第15章 专题特训二、三 分式方程中的参数问题 列分式方程解生活中的热点问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

经检验，x=70是原分式方程的解且 符合题意】 .大货车的速度为70千米/时 5.A 6.C解析：设该商店第一批购入 x套球服，则第二批购入2x套球服. 由题意，得68,000_32000=10，解得 2x x=200.经检验，x=200是原分式方 程的解，且符合题意..2x十x=2X 200十200=600.∴.该商店购入的两 批球服共600套.设每套球服的售价 为y元.由题意，得 600y-32000-68000 ×100%= 32000+68000 20%,解得y=200.∴，每套球服的售 价是200元. 7.C解析：设乙骑自行车的速度是 xm/min,则甲步行的速度是2xm/ min,甲所乘公交车的速度是2xm/ min.由题意，得600+3000-600 1 2x 2 3000 一2，解得x=300.经检验，x= 300是原分式方程的解，且符合题意 ,.乙骑自行车的速度是300m/min. 8.53000解析：设试销时该品种 草莓的进货价是每千克x元.由题 意，得5000×2=1000 x+0.5,解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解，且 符合题意..500+100=3000（千 5 15+0.5 克)..两次共购进草莓3000千克. 9.设B型号的“文房四宝”的单价是 x元，则A型号的“文房四宝”的单价 是(1十30%)x元. 根据题意，得3000_4300-3000 =20, (1+30%)x 解得x=100. 经检验，x=100是所列方程的解，且 符合题意 .(1十30%)×100=130（元）. .A型号的“文房四宝”的单价是 130元，B型号的“文房四宝”的单价 y天，则乙工程队单独完成这项工程 是100元. 需(y十a)天， 易错警示 由题意，得一2+ y =1,解得 利用分式方程解实际应用题时 y y十a 忽略检验而致错 a2-2a y= 2 解出分式方程后，必须检验求 ,a是偶数，且a>2, 出的值是不是所列分式方程的解， 且是否符合题意。 a2-2a>0. 3 10.(1)设大巴车的速度是xkm/h, 经检验，y=a,2“是原分式方程的 2 则汽车的速度是1.5xkm/h. 解，且符合题意. 由题意，得90 9030,15 1.560十60，解得 .v十a=2e十a=Q 2 x=40. ∴.甲、乙两支工程队单独完成这项工 经检验，x=40是原分式方程的解，且 符合题意 程的天友分别为”之号 .1.5x=1.5×40=60. 专题特训二分式方程中的 ∴.大巴车的速度是40km/h,汽车的 参数问题 速度是60km/h. 1.D (2)设苏老师追上大巴车时，与基地 /2x-1>-x①， 的距离为ykm. 2.(1)记 由题意，得十80-0。，解得 2x≤1②. 60 40 y=30. 解不等式①，得x> 3 ∴苏老师追上大巴车时，与基地的距 解不等式②，得x≤2」 离为30km, 11.B解析：设步行者的速度为1， 心不等式组的解集为3<x≤2。 驾车者的速度为v,A、B两地的距离 (2) 3<x≤2， 为s.由题意，得 2s s2.5s ,解 .x的整数值为1和2. 得v=3.经检验，v=3是原分式方程 x一2≠0,2一x≠0，即x≠2， 的解，且符合题意..v:1=3:1,即 .x=1. 驾车者的速度与步行者的速度之比是 3:1. 把x=1代入方程号三=”一2。 x-2 12.(1)设甲工程队单独完成这项工 得m-2=0,解得m=2. 程需x天，则乙工程队单独完成这项 工程需(x十6)天. 3解分式方程是马得x8 经检验，x=3是该分式方程的解 十中6=1，解得x=12. 由题意，得4十 由题意，将x=3代入 经检验，x=12是原分式方程的解，且 2 符合题意. 71 匹，解得m=7 .这项工程规定工期的天数是12. (2)a-b=2, .m2-2m= (）-2x号=8 491 ∴.b=a-2. 