专题01 分式及其基本性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题01 分式及其基本性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 判断分式变形是否正确 题型十一 求使分式变形成立的条件 题型十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型十五 最简分式 知识点01 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点02 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点03 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点04 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（23-24八年级下·四川内江·期末）在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）在，，，，中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·河南开封·期中）在代数式中，分式有 个． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）设是实数，不大于的最大整数记作，如，令，则的值为（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 1．（23-24八年级下·重庆江北·阶段练习）一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（    ） ① ②当时， ③若恒成立，则 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·河南新乡·期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，， ，，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 3．（2024·河南周口·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；……； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式 ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南焦作·阶段练习）一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建莆田·期末）对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为，十位数字与百位数字组成的两位数为，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数” （填“是”“否”）；若M为“开数”，记，当能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，运动场两端的半圆形跑道外径为R，内径为r，中间为直跑道，整个跑道总面积为S，试用含S，R，r的式子表示直跑道的长a． 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（23-24八年级下·福建厦门·期末）如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南周口·开学考试）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）若，则 ． 3．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围． 小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解： (1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整； (2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围． 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（2024·河南开封·模拟预测）已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（　　） x的取值 ﹣1 1 c d 分式的值 无意义 1 0 ﹣1 A．a＝1 B．b＝8 C．c＝ D．d＝ 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）下列命题中： ①已知两实数a、b，如果a＞b，那么a2＞b2；②同位角相等，两直线平行；③如果两个角是直角，那么这两个角相等；④如果分式无意义，那么x＝﹣；这些命题及其逆命题都是真命题的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．（23-24八年级下·河南鹤壁·阶段练习）如果分式无意义，那么 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（24-25八年级下·四川遂宁·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）已知，则的值是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）当x 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 ．当x满足 时，分式的值为负数． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）若分式的值为零，求x的值． 莉莉的解法如下： 解：分式的值为零． ，． 请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解法． 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24八年级下·河北保定·期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息： x的取值 ﹣1 1 c d 分式的取值 无意义 0 ﹣1 1 其中选项错误的是（　　） A．a＝1 B．b＝2 C．c＝ D．d＝3 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若，则 ． 3．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24八年级下·福建泉州·期中）若分式的值为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．取任意实数 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列结论：①无论取何值，都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且，其中正确的是（    ）． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0 解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正” 得①，或②， 解不等式组①得，x＞2， 解不等式组②得，x＜﹣3， 所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3． 阅读例题，尝试解决下列问题： （1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0； （2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围． 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（23-24九年级·浙江杭州·期末）若为整数，则能使也为整数的的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数． （1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是 ． （2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是 ． 3．（23-24八年级下·四川乐山·期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是         分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 【经典例题十 判断分式变形是否正确】 【例10】（23-24八年级下·福建南平·期末）下列分式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级·北京石景山·期末）分式变形中的整式A= ，变形的依据是 ． 3．（23-24七年级·全国·课后作业）“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 【经典例题十一 求使分式变形成立的条件】 【例11】（23-24八年级下·北京·课后作业）若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 1．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）当分式与分式的值相等时，需满足 ． 3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【经典例题十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例12】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍 1．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若，的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）已知，则分式的值为 ． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读并理解下面解题过程: 因为a为实数，所以，，所以. 请你解决如下问题: 求分式的取值范围. 【经典例题十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例13】（23-24八年级下·山西·阶段练习）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题十四 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例14】（23-24八年级下·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【经典例题十五 最简分式】 【例15】（24-25八年级下·江西南昌·单元测试）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 3．（23-24七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 1．（23-24八年级下·江西南昌·单元测试）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 6．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）若分式的值等于，则的值为 ． 7．（2024·湖北·模拟预测）若式子有意义，则的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 9．（24-25八年级下·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 10．（2024·四川遂宁·中考真题）在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时， ． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知都是非零实数，且，求证：． 13．（24-25八年级下·北京·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 14．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知．当时，求对称式的值． 15．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式及其基本性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 判断分式变形是否正确 题型十一 求使分式变形成立的条件 题型十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型十五 最简分式 知识点01 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点02 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点03 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点04 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（23-24八年级下·四川内江·期末）在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断即可，分式是形如（B中含字母）的式子． 【详解】解：在，，，，中，是分式的为：，，， 所以共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 1．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）在，，，，中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 【详解】解：，，分母中含字母，是分式； ，分母中不含字母，不是分式； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河南开封·期中）在代数式中，分式有 个． 【答案】1 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：是整式，是分式，是整式，即分式个数为1， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意数字不是字母，判断分母的关键是分母中有字母. 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）设是实数，不大于的最大整数记作，如，令，则的值为（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，数字规律的探究．先找到规律，利用裂项相消法求得，再计算得到，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， 故选：A． 1．（23-24八年级下·重庆江北·阶段练习）一列数，，，……满足，，，……以此类推，且规定：，，，……，其中m为正整数，则以下说法中正确的有（    ） ① ②当时， ③若恒成立，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式的规律性问题； ①根据题意求出，再根据和之间的关系求和即可；②根据题意求出，表示出，然后计算时的值即可；③根据得出，移项得，求出的最值，即可得到m的取值范围． 【详解】解：①由题意得：，，，…， ∴， ∴， ∴，正确； ②由题意得：， ， ，…， ∴， ∴ ， ∴当时，，错误； ③∵，恒成立， ∴恒成立，即， ∵， ∴，正确； 综上，正确的有2个， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河南新乡·期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，， ，，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 【答案】 【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案． 【详解】解：由给出的式子的特点， 即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和， 由此可得第6个式子是． 故答案为． 【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理． 3．