等于二次赚的钱数列出方程探讨得出答案． 【详解】（1）解：设第一次购书的单价为元一本，根据题意得： ． 解得：． 经检验，是原方程的解， 答：第一次购书的进价是5元一本； （2）解：第二次购书进价为（元）， 数量为（本）， 根据题意，得 整理得， 、为正整数，且， 当，； 当时，； 当时，． 易错必刷题型28,分式方程和差倍分问题 典题特征：依靠分式方程解答数量倍数关系题型 易错点：①倍数大小关系判定相反 ②题意条件理解出现偏差 87．为改善生态环境，防止水土流失．某村计划在荒坡上种树480棵，由于志愿者支援，实际每小时种树的棵数是原计划的倍，结果提前2小时完成任务，原计划每小时种树多少棵？ 【答案】原计划小时种树60棵． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设原计划每小时种树x棵，则实际每小时种树为棵，根据实际比原计划提前2小时完成任务，列方程求解． 【详解】解：设原计划每小时种树x棵，则实际每小时种树为棵， 由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划小时种树60棵． 88．从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续多年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破近20万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 【答案】(1)型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 (2)17台 【分析】（1）根据题意列出分式方程并求解； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， 根据题意列分式方程得，， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意； 当时， ， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； （2） 解：设购进型机器人台，则购进型机器人台， 则有 ， 解得， ∵是整数， ∴； 答：至少购进型机器人17台． 89．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】(1)； (2)50千克 【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； （2）解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01分式易错必刷题型专项训练 本专题汇总分式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.分式值为0的条件 题型02.分式有无意义的条件 题型03.分式值正负时取值范围 题型04.求分式值为整数的未知数 题型05.分式变形成立的条件 题型06分式性质判断值变化 题型07.分子分母最高次项化为正数 题型08.分子分母系数化为整数 题型09.分式约分 题型10.分式通分 题型11.分式乘方运算 题型12.分式乘法运算 题型13.分式除法运算 题型14.含乘方的分式乘除混合运算 题型15.同分母分式加减法 题型16.异分母分式加减法 题型17.整式与分式相加减 题型18.分式恒等式确定分子分母 题型19.分式加减乘除混合运算 题型20.分式化简求值 题型21.分式最值 题型22.解分式方程 题型23.由分式方程解的情况求值 题型24.分式方程无解问题 题型25.分式方程行程问题 题型26.分式方程工程问题 题型27.分式方程经济问题 题型28,分式方程和差倍分问题 易错必刷题型01.分式值为0的条件 典题特征：已知分式值为0，求解字母取值 易错点：①只令分子为0，忽视分母不为0 ②求得结果不代入检验分母 1．若分式的值为0，则的值为________． 2．当_________时，分式的值为0． 3．分式，当x等于（　　）时分式的值为零． A．3 B． C．3或 D．无法确定 4．若分式的值为，则的值为（  ） A． B． C．3或－3 D． 易错必刷题型02.分式有无意义的条件 典题特征：依据分式有无意义，确定字母取值范围 易错点：①混淆两类判定标准 ②多因式分母遗漏限制条件 5．关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 6．当x__________时，分式有意义；当x__________时，分式没有意义． 7．下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 易错必刷题型03.分式值正负时取值范围 典题特征：判定分式正负，求解对应字母范围 易错点：①正负符号判定逻辑错误 ②解题未保留分母非零前提 8．当_____时，分式的值为负数． 9．若分式的值为正数，则的取值范围是_____． 10．若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   易错必刷题型04.求分式值为整数的未知数 典题特征：求取分式结果为整数时的字母整数值 易错点：①遗漏负约数取值 ②选取数值未排除分母为零情况 11．分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 12．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 13．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 易错必刷题型05.分式变形成立的条件 典题特征：判定分式等式变形成立的限制条件 易错点：①忽略同乘整式不可为0 ②随意改动分式整体符号 14．若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 15．若，则的值为__________． 16．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 易错必刷题型06分式性质判断值变化 典题特征：分子分母同比例缩放，判断分式数值变动 易错点：①误用分式基本性质 ②混淆倍数变化与分式值关系 17．如果把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小为原来的 18．若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 19．已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型07.分子分母最高次项化为正数 典题特征：调整分式，使最高次项系数为正数 易错点：①符号变换规则混乱 ②单侧变号导致分式数值改变 20．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 21．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 22．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 易错必刷题型08.分子分母系数化为整数 典题特征：将含分数、小数系数统一化为整数系数 易错点：①未选取系数最小公倍数 ②漏乘分子或分母单项 23．方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 24．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 25．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 易错必刷题型09.分式约分 典题特征：对分式进行约分化简运算 易错点：①因式分解不完整 ②直接拆分整式项盲目约分 26．下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 27．约分： （1）________； （2）________． 28．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 29．约分：． 易错必刷题型10.分式通分 典题特征：异分母分式统一化为同分母分式 易错点：①最简公分母选取错误 ②分母改动后分子未同步调整 30．下列变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 31．若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 32．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 33．通分： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型11.分式乘方运算 典题特征：单独对分式整体进行乘方计算 易错点：①指数运算法则记错 ②负数乘方符号判定失误 34．