4.D解析：原方程去分母，得x 设甲工程队单独完成这项工程需3(x-2)=一m,整理，得一2x十 6 6=一m,x=3十受“原方程的 解为正数3+受>0且3+受≠2 .m>-6且m≠-2. 5.D解析：方程两边同乘以(x十 1),整理，得(a一1)x=4.当a-1=0 时，整式方程无解，舍去；当a一1≠0， 4 即a≠1时，解得x=。由分式方 程有整数解且x≠一1，得a一1= ±1、±2、4，解得a=2、0、3、-1、5. ∴.满足条件的所有整数a的和是2十 0十3十(-1)+5=9. 6.方程两边同乘以(x一4)，得x 3(x-4)=a,解得x=12-4 2 方程的解不小于2，且x≠4， (12一a≥2， 2 解得a8且a≠4. 12一a≠4， 2 7.方程两边同乘以(x十2)(x一2)， 得(x十2)+2(x-2)=x十2，解得 x=十1. 根据题意，可得m十1>1，且m十1≠ 2,m十1≠-2， ∴.m>0且m≠1. 8.C解析：方程两边同乘以(x一 1),得7x十5(x-1)=2m-1.,原 方程有增根，.x一1=0，解得x=1. 当x=1时，7=2m-1,解得m=4. 9.x=21解析：方程两边同乘以 (x-2),得a=x-1-3(x-2).由分 式方程有增根，得x一2=0，即增根为 x=2.把x=2代入整式方程，得 a=1. 10.(1)把m=3代入原分式方程， 3 方程两边同乘以(x十2)(x一2)， 得3x十2(x十2)=3(x-2), 解得x=-5. 经检验，x=一5是原分式方程的解. .当m=3时，分式方程的解为 x=-5. 13.C解析：方程两边同乘以(1 (2)方程两边同乘以(x十2)(x一2)， x),得mx-x=2(1-x),整理，得 得mx+2(x十2)=3(x-2). (m十1)x=2.原方程无解，.原 整理，得(1-m)x=10. 方程有增根或方程(m十1)x=2无 ,分式方程会产生增根， 解.若分式方程有增根，则x一1=0， .(x十2)(x-2)=0,即x=2或 解得x=1.把x=1代入(m十1)x x=-2. 2,得m十1=2，解得m=1;若方程 把x=2代入整式方程，得(1-m)× (m十1)x=2无解，则m十1=0，解得 2=10,解得m=-4; m=-1.综上所述，m=1或m=-1. 把x=一2代入整式方程，得(1一 14.方程两边同乘以x(x一1)，得 )×(-2)=10,解得m=6. x(x-a)-3(x-1)=x(x-1)十a. 综上所述，m的值为-4或6. 整理，得(a十2)x=3-a. 方法归纳 当a十2=0，即a=一2时，该整式方 分式方程增根问题的求解方法 程无解；当a十2≠0时，x= 3-a 增根问题可按如下步骤进行： a+2 ①化分式方程为整式方程；②让 由题意，得x(x一1)=0，即x=0或 最简公分母为0确定增根；③把增 x=1. 根代入整式方程，即可求得相关字 .3-8=0或3二0=1，解得a=3或 a+2 a+2 母的值 11.(1)这个方程无解 a2 x-2 理由：当m=一1时，方程变为 综上所述a的值为-2或3或行 2=1 专题特训三列分式方程解 x+ 生活中的热点问题 去分母，得x2-x-2十2x=x2十x. 1.20解析：设小王骑电动车上班平 整理，得一2=0，显然不成立. 均每小时行驶x千米，则小王乘公交 .当m=一1时，这个方程无解。 车上班平均每小时行驶(2x十5)千 (2)将m+x-1-3m+1-1化为整 x x+1 米由题意得×号-2舒得 x 式方程，得2(m十1)x=m-1. x=20.经检验，x=20是原分式方程 ,这个分式方程有解， 的解，且符合题意.小王骑电动车 ∴.m十1≠0，即m≠-1. 上班平均每小时行驶20千米. 又，当x=0或x=一1，即m=1或 2.(1)设高铁的平均速度为xkm/h, m=一3时，这个分式方程无解， 则普客的平均速度为3xkm/h. .m的取值范围是m≠士1且 由题意，得690 690 1 m≠一3 1■ =4.6, 32 12.A解析：方程两边同乘以(x十 解得x=300. 