（2024·河南周口·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；……； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式 ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，差与被减数互为倒数，被减数的分母比分子小1，由此即可得到第5个等式； （2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式， 第个等式， 第个等式， ∴第个等式为：． 故答案为：． （2）由（1）得，第个等式：， 证明如下： ， 等式左边右边， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有关的规律探索，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答． 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据小丽第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，列出代数式即可． 【详解】解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：（分钟）； 故选B 【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出代数式，是解题的关键． 1．（23-24八年级下·河南焦作·阶段练习）一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】甲、乙两人合作需小时完成，得甲乙一小时完成，甲单独做需小时完成得甲一小时完成，由此即可得乙一小时的工作效率，再用1除以工作效率即可得到答案. 【详解】， 故选D 【点睛】此题考查分式的实际应用，根据题意列分式即可解答此题，注意是甲乙工作效率的和，需减去甲的工作效率才能得到乙的工作效率，由此求得乙单独做完工作所需要的时间. 2．（23-24八年级下·福建莆田·期末）对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为，十位数字与百位数字组成的两位数为，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数” （填“是”“否”）；若M为“开数”，记，当能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 是 8892 【分析】根据“开数”的定义判断1029是否为“开数”； 若M为“开数”，则，由此可得，代入可得，再根据能被7整除分析可得答案． 【详解】解：时，，， ，千位数字与百位数字和为：， 与1互为相反数， 1029是“开数”； 若M为“开数”，则， ， ， 是7的倍数， 若要M最大，则，，， ， M最大值为8892． 故答案为：是，8892． 【点睛】本题考查数字整除问题，运用题设条件进行数值分析是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，运动场两端的半圆形跑道外径为R，内径为r，中间为直跑道，整个跑道总面积为S，试用含S，R，r的式子表示直跑道的长a． 【答案】 【分析】求出跑道圆环的面积即可求出两个直跑道的面积，再利用矩形面积公式即可求出答案． 【详解】解：跑道圆环的面积是， ∴两个直跑道的面积是， ． 【点睛】本题考查了列代数式和矩形、圆的面积的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力． 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（23-24八年级下·福建厦门·期末）如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键．根据当时，该分式总有意义，当时，分式无意义，可以判定n的大小，当时，该分式的值为负数，可以判定，为异号，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，该分式总有意义，当时，分式无意义， ∴， ∵当时，该分式的值为负数， ∴， ∴，异号， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 1．（23-24八年级下·河南周口·开学考试）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 【答案】A 【分析】本题考查了分式的意义，掌握当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式的性质逐一判断即可． 【详解】A、当时，无意义，符合题意； B、当时，无意义，不符合题意； C、当时，的值不存在，不符合题意； D、当时，的值为正数，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）若，则 ． 【答案】1 【分析】由题意知，，，解得，，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， 解得，，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，分式有意义的条件，平方根，有理数的乘方，代数式求值．熟练掌握绝对值的非负性，分式有意义的条件是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围． 小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解： (1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整； (2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围． 【答案】(1)补全过程见解析 (2) 【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式 总有意义，就是分母不为零，即只需要即可，根据求解即可得到结论； （2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式都有意义时m的取值范围． 【详解】（1）解： = = ， 根据无论x取何实数，分式 总有意义， 只要当，即可满足题意， ； （2）解：由（1）可知 ， ， 根据无论x取何实数，分式 总有意义， 只要当，即可满足题意， ． 【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到配方及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（2024·河南开封·模拟预测）已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（　　） x的取值 ﹣1 1 c d 分式的值 无意义 1 0 ﹣1 A．a＝1 B．b＝8 C．c＝ D．d＝ 【答案】D 【分析】将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断 【详解】解：A．根据表格数据可知： 当x＝﹣1时，分式无意义， 即x+a＝0， 所以﹣1+a＝0， 解得a＝1． 所以A选项不符合题意； B．当x＝1时，分式的值为1， 即， 解得b＝8， 所以B选项不符合题意； C．当x＝c时，分式的值为0， 即＝0， 解得c＝， 所以C选项不符合题意； D．当x＝d时，分式的值为﹣1， 即， 解得d＝， 所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】数量掌握分式的定义，基本运算是解题的关键 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）下列命题中： ①已知两实数a、b，如果a＞b，那么a2＞b2；②同位角相等，两直线平行；③如果两个角是直角，那么这两个角相等；④如果分式无意义，那么x＝﹣；这些命题及其逆命题都是真命题的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】分别写出四个命题的逆命题，利用反例对①和它的逆命题进行判断；利用平行线的性质和判定对②和它的逆命题进行判断；利用直角的定义对③和它的逆命题进行判断；利用分式有意义的条件对④和它的逆命题进行判断． 