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 35．已知，则的值是__________． 36．计算： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型12.分式乘法运算 典题特征：独立进行分式之间乘法计算 易错点：①无序交叉约分 ②多项相乘符号计算出错 37．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 38．计算：___________． 39．计算： 易错必刷题型13.分式除法运算 典题特征：独立进行分式之间除法计算 易错点：①未将除法转为乘倒数形式 ②运算中丢失原有因式 40．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 41．计算：______． 42．化简下列分式． (1)； (2)． 易错必刷题型14.含乘方的分式乘除混合运算 典题特征：同一算式包含乘方、乘除多类运算 易错点：①颠倒既定运算顺序 ②多步连续计算符号出错 43．计算________． 44．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 45．计算： 易错必刷题型15.同分母分式加减法 典题特征：分母相同，仅开展分子加减运算 易错点：①分母随意变更数值 ②分子加减忽略括号符号 46．化简的结果是___________． 47．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 48．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型16.异分母分式加减法 典题特征：异分母分式通分后再进行加减运算 易错点：①通分计算出现偏差 ②运算结束未化为最简分式 49．计算：______． 50．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 51．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型17.整式与分式相加减 典题特征：整式直接与分式开展加减运算 易错点：①未把整式化成分母为1的分式 ②通分过程计算失误 52．计算______． 53．已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 54．计算 （1） （2） （3） 易错必刷题型18.分式恒等式确定分子分母 典题特征：依据等式恒成立，求解未知整式项 易错点：①等量对应关系判断错误 ②整式变形计算出现偏差 55．已知，则______， ______． 56．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 57．已知，求A、B的值． 易错必刷题型19.分式加减乘除混合运算 典题特征：同一算式包含加减、乘除多类分式综合计算 易错点：①违背先乘除后加减运算顺序 ②括号去括号符号处理错误58．若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　） A． B． C． D． 59．若，，则____________． 60．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型20.分式化简求值 典题特征：先化简分式，再代入数值计算结果 易错点：①化简步骤出现错误 ②代入数值使分母等于0 61．若，则的值是______． 62．已知，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 63．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．4 64．先化简，再求值． ，其中， 易错必刷题型21.分式最值 典题特征：求解分式表达式的最大、最小数值 易错点：①忽略分母取值限制 ②变形推导逻辑出现漏洞 65．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 66．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 67．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 易错必刷题型22.解分式方程 典题特征：按照步骤求解常规分式方程 易错点：①去分母漏乘常数项 ②解题完成省略验根步骤 68．把分式方程化为整式方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 69．方程的解是________． 70．解方程： (1) (2) 易错必刷题型23.由分式方程解的情况求值 典题特征：已知方程解为正数、负数、特定值，反求参数取值范围 易错点：①求解后忽略分母不为0的限制条件 ②不等号方向判定出错 71．若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 72．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 73．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 74．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，求所有满足条件的整数的值之和． 易错必刷题型24.分式方程无解问题 典题特征：判定分式方程无解时的参数取值 易错点：①只考虑增根情况 ②遗漏整式方程本身无解情形 75．若关于的分式方程无解，则的值为______． 76．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 易错必刷题型25.分式方程行程问题 典题特征：利用分式方程解决路程速度时间类应用题 易错点：①行程公式运用错误 ②单位不统一直接列式计算 77．已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数． 78．一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 79．甲、乙两人计划周末到诗城奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时．求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度； 80．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 易错必刷题型26.分式方程工程问题 典题特征：借助分式方程求解工作效率相关问题 易错点：①工作总量设定出错 ②效率加减关系判断颠倒 81．某工厂现在比原计划平均每天多生产机器台，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需的时间相同，问现在平均每天生产机器多少台？ 82．用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 83．江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 易错必刷题型27.分式方程经济问题 典题特征：运用分式方程解决利润单价类实际问题 易错点：①成本利润关系混淆 ②数值计算出现大额偏差 84．某商店第一次用800元购进2B铅笔若干支，第二次又用800元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的，购进数量比第一次少200支． (1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？ (2)第一次购买铅笔________支． 85．某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 86．某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 易错必刷题型28,分式方程和差倍分问题 典题特征：依靠分式方程解答数量倍数关系题型 易错点：①倍数大小关系判定相反 ②题意条件理解出现偏差 87．为改善生态环境，防止水土流失．某村计划在荒坡上种树480棵，由于志愿者支援，实际每小时种树的棵数是原计划的倍，结果提前2小时完成任务，原计划每小时种树多少棵？ 88．从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续多年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破近20万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购，两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 89．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $