专项06 二次函数的实际应用 6大题型（大题专练）（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以“建模-求最值-验实际”三阶方法体系为核心，系统整合销售利润、面积等六大应用题型，通过典例变式实现知识逻辑与解题能力的双向迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售利润问题|1典例+3变式|顶点式建模、自变量范围判断、利润公式应用|从售价-销量关系抽象二次函数，通过最值点与实际范围结合解决优化问题| |面积问题|1典例+3变式|矩形/梯形面积公式转化、靠墙/分隔场景变量设定|利用几何图形性质建立面积函数，强化图形与函数表达式的转化能力| |拱桥/投球/喷水问题|各1典例+3-4变式|坐标建立、顶点式求解析式、落点验证|通过坐标系将曲线轨迹转化为二次函数，培养空间观念与模型意识| |其他问题|1典例+4变式|跨情境建模（如光伏收益、跳绳轨迹）|拓展二次函数在非传统场景的应用，提升抽象能力与应用意识|

专项06 二次函数的实际应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，二次函数的实际应用题是解答题的必考内容，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：二次函数的实际应用题稳定在中考解答题第四大题（第19题）的位置考查，以销售利润、面积、投球、拱桥、喷水问题等为主，情境越发贴近于生活实际，题干字数较多，不仅考查知识应用能力，还对阅读能力有一定的要求，通常采用2小问或3小问进行命题设问，求二次函数的表达式、与解一元二次方程结合、求二次函数的最值等，难度中等。 2026年预测：解答题极可能继续考察二次函数的实际应用问题，形式稳定。销售利润最大化依然为最高频，但可能增加“折扣”“满减”“不同售价区间对应不同销量”等复杂条件，需要分段讨论后再求最值；其余题型也不可忽视；且可能出现新情境：如与环保低碳（碳排放与成本）、网约车计费、快递运费优化、新能源车充电与续航等生活热点结合。整体题目难度变化不大，模型应用较为固定，计算量在合理范围。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目描述中抽象出问题模型，计算准确，根据题意判断根的合理性，注意最值能取到的范围要求，书写步骤规范。 题型01 销售利润问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁鞍山·一模）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元，市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月销售量减少5个．设每个双肩包涨价x元（x为正整数），每月的销售量为y个． (1)求y与x的函数关系式； (2)物价部门规定该双肩包的售价不得超过成本价的，当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少元？ 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式（如销售利润：y = (售价-进价)×销量），利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·二模）辽宁省作为我国东北地区的农业大省，拥有一大批品质优良、特色鲜明的土特产品，在农村直播电商平台上备受粉丝们的青睐！某电商销售抚顺特产单片黑木耳，进价为每千克60元，根据销售经验，每周销售量(千克)与销售单价(元)之间满足一次函数关系(其中(80)，部分数据如下表： 销售单价x(元) 周销售量y(千克) (1)求出与之间的函数关系式： (2)为保证在运输过程中，商品的质量不受影响，该电商在销售过程中，每千克还要支付2元的包装费，当销售单价为多少元时，该电商每周获得利润最大？最大利润是多少元？ 2．（2025·辽宁鞍山·一模）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料进价是6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（单位：万元）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为，售价y（单位：万元/吨）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为． (1)设销售收入是P（单位：万元），求P关于x的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） (2)求原料的质量是多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出） 3．（2026·辽宁·模拟预测）根据以下信息．按要求完成下列任务． 科技公司新品定价博弈：智能手环的利润密码 项目背景 2025年，星辰科技公司推出了一款革命性健康监测设备——“脉动手环”．这款手环能实时追踪心率、血氧和睡眠质量，定价策略成为市场突围的关键． 项目要求 运用一元二次方程、二次函数等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 公司选择在旗舰店进行为期两周的试销测试，初始售价定为70元／件，进价为50元／件，试销首日数据显示，日销量稳定在200件． 素材2 但市场部发现一个有趣现象，每降价1元，日销量就会激增20件． 素材3 为维护品牌价值，并且避免渠道冲突，公司要求售价不得低于67元且不得高于70元． 张先生召集数据分析团队，提出三个核心任务 任务一 构建利润函数 请你建立日利润y（元）与售价（元／件）的函数关系 任务二 达成盈利目标 公司要求单日利润突破4500元以覆盖研发成本．请问是否能实现这一目标？ 任务三 合规区间内的最优解 在合规区间内，如何定价使日利润最大化？ 题型02 面积问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式，利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·一模）下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 2．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 3．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 题型03 拱桥问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）兴城市海河大桥是一座独塔自锚式悬索桥，它的外轮廓线近似抛物线，为判断大桥主体是否符合设计标准，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动准备 1.