【详解】解：①已知两实数a、b，如果a＞b，那么a2＞b2；若a＝1，b＝﹣2，结论不成立，则命题为假命题，其逆命题为：已知两实数a、b，如果a2＞b2，那么a＞b；若a＝﹣2，b＝1时，结论不成立，所以逆命题为假命题； ②同位角相等，两直线平行；则命题为真命题，其逆命题为：两直线平行，同位角相等，所以逆命题为真命题； ③如果两个角是直角，那么这两个角相等；此命题为真命题，其逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角，所以逆命题为假命题； ④如果分式无意义，那么x＝﹣；此命题为真命题，其逆命题为：如果x＝﹣，那么分式无意义，所以逆命题为真命题； 故选D． 【点睛】此题主要考查命题的判断，解题的关键是熟知实数的性质、平行线的性质、直角的性质及分式的性质. 2．（23-24八年级下·河南鹤壁·阶段练习）如果分式无意义，那么 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件求解即可. 【详解】解：根据题意得：3x-1=0，解得：x= 故答案是：． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，分式无意义则分母等于0． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）分式有意义，且；分式无意义，或；（2）分式有意义，；分式无意义，；（3）为任意实数时，分式有意义；（4）分式有意义，；分式无意义，． 【分析】（1）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （2）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （3）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （4）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可． 【详解】（1）当时，分式有意义，解得且；当时，分式无意义，解得或． （2）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得． （3）为任意实数时，，为任意实数时，分式有意义． （4）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得． 【点睛】本题考查分式有无意义的条件，解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么． 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（24-25八年级下·四川遂宁·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）已知，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求出x，y的值，再代入所求式子后用裂项计算即可． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，，且， ∴，，且， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、绝对值的非负性，解答本题的关键是明确题意，求出x、y的值． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）当x 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 ．当x满足 时，分式的值为负数． 【答案】 1 x<2且x≠-1 【分析】根据分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件即可解答． 【详解】∵分式有意义， ∴， 即； ∵分式的值为0， ∴且， ∴x=1； ∵分式的值为负数， ∴x-2<0且 即x-2<0且x+1≠0， ∴x<2且x≠-1． 故答案为：；1；x<2且x≠-1． 【点睛】本题是基础题，考查了分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件，熟练运用分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件是解决问题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）若分式的值为零，求x的值． 莉莉的解法如下： 解：分式的值为零． ，． 请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解法． 【答案】莉莉的解法不正确，正确的解法见解析． 【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．依此列出算式计算即可求解． 【详解】莉莉的解法不正确，正确的解法如下： 分式的值为零， 且，解得． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24八年级下·河北保定·期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 【答案】C 【分析】根据分式的性质逐项求解即可． 【详解】解：A、当时，，故选项错误，不符合题意； B、当时，即，无解，故选项错误，不符合题意； C、当时， ∴，故选项正确，符合题意； D、A为整数值时，为整数值， ∴为整数值， ∴或或3或 ∴解得或0或4或，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键． 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息： x的取值 ﹣1 1 c d 分式的取值 无意义 0 ﹣1 1 其中选项错误的是（　　） A．a＝1 B．b＝2 C．c＝ D．d＝3 【答案】C 【分析】将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断． 【详解】解：A．根据表格数据可知：当x=-1时，分式无意义，即x+a=0， 所以-1+a=0，解得a=1．所以A选项不符合题意； B．当x=1时，分式的值为0， 即，解得b=2， 所以B选项不符合题意； C．当x=c时，分式的值为-1， 即，解得c=， 所以C选项符合题意； D．当x=d时，分式的值为1， 即，解得d=3， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，求比值，解题的关键是理解题意，根据，得出，求出，设，则，得出，求出，即可求出结果． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24八年级下·福建泉州·期中）若分式的值为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．取任意实数 【答案】A 【分析】由偶次方的性质可知x2≥0，故此x2+5＞0，由分式的值为正数可知＞0，最后解不等式即可． 【详解】，的值为正数 解得 故选A 【点睛】本题考查了分式的值，解答本题的关键在于根据偶次方的性质得到x2+5＞0． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列结论：①无论取何值，都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且，其中正确的是（    ）． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】①根据平方的非负性可知分母永远大于0，故分式有意义； ②把时，代入分母可知分母为中，分式没有意义； ③根据分子分母同号得正，异号得负可解； ④根据分母不为0，除数不为0列出条件可解. 【详解】①无论取何值，，，所以都有意义，故①正确； ②时，分母，分式没有意义，故②错误； ③因为分子，若的值为负，则分母，所以的取值范围是，故③正确； ④若有意义，则，，，所以的取值范围是且且，故④错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了分式有无意义的条件、分式的值为0的条件以及分式的值为正数为负数的条件，其中④很容易漏了这一限制条件，要注意. 2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由分式的值为负数，而分母为正数，则分子，再解不等式即可得解． 【详解】解：∵的值为负数 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了分式的值，从分式的整体先判断，再到局部，解题的关键是得到关于的不等式． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0 解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正” 得①，或②， 解不等式组①得，x＞2， 解不等式组②得，x＜﹣3， 所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3． 阅读例题，尝试解决下列问题： （1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0； （2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围． 【答案】（1）x＞3或x＜﹣3；（2） 【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可； （2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可． 【详解】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解， 根据“两数相乘，同号得正” 得①，或②， 解不等式组①得，x＞3， 解不等式组②得，x＜﹣3， ∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3； （2）由题得不等式， 根据“两数相除，同号得正，异号得负” 得①，或②， 解不等式组①得，， 不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键． 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（23-24九年级·浙江杭州·期末）若为整数，则能使也为整数的的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先把原分式进行变形，分离出一个常数，结合原分式的值为整数，n为整数，即可得到答案． 【详解】∵为整数，也为整数， 又∵=， ∴n-1=±1，±2，即：n=0，2，3，-1． ∴能使也为整数的的个数有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查分式的值和分式的加法运算法则，掌握分式的加法运算法则，把原分式化为一个整数和一个分式的和，是解题的关键． 1．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，即可判断结论①；根据，即可判断结论②；由，易得若为正整数，则有或1或，分别求解即可判断结论③． 【详解】解：根据题意，， ①∵， ∴恒成立，该结论正确； ②∵， 又∵， ∴， ∴的最小值是； 的最小值是，该结论正确； ③∵， ∴若为正整数，则有或1或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， ∴整数值有3个，该结论正确． 综上所述，正确的有①②③，为3个． 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数． （1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是 ． （2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是 ． 【答案】 2 -3 【分析】（1）将分式变形得，则a+3=±1或±5，即可求解； （2）将分式变形得，则x-4=±1或±7，即可求解． 【详解】解：(1)∵， 又∵的值是整数， ∴a+3=±1或±5， ∴a=-2或-4或2或-8， ∴a的正整数值为2； （2）∵， 又∵的值是整数， ∴x-4=±1或±7， ∴x=5或3或11或-3， ∴x的负整数值为-3， 故答案为：（1）2；（2）-3． 【点睛】本题考查使分式值为整数时求未知数值的问题，理解并能应用阅读材料的解题方法将分式化简是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川乐山·期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是         分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1)假 (2)， (3)当x＝2或0时，分式的值为整数 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数， ∴分式是假分式， 故答案为：假； （2）解： ， ； （3）解： ， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1， 解得x=2或x=0， ∴当x＝2或0时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【经典例题十 判断分式变形是否正确】 【例10】（23-24八年级下·福建南平·期末）下列分式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：，分子分母同时除以，故选项A正确，不符合题意； ，分子分母同时乘以，故选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，分子分母同时乘以，故选项D正确，不符合题意； 故选C． 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意； B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意； C、，故C错误，不合题意； D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意． 故选：D 2．（23-24八年级·北京石景山·期末）分式变形中的整式A= ，变形的依据是 ． 【答案】 x2﹣2x, 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【分析】依据x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式变形=中的整式A=x（x-2）=x2-2x． 【详解】∵x2-4=（x+2）（x-2）， ∴分式变形=中的整式A=x(x−2)=x2−2x， 依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 故答案为x2−2x,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质. 3．（23-24七年级·全国·课后作业）“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 【答案】正确. 说明见解析. 【分析】根据公式：，将分子、分母因式分解，再约分即可. 【详解】 ， 故正确. 【点睛】此题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解决此题的关键. 【经典例题十一 求使分式变形成立的条件】 【例11】（23-24八年级下·北京·课后作业）若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 【答案】B 【详解】∵, ∴2k=,∴k=(6x²y-3xy)=xy(2x-1).故选B. 1．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）当分式与分式的值相等时，需满足 ． 【答案】x≠±1 【分析】先化简，可知两式相等的条件是两个分式都有意义据此可求． 【详解】解: 因而两式相等的条件是两个分式都有意义． ∴x2-1≠0， ∴x≠±1． 故答案是: x≠±1． 【点睛】本题主要考查分式的化简，以及分式有意义的条件：分母不等于0． 3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①，；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小；③所有“整数点”的坐标为、、、 【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①根据分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求解；③抓住“当y为整数时，为整数”，即可求解． 【详解】（1）解： 故 （2）解：． （3）解：①由（2）得： ， 故：，． ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小． ③当y为整数时，为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0． ∴所有“整数点”的坐标为、、、． 