2)(x-2),得-x-m十x(x+2)= 经检验，x=300是原分式方程的解， (x十2)(x一2).由分式方程无解，得 且符合题意 x=2或x=-2.把x=2代入整式方 .高铁的平均速度为300km/h. 程，得m=6;把x=-2代入整式方 (2)1050÷300+1.5=5(h), 程，得m=2.综上所述，m的值为6 2 或2. 14-83=53(h). 7 :5c6分 ∴.在高铁准点到达的情况下，他能在 开会之前赶到会议地点 3.28解析：设规定时间是x天，则 甲队单独完成需要(x十32)天，乙队 单独完成需要(x十12)天.由题意，得 20,x十2 x十12t+32=1,解得x=28.经检 验，x=28是原分式方程的解，且符合 题意..规定时间是28天. 4.设A型玩具的进价是x元/个，则 B型玩具的进价是1.5x元/个. 由题意，得1200-1500=20，解得 x 1.5x x=10. 经检验，x=10是原分式方程的解，且 符合题意 .1.5x=15 .A型玩具的进价是10元/个，B型 玩具的进价是15元/个. 15.4零指数幂与负整数 指数幂 第1课时零指数幂 与负整数指数幂 1.A2.D3.A4.x≠1且x≠2 5.(1)原式=4-1十8=11. (2)原式=一4÷1+23+1=-4 8+1=5. 6.(1)原式=a1·a2b6= a b-6=-1 sbi (2)原式= 8mn·m'n=n 8 7.D8.D9.D 10.4解析：由题意可知，x一 0,即x=x=()=4 11.-1 解折：（） .2+2 21-2x。2+2=2-x+3=16=21, .-x十3=4..x=-1. 12.18 13.(1)原式=-8÷1-9× (-2)=-8-(-18)=-8+18=10. (2)原式=-4+9十1-5=1. (3)原式=4X3 18十 14.(1)原式=一 (房）=(÷)y= 50 272y1 ②)原式=9mm·(-高m） 9 64mn5. )原式=xy÷() (号×3)·y=7 4y2 15.10a= 102=3,109= 1 1 10=-5, ÷10*=310=-5 10a+9=10如×1020=(102)3X 10)=(日)'×(-5= 1 27 16.(1)a2十a2=7, .(a2+a-2)2=a1十a-1+2=49. .a1十a1=47. (2)(a十a1)2=9, .(a-a-1)2=(a十a1)2-4=9 4=5. a-a1=±5. 第2课时科学记数法 1.A2.C3.5×105 4.(1)原式=(-5×2)×(103× 10-2)=-10X10-5=-1×101. (2)原式=(3×10)÷[(-2)-8× 1021]=-24×10-25=-2.4×10-4. 8 5.由题意，得该杆状细菌的长约为 2×10-1厘米。 :1000×2×104=2×10-1(厘米)， .它们连成一条线的最大长度约为 2×10-1厘米. 6.B解析：·小数部分多数了两 位，.原数应为4.03×10$×10= 4.03×10. 7.7.7×10-6 8.3.6×10-2÷40÷12=0.036÷ 40÷12=0.000075=7.5×10-5(m), ,,平均每个月小洞的深度增加7.5× 10-im. 9.一根头发的直径约为10×60= 6×10-i(m). 一根头发的横断面的面积约为3.14× /6X102)=2.826×10(m). 2 10万根头发捆起来的横断面的面积 约为2.826×10×105=2.826× 10-1(m2). 第15章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A解析：：当x=1时，分 式无意义，分式的分母可能是x一 1.:当x=-2时，分式为0，.分式 的分子可能是x十2..分式可能 是之2 x-11 [变式]一1解析：：分式 （+1)(x-3)的值为0，.1x-21- x-2-1 1=0,解得x=1或x=3.当x=1 时，分式的分母(x十1)(x一3)≠0，符 合题意.当x=3时，分式的分母(x十 1)(x一3)=0，不符合题意..x=1. .x一2的值为-1. 