去兴城市城建档案室查阅大桥的原设计图纸，记录高度、底部跨度等关键数据：2.准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具． 设计数据 图1为海河大桥的平面示意图，相关信息如下： 1.大桥最高点与桥底的距离为； 2.大桥底部跨度为； 3.设计标准：实际测量高度与理论设计高度之差的绝对值不超过． 实测数据 如图2所示： 点位1：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高（）； 点位2：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高 设计方案 1.根据大桥轮廓建立抛物线模型； 2.计算两点的理论设计高度； 3.对比实际测量高度与理论高度，依据允许误差范围，判断大桥是否符合设计标准． 确定思路 根据大桥的设计数据，确定以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，分析数据可知点和抛物线的顶点坐标． (1)根据设计图纸提供的数据，求抛物线的解析式； (2)结合实际测量数据，请你通过计算，依据允许误差范围，判断大桥的，两处是否符合设计标准． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式（如桥梁抛物线），利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践 问题情境：窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1和图2是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点O离地面，点A离地面． (1)在图3中画出以点O为原点，平行于的直线为x轴、竖直方向为y轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数解析式； (2)问题解决：如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的C，D处安装水平吊顶（吊顶为长方形，长为窑洞的深度），若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）为更安全的悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸： 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1．大门形状为矩形（矩形）；2．底部跨度的长）为13米； 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加12根立柱等分成13份，左起第4根立柱高度为0.9米． 确定思路 小组成员经过讨论，确定点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，求出抛物线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)若相邻某两根立柱的高度差恰好为0.15米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？（栏杆宽度忽略不计）． 3．（2026·辽宁阜新·一模）某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长． 4．（2026·辽宁·模拟预测）综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 题型04 投球问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁抚顺·一模）晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度． 活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与晓然同学投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离．    采集数据 经测量，晓然同学的出手高度米，米，米.经查询篮筐的高度米，且，，在一条直线上，和都垂直于．    确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，分析数据得，两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)求这次投进篮球的最大离地高度； (3)如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米? 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式，利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·二模）足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米．现以球门底部点为原点，水平地面为轴建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球门米，守门员最大防守高度米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正前方移动米再射门，足球恰好从之间射进球门（不含点和），求的取值范围． 2．（2025·辽宁锦州·三模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在x轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准 如表： 得分 掷远（米） 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 3．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）篮球投篮抛物线运动分析综合实践活动表 活动主题 分析篮球投篮的抛物线运动轨迹，判断投篮是否命中篮筐 活动准备 ．查阅抛物线运动相关的数学知识；．准备纸笔用于建立平面直角坐标系并计算、 采集数据 右图为篮球投篮轨迹的平面示意图，信息如下： ．篮球出手点距地面高度为； ．篮球运动到最高点时，距地面高度为，且水平距离出手点； ．篮筐中心距地面高度为． 设计方案 考虑分析投篮轨迹的需要，确定原点，建立平面直角坐标系． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以小明出手点在地面的垂直投影为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系．