【点睛】本题以分式为背景，考查了分式的变形：分离常数．进而初步考查了“分式型”函数的相关性质．从题目中提炼信息是解题的关键． 【经典例题十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例12】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍 【答案】A 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：把分式中的和都扩大为原来的倍， ∴， ∴分式的值不变， 故选：． 1．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若，的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，选项C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】∵， ∴x-y=4xy， ∴原式=， 故答案为： ． 【点睛】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读并理解下面解题过程: 因为a为实数，所以，，所以. 请你解决如下问题: 求分式的取值范围. 【答案】 【详解】试题分析：利用配方法可得x2-4x+5≥1，则可得0<≤1，把所求范围的分式适当变形即可求出它的范围. 试题解析：x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1 ，(x-2)2≥0 ， ∴x2-4x+5≥1 ， ∴0< ≤1 ， ∴1<1+ ≤2 ， ∵ ==1+ ， ∴1< ≤2 . 【经典例题十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例13】（23-24八年级下·山西·阶段练习）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键． 1．（23-24八年级下·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 2．（23-24八年级下·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变． 【经典例题十四 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例14】（23-24八年级下·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案． 【详解】解：原式＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键． 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 【经典例题十五 最简分式】 【例15】（24-25八年级下·江西南昌·单元测试）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式是解题的关键． 直接利用最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是最简分数，故此选项符合题意； B．则原式不是最简分式，故此选项不合题意； C. ，则原式不是最简分数，故此选项不合题意； D．，则原式不是最简分数，故此选项不合题意． 故选：A． 1．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式、公因式，解题的关键是掌握最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 3．（23-24七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 1．（23-24八年级下·江西南昌·单元测试）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式是解题的关键． 直接利用最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是最简分数，故此选项符合题意； B．则原式不是最简分式，故此选项不合题意； C. ，则原式不是最简分数，故此选项不合题意； D．，则原式不是最简分数，故此选项不合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·期末）根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答． 【详解】解：当时，分式无意义， 分式的分母可能是． 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是． 分式可能是． 故选：C． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，不等式的解集在数轴上表示，根据分式表示的数是负数，得，转化为不等式问题求解即可． 【详解】根据题意，得， 解得， x的取值范围在数轴上表示如下：      故选：C． 4．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 5．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的符号变化规律，分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变是解此题的关键． 6．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）若分式的值等于，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义和分式的值为的条件可得，据此解答即可求解，掌握分式有意义和分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 7．（2024·湖北·模拟预测）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的意义，掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式的意义，分母不等于，即可求解． 【详解】解：式子有意义， ， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】 2或6 【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或5， ∴或6， 故答案为：2或6； 10．（2024·四川遂宁·中考真题）在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则 如图①当时， 如图②当时， 如图③当时， …… 直接写出，当时， ． 【答案】/0.73 【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，，代入即可． 【详解】解：根据题意可得，当时，， 则当时，， 故答案为：． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知都是非零实数，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式，分式的等式证明，难度不算大，关键是根据题意得出，利用非负性进行解答． 由题意得，然后利用配方及完全平方的非负性即可得出答案． 【详解】证明：由题意得． ∴． ． ． 13．（24-25八年级下·北京·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 14．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知．当时，求对称式的值． 【答案】(1)①③； (2)6． 【分析】本题主要考查了新定义，分式的求值，多项式乘以多项式： （1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，即可做出选择； （2）已知，则可得到；进而得到，再根据进行代值计算即可； 【详解】（1）解：根据“对称式”的意义，得①③是“对称式”，②不是是“对称式”， 故答案为：①③； （2）解：∵， ∴； ∴当时，， ∴。 15．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小； (2)当时，随着的增大，的值无限接近． 【分析】（）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 学科网（北京）股份有限公司 $$