典例2A解析：若A=3.x十2y,则 1 1 3x+2y 3x2x+2×2y 分式为2x十y’ 11 2(3.x+2y) 3x+y,分式的值不 2(2x+y) 2x+y拔尖特训·数学（华师版）入年级下 专题特训二分式方程中的参数问题，“答案与解析”见6 类型一根据分式方程解的定义求参数的值 类型二根据分式方程解的特征求参数的值 1.已知x=1是关于x的分式方程2ax+3_3 或取值范围 a-x 4 4.(2025·南阳邓州期中)若关于x的分式方程 的解，则a的值为 A.-1 B.1 2二32的解为正数，则实数m的取 C.3 D.-3 值范围是 () 2x-1>-x, A.m>-3 B.m>-3且m≠-2 2.已知不等式组 C.m>-6 D.m>一6且m≠一2 2x≤1. (1)解上述不等式组. 5若关于：的方程0一1=的 (2)若不等式组的解集中有一个整数是关于 解为整数，则满足条件的所有整数a x的方程，一2的解，末m的值 的和是 A.6 B.0 C.1 D.9 6若关于x的方程，产4一3=24的解不小于 2,求a的取值范围. 3巴知关于：的分式方程子-程与是 2x 的解相同，求m2-2m的值. 1 7.若关于：的分式方程，二十子2 2x+2m 的解大于1，求m的取值范围. 16 第15章分式 类型三根据分式方程有增根求参数的值 (2)若这个分式方程有解，求m的取值 8.若关于x的分式方程 7+52m-1 范围 增 根，则m的值为 A.1 B.3 C.4 D.5 一？23有增 9.若关于x的分式方程Q。=x一] 根，则增根为 ,a的值为 2 0.*已知关于x的分式方程2了 x+2 类型五 根据分式方程无解求参数的值 (1)当m=3时，求分式方程的解 12.若关于x的分式方程十” (2)若这个关于x的分式方程会产生增根， x2=1无 求m的值. 解，则m的值为 () A.6或2 B.2 C.6 D.-6或2 日如果关于：的分式方得十一2无 解，那么实数m的值是 () A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 14.已知关于x的分式方程二 -1 -1十”无解求的位 x 类型四根据分式方程有解求参数的取值范围 11.已知关于x的分式方程m+x-1 x 3m+1=1. x+1 (1)当m=一1时，请判断这个方程是否有 解，并说明理由. 17 拔尖特训·数学（华师版）入年级下 专题特训三 列分式方程解生活中的热点问题“答案与解析"”见P7 类型一行程问题 类型二工程问题 1.小王家距上班地点18千米，他乘公交车上班3.某工程队由甲、乙两队组成，承包某市改造工 平均每小时行驶的路程比他骑电动车上班平 程，规定若干天完成.已知甲队单独完成这项 均每小时行驶的路程的2倍还多5千米.他 工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独 从家出发到达上班地点，乘公交车所用的时 完成这项工程所需时间比规定时间多12天. 间是骑电动车所用的时间的。小王骑电动 若甲、乙两队先合作20天，剩下的甲队单独 做，延误2天完成，则规定时间是 天 车上班平均每小时行驶 千米 类型三营销问题 2.新情境·现实生活高速铁路列车（以下简称高 4.张老板计划购买A型玩具和B型玩 铁)是人们出行的重要交通工具，已知高铁的 具进行销售，若用1200元购买A型 平均速度是普通旅客列车（以下简称普客）平 玩具的数量比用1500元购买B型 均速度的3倍.同样行驶690km,高铁比普 玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价 客少用4.6h. 是一个A型玩具进价的1.5倍.A型玩具和 (1)求高铁的平均速度. B型玩具的进价分别是多少？ (2)某天王老师乘坐8：40出发的高铁，到 A市参加当天14：00召开的会议.若高铁全 程行驶1050km,王老师从A市高铁站到会 议地点最多还需要1.5h,则在高铁准点到达 的情况下，他能在开会之前赶到会议地点吗？ 18