顶点的坐标为，分析数据得到点的坐标为，进而求出抛物线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求篮球飞行的抛物线解析式（不写自变量取值范围） (2)若篮筐中心与出手点的水平距离是，判断此次投篮能否命中篮筐？ 题型05 喷水问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模） 活动主题 无人机喷洒研究 项目背景 无人机喷洒技术在现代农业中逐渐普及，它能高效精准地为农作物供水、打药、施肥等，减少资源浪费，提升喷洒效率，助力农业现代化发展． 驱动问题 如何优化无人机喷洒方案，实现更高效、更精准的喷洒． 采集数据 如图①，是无人机的示意图，其中点为无人机的控制中心，点，是喷水口，点，，在同一水平直线上，． 图① 建立模型 如图②，以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴相交的点为，． 图② 设计方案 为了提高喷洒效率，如图③，在直线上再增加两个喷水口和，点在点左侧，点在点右侧，且，从点和喷水口喷出的水流的形状均与从喷水口喷出的相同． 图③ 根据以上信息，解决下列问题： (1)求点所在抛物线的函数表达式； (2)如图③，当无人机上升到距地面高度为时，求喷洒覆盖宽的长． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式（如喷泉轨迹），利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁·一模）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 2．（2026·辽宁盘锦·一模）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 3．（2025·辽宁丹东·一模）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．      (1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 题型06 其他问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁大连·二模）春节期间，小明要在家里的落地窗户上悬挂彩带．为此，小明开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在落地窗户上悬挂彩带 活动准备 1．找出家里购买的彩带； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 如图1是小明家的落地窗户，其左右两部分关于立柱所在的直线成轴对称，其右侧底部为矩形，上部为一条抛物线L，测得，，两条抛物线的顶点A，与点D构成等腰直角三角形（，）．家里购买的彩带总长约为．彩带全部挂到窗户上． 设计方案 小明在抛物线L上选取点E，过点E作，交抛物线于点，过点E作，垂足为F，过点作，垂足为，线段，，为所挂彩带．为了更美观，彩带尽可能的悬挂高一些． 确定思路 小明经过思考，如图2，确定以的中点O为坐标原点，线段所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．根据是等腰直角三角形求出点A坐标，根据顶点式求出抛物线L的表达式，利用抛物线的表达式表示出彩带的总长，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线L的表达式； (2)求点E的坐标， 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式，利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意（如数量为整数、时间非负、高度为正）。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁鞍山·二模）为了解某一汽车停车棚与停放汽车车型的匹配度．为此某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 了解某一汽车停车棚与停放汽车车型的匹配度 活动准备 1．调查停车棚及它的侧面示意图； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是汽车停车棚的侧面结构的平面示意图，信息如下： 1．棚顶的横截面是抛物线的一部分； 2．车棚与支柱的交点到地面的距离的长）为； 3．棚顶的最高点（抛物线的顶点）的竖直高度（的长）是，距离支柱的水平距离（的长）是4m，棚顶右端点B距离支柱OQ的水平距离与车位的长都为，即． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，底面所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．设抛物线的表达式为，分析数据得到顶点与点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)若一辆货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由． 2．（2026·辽宁阜新·一模）【活动题目】智慧农田无人机精准施药数学实践活动 活动素材 随着智慧农业的发展，无人机在农作物植保作业中得到广泛应用．某校农业科技实践小组以“无人机精准施药”为主题开展数学建模实践活动：如图所示，某次模拟施药作业中，小组同学以为原点，建立平面直角坐标系，无人机飞行轨迹可看作抛物线的一部分．已知无人机起飞高度为1.2米，在水平距离20米处达到最大高度9.2米，目标施药点距的水平距离为36米． 作业标准 为保证施药效果与农作物安全，本次作业设定标准如下： ①有效施药：无人机飞行高度满足米； ②精准施药：无人机飞行轨迹恰好经过点． 问题解决： (1)求该无人机初次飞行轨迹抛物线解析式； (2)初次飞行至36米处时，无人机能否完成有效施药？请说明理由； (3)为实现精准施药，将无人机向农作物方向平移米，直接写出值． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）为响应十五五规划“乡村振兴”与“绿色能源发展”战略，某村合作社推进集中式屋顶光伏电站建设（呼应“千家万户沐光行动”）．该项目既优化农村能源结构，又为村集体增加稳定收益，其收益与光伏板安装面积密切相关．经调研发现，光伏板安装面积x（单位：百平方米）与年发电量y（单位：千千瓦时）满足一次函数关系，当时，；当时，．已知每千千瓦时发电收入为0.5万元，建设总成本P（单位：万元）与安装面积x之间的函数关系式为（含设备、施工及维护费用）．年收益W（单位：万元）=年发电总收入-总成本＋政策补贴，其中十五五期间每百平方米安装面积补贴2万元． (1)求年收益W关于x的关系式； (2)若该村可利用的屋顶总面积不超过50百平方米，求年收益的最大值及对应的安装面积； (3)在（2）的条件下，若政策调整后，补贴标准变为每百平方米3万元，其他条件不变，此时最大年收益会增加______万元． 4．（2025·辽宁抚顺·二模）多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 二次函数的实际应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，二次函数的实际应用题是解答题的必考内容，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：二次函数的实际应用题稳定在中考解答题第四大题（第19题）的位置考查，以销售利润、面积、投球、拱桥、喷水问题等为主，情境越发贴近于生活实际，题干字数较多，不仅考查知识应用能力，还对阅读能力有一定的要求，通常采用2小问或3小问进行命题设问，求二次函数的表达式、与解一元二次方程结合、求二次函数的最值等，难度中等。 2026年预测：解答题极可能继续考察二次函数的实际应用问题，形式稳定。销售利润最大化依然为最高频，但可能增加“折扣”“满减”“不同售价区间对应不同销量”等复杂条件，需要分段讨论后再求最值；其余题型也不可忽视；且可能出现新情境：如与环保低碳（碳排放与成本）、网约车计费、快递运费优化、新能源车充电与续航等生活热点结合。整体题目难度变化不大，模型应用较为固定，计算量在合理范围。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目描述中抽象出问题模型，计算准确，根据题意判断根的合理性，注意最值能取到的范围要求，书写步骤规范。 题型01 销售利润问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁鞍山·一模）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元，市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月销售量减少5个．设每个双肩包涨价x元（x为正整数），每月的销售量为y个． (1)求y与x的函数关系式； (2)物价部门规定该双肩包的售价不得超过成本价的，当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少元？ 【思路分析】（1）根据每个涨价1元，则每月销售量减少5个列式求解即可； （2）设每月的利润为w元，根据总利润（售价进价）销售量列出w关于x的函数关系式，再根据售价不得超过成本价的求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【规范答题】（1）解：由题意得，； （2）解：设每月的利润为w元， 由题意得， ∵物价部门规定该双肩包的售价不得超过成本价的， ∴， 解得； ， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大为， 此时， 答：当售价定为108元时，商店每月获得利润最大，最大利润是12480元． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式（如销售利润：y = (售价-进价)×销量），利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·二模）辽宁省作为我国东北地区的农业大省，拥有一大批品质优良、特色鲜明的土特产品，在农村直播电商平台上备受粉丝们的青睐！某电商销售抚顺特产单片黑木耳，进价为每千克60元，根据销售经验，每周销售量(千克)与销售单价(元)之间满足一次函数关系(其中(80)，部分数据如下表： 销售单价x(元) 周销售量y(千克) (1)求出与之间的函数关系式： (2)为保证在运输过程中，商品的质量不受影响，该电商在销售过程中，每千克还要支付2元的包装费，当销售单价为多少元时，该电商每周获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为元时，每周获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设一次函数为，选取表中两组数据，和，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设总利润为元，根据题意列出列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数为，选取表中两组数据，和，代入， 得 解得 与之间的函数关系式为≤80)； （2）设总利润为元， ， 整理，得， ∵，， 当时，取得最大值，最大值为， 当销售单价为元时，每周获利最大，最大利润为元． 2．（2025·辽宁鞍山·一模）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料进价是6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（单位：万元）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为，售价y（单位：万元/吨）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为． (1)设销售收入是P（单位：万元），求P关于x的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） (2)求原料的质量是多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出） 【答案】(1) (2)原料的质量是24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，正确列出利润的函数关系式，并利用二次函数的性质求最值是解决本题的关键． ()根据销售收入销售价销售量列出函数关系式； ()设销售总利润为，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】（1）解：根据题意，得． ∴关于的函数解析式为． （2）设销售利润是万元． ∴ ． ∵， ∴当时， ． 答：原料的质量是吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 3．（2026·辽宁·模拟预测）根据以下信息．按要求完成下列任务． 科技公司新品定价博弈：智能手环的利润密码 项目背景 2025年，星辰科技公司推出了一款革命性健康监测设备——“脉动手环”．这款手环能实时追踪心率、血氧和睡眠质量，定价策略成为市场突围的关键． 项目要求 运用一元二次方程、二次函数等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 公司选择在旗舰店进行为期两周的试销测试，初始售价定为70元／件，进价为50元／件，试销首日数据显示，日销量稳定在200件． 素材2 但市场部发现一个有趣现象，每降价1元，日销量就会激增20件． 素材3 为维护品牌价值，并且避免渠道冲突，公司要求售价不得低于67元且不得高于70元． 张先生召集数据分析团队，提出三个核心任务 任务一 构建利润函数 请你建立日利润y（元）与售价（元／件）的函数关系 任务二 达成盈利目标 公司要求单日利润突破4500元以覆盖研发成本．请问是否能实现这一目标？ 任务三 合规区间内的最优解 在合规区间内，如何定价使日利润最大化？ 【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元． 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程和函数模型求解． 任务一：利用日利润每件利润日销售量建立函数关系式即可； 任务二：由题意得，再解不等式即可； 任务三：根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务一：由题意：， 整理，得：； 任务二：不能，理由如下： 由题意得，当， 整理得，， ∵， ∴， ∴该不等式无解，即不存在任何实数，使得利润大于元， 答：每日盈利达不到4500元，故不能实现这一目标；    任务三： ∵ ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为：； 答：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元． 题型02 面积问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 【思路分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）由题意得，长方形的宽为：，根据长方形的面积公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【规范答题】（1）解：由题意得，长方形的宽为：， 则； （2）解：由（1）得，； ∵，故函数有最大值， 当时，函数的最大值为：， 即当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是； （3）解：能． 设长方形的长为，则宽为， 则， ， 故函数有最大值， 当时，函数的最大值为， 即小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式，利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·一模）下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 【答案】(1) (2)栅栏与墙平行的边的长度为21米 【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙垂直的边，再结合面积公式列函数表达； （2）根据（1）中的函数表达式，令，求出对应的的值，再根据墙的长度是，则，取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设栅栏与墙平行的边的长度为，则与墙垂直的边的长度为， ． （2）解：令， ，解得，， ∵墙的长度是， ． ． 答：栅栏与墙平行的边的长度为21米． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据线段的和差关系求出，过A作于H，证明四边形是矩形，得出，，求出，根据等角对等边得出，再根据线段的和差关系求出，最后根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵新建墙总长15m，的长为， ∴的长为， 过A作于H， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知： ∵ 抛物线开口向下 抛物线的对称轴为 ∴ 当时，储料场的面积最大． 3．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)自行车车棚的长为，宽为 (3)自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． （3）解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 题型03 拱桥问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）兴城市海河大桥是一座独塔自锚式悬索桥，它的外轮廓线近似抛物线，为判断大桥主体是否符合设计标准，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动准备 1.去兴城市城建档案室查阅大桥的原设计图纸，记录高度、底部跨度等关键数据：2.准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具． 设计数据 图1为海河大桥的平面示意图，相关信息如下： 1.大桥最高点与桥底的距离为； 2.大桥底部跨度为； 3.设计标准：实际测量高度与理论设计高度之差的绝对值不超过． 实测数据 如图2所示： 点位1：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高（）； 点位2：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高 设计方案 1.根据大桥轮廓建立抛物线模型； 2.计算两点的理论设计高度； 3.对比实际测量高度与理论高度，依据允许误差范围，判断大桥是否符合设计标准． 确定思路 根据大桥的设计数据，确定以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，分析数据可知点和抛物线的顶点坐标． (1)根据设计图纸提供的数据，求抛物线的解析式； (2)结合实际测量数据，请你通过计算，依据允许误差范围，判断大桥的，两处是否符合设计标准． 【思路分析】（1）由顶点可得，把代入求出a值即可； （2）分别把D、F的横坐标代入解析式求出纵坐标，求出与拱高的测量值差值的绝对值，是否超过，即可判断是否符合设计标准． 【规范答题】（1）解：设抛物线的解析式为， 大桥最高点与桥底的距离为， ∴抛物线的顶点， ， 大桥底部跨度为， ∴抛物线经过点， ， 解得：， ； （2）解：由题可知：点的横坐标为， 把代入抛物线，得：， ， 由题可知：点的横坐标为， 把代入抛物线得：， ， 答：大桥的两点均符合设计标准． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式（如桥梁抛物线），利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践 问题情境：窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1和图2是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点O离地面，点A离地面． (1)在图3中画出以点O为原点，平行于的直线为x轴、竖直方向为y轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数解析式； (2)问题解决：如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的C，D处安装水平吊顶（吊顶为长方形，长为窑洞的深度），若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，，得到，即可求出答案； 【详解】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系， 窑洞顶部最高点O离地面3.75m，点A离地面2.25m， ， 点A，B的纵坐标为， ， 点A的坐标为，点B的坐标为， 点O为抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ； （2）如图， 离地面3m， ， 点C，D的纵坐标为， 点C，D在抛物线上， 将代入， 得， 解得，， ，， ， ． 答：吊顶所需材料的面积约为． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）为更安全的悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸： 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1．大门形状为矩形（矩形）；2．底部跨度的长）为13米； 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加12根立柱等分成13份，左起第4根立柱高度为0.9米． 确定思路 小组成员经过讨论，确定点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，求出抛物线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)若相邻某两根立柱的高度差恰好为0.15米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？（栏杆宽度忽略不计）． 【答案】(1) (2)相邻的两根栏杆分别是左起第3根与第4根或第9根与第10根 【分析】（1）由题意得，，，然后利用待定系数法解答即可； （2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根，然后代入抛物线表达式，表示出第根和第根的高度，根据高度差得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，，在上， ， 解得， 抛物线为； （2）解：由题意，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根， 则第根的高度为，第根的为， ， 解得或， 第3根与第4根，第9根与第10根的高度差为0.15米， 答：相邻的两根栏杆分别是左起第3根与第4根或第9根与第10根． 3．（2026·辽宁阜新·一模）某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可知，，得到对称轴为直线，根据抛物线的最高点与地面的距离为3米可设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可； （2）根据抛物线和抛物线关于所在直线对称求出抛物线的函数表达式为，延长交抛物线于，求出，进而求出，进而可求的长． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的最高点与地面的距离为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，的顶点坐标为， ∵抛物线和抛物线关于所在直线对称， ∴抛物线开口大小、方向不变，顶点坐标变为， 则抛物线的函数表达式为， 如图，延长交抛物线于， ， ∵点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米， ∴， 此时， 解得：，（舍去）， ∵与之间的距离为2米， ∴． 4．（2026·辽宁·模拟预测）综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2）的长度为6m （3）灯架的长为m 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、相似三角形的实际应用，通过实际问题找到二次函数上的点是解题的关键． （1）首先根据最高点距离地面得到k的值，再将代入解析式即可求得抛物线的函数解析式； （2）首先设为x步的距离，根据已知线段的长度表示出，，利用相似三角形求解x的值，进而可以计算出的长度； （3）首先根据指示灯需距离地面，计算出此高度下x的坐标再结合判断灯架是否存在此范围内，进而根据点的坐标求解点的坐标，进而即可求解灯架的长． 【详解】（1）解：∵的最高点距离地面， ∴， ∵将代入中，得，解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设为x步的距离，则，， ∵标杆垂直于地面， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴，解得：， 将代入，解得：， ∴的长度为6m； （3）解：∵指示灯需距离地面， ∴，，，在直线上， 将代入，解得：， ∵，∴， ∵，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴满足题意，存在灯架， 将代入，解得：， ∴， ∴灯架的长为m． 题型04 投球问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁抚顺·一模）晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度． 活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与晓然同学投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离．    采集数据 经测量，晓然同学的出手高度米，米，米.经查询篮筐的高度米，且，，在一条直线上，和都垂直于．    确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，分析数据得，两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)求这次投进篮球的最大离地高度； (3)如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米? 【思路分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）根据顶点是最高点进行解答即可； （3）令，求出的值即可． 【规范答题】（1）解：根据题意得：，, 又抛物线经过点、点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线顶点为最高点， ∴最大离地高度为米； （3）解：当时，（米）， 所以，最低封盖高度为米． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式，利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·二模）足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米．现以球门底部点为原点，水平地面为轴建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球门米，守门员最大防守高度米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正前方移动米再射门，足球恰好从之间射进球门（不含点和），求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)的取值范围为 【分析】（1）根据题意，先得出对应的顶点坐标和点坐标，由顶点式即可得出结果； （2）先得出移动后的函数表达式，由点，坐标即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可判断，抛物线顶点坐标为，， 令抛物线的函数表达式为， 将点代入 ， 得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：令移动米后得抛物线表达式为， 若恰达到点，即时，， 解得或（舍去）； 若恰达到点，即时，， 解得或（舍去）； 综上，的取值范围为． 2．（2025·辽宁锦州·三模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在x轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准 如表： 得分 掷远（米） 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)小强在这次训练中的成绩为米，小强的得分是分 (3)有危险，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法求解析式是关键． （1）依据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）依据题意，令时，求出点的坐标，进行比较即可求解； （3）依据题意，当 时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解:由题意可得，抛物线的顶点的坐标为 设该抛物线的解析式为 抛物线经过点 解得， 该抛物线的解析式为 （2）解:当时， 解得 点在轴的正半轴 舍去 ，即小强在这次训练中的成绩为米 ∴小强的得分是90分 （3）解:有危险;理由如下: 把代入得 ∵ ∴该小朋友有危险. 3．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）篮球投篮抛物线运动分析综合实践活动表 活动主题 分析篮球投篮的抛物线运动轨迹，判断投篮是否命中篮筐 活动准备 ．查阅抛物线运动相关的数学知识；．准备纸笔用于建立平面直角坐标系并计算、 采集数据 右图为篮球投篮轨迹的平面示意图，信息如下： ．篮球出手点距地面高度为； ．篮球运动到最高点时，距地面高度为，且水平距离出手点； ．篮筐中心距地面高度为． 设计方案 考虑分析投篮轨迹的需要，确定原点，建立平面直角坐标系． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以小明出手点在地面的垂直投影为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系．顶点的坐标为，分析数据得到点的坐标为，进而求出抛物线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求篮球飞行的抛物线解析式（不写自变量取值范围） (2)若篮筐中心与出手点的水平距离是，判断此次投篮能否命中篮筐？ 【答案】(1) (2)不能 【分析】（）设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）把代入抛物线的解析式求出的值，与篮筐中心距地面高度比较即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴篮球飞行的抛物线解析式为； （2）解：把代入，得， ∵， ∴此次投篮不能命中篮筐． 题型05 喷水问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模） 活动主题 无人机喷洒研究 项目背景 无人机喷洒技术在现代农业中逐渐普及，它能高效精准地为农作物供水、打药、施肥等，减少资源浪费，提升喷洒效率，助力农业现代化发展． 驱动问题 如何优化无人机喷洒方案，实现更高效、更精准的喷洒． 采集数据 如图①，是无人机的示意图，其中点为无人机的控制中心，点，是喷水口，点，，在同一水平直线上，． 图① 建立模型 如图②，以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴相交的点为，． 图② 设计方案 为了提高喷洒效率，如图③，在直线上再增加两个喷水口和，点在点左侧，点在点右侧，且，从点和喷水口喷出的水流的形状均与从喷水口喷出的相同． 图③ 根据以上信息，解决下列问题： (1)求点所在抛物线的函数表达式； (2)如图③，当无人机上升到距地面高度为时，求喷洒覆盖宽的长． 【思路分析】（1）由题意得，，利用待定系数法即可求得点所在抛物线的函数表达式． （2）由题意得，故，，过点的抛物线和过点的抛物线关于轴对称，过点抛物线表达式为，即点和点关于轴对称，当时，．求解后即可求得的长． 【规范答题】（1）解：由题意得，， ，， 设点所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 点所在抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意得， ，， 过点的抛物线和过点的抛物线关于轴对称， 过点抛物线表达式为， 点和点关于轴对称， 当无人机上升到距地面高度为时，点和点的纵坐标是． 当时，． 解得，． 点的横坐标是，点的横坐标是， ， 喷洒覆盖宽的长为． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式（如喷泉轨迹），利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁·一模）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将代入，再令，求出点与点得坐标，从而求出得值； ②容易判断抛物线经过原点，故设，将点代入，得，则．联立两个抛物线可得，根据题意，只有一个交点，则，解得，从而得出抛物线的解析式； （2）根据抛物线顶点坐标，过点求出解析式为，联立两条抛物线可得，由，解得，从而得出“包络线”的解析式． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； ②由图可知，抛物线经过原点，故设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 解得， ∴“包络线”的解析式为． 2．（2026·辽宁盘锦·一模）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会喷射到护栏上，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 （2）水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 3．（2025·辽宁丹东·一模）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．      (1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据函数顶点坐标且过，可设抛物线解析式为，再待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，即可求解； （3）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解． 【详解】（1）依题意顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； 故答案为：； （2）不能，理由如下， 依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到 ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，解得：， 即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过 ∴水流不能到达点处， （3）依题意，消防员从点前进到点（水流从点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到 ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式 ， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴 ∴ 将点代入得， 解得或， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型06 其他问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁大连·二模）春节期间，小明要在家里的落地窗户上悬挂彩带．为此，小明开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在落地窗户上悬挂彩带 活动准备 1．找出家里购买的彩带； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 如图1是小明家的落地窗户，其左右两部分关于立柱所在的直线成轴对称，其右侧底部为矩形，上部为一条抛物线L，测得，，两条抛物线的顶点A，与点D构成等腰直角三角形（，）．家里购买的彩带总长约为．彩带全部挂到窗户上． 设计方案 小明在抛物线L上选取点E，过点E作，交抛物线于点，过点E作，垂足为F，过点作，垂足为，线段，，为所挂彩带．为了更美观，彩带尽可能的悬挂高一些． 确定思路 小明经过思考，如图2，确定以的中点O为坐标原点，线段所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．根据是等腰直角三角形求出点A坐标，根据顶点式求出抛物线L的表达式，利用抛物线的表达式表示出彩带的总长，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线L的表达式； (2)求点E的坐标， 【思路分析】（1）依题意建立平面直角坐标系，得出关键点、对称轴；利用等腰直角三角形性质，求出抛物线顶点A坐标；设抛物线顶点式，代入已知点D坐标，求a；写出抛物线解析式． （2）设点E横坐标为x，结合轴对称表示、、、长度；根据彩带总长列一元二次方程； 解方程得两个x值；依据悬挂更高，结合抛物线对称轴取舍x；代入解析式，求出纵坐标，确定E坐标． 【规范答题】（1）解：由题意可得： 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． ∵ ． ∵，窗户左右对称， 抛物线的对称轴为直线． 为等腰直角三角形，，， 顶点横坐标为， 竖直方向：， 即． 设抛物线解析式为： 将代入得： 解得： 抛物线的表达式为： 化为一般式：； （2）解：设点 由轴对称得：． ， ． 由彩带总长为，得： 化简得： 整理得： 解得：． 要求彩带悬挂尽可能高，抛物线开口向下， 横坐标越靠近对称轴，位置越高， 取． 将代入解析式： 点坐标为． 研考点·通技法 1. 建模求解析式：根据题意设函数形式，利用待定系数法或顶点式y=a(x-h)2+k求解。 2. 最值是否在顶点处：实际问题多在顶点处取得最大（小）值，先求顶点横坐标x = -，再判断是否在自变量范围内；若不在，则考虑端点值。 3. 检验实际意义：确保解符合题意（如数量为整数、时间非负、高度为正）。涉及“落地”即令y=0求x，注意舍去负数解；判断是否“过某点”直接代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁鞍山·二模）为了解某一汽车停车棚与停放汽车车型的匹配度．为此某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 了解某一汽车停车棚与停放汽车车型的匹配度 活动准备 1．调查停车棚及它的侧面示意图； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是汽车停车棚的侧面结构的平面示意图，信息如下： 1．棚顶的横截面是抛物线的一部分； 2．车棚与支柱的交点到地面的距离的长）为； 3．棚顶的最高点（抛物线的顶点）的竖直高度（的长）是，距离支柱的水平距离（的长）是4m，棚顶右端点B距离支柱OQ的水平距离与车位的长都为，即． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，底面所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．设抛物线的表达式为，分析数据得到顶点与点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)若一辆货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）先根据题意确定抛物线的顶点坐标与抛物线上一点的坐标，再利用顶点式代入求解，即可得到抛物线表达式； （2）货车截面为长5m的矩形，需确定矩形最右侧顶点的横坐标，代入抛物线解析式求出对应高度，对比货车高度1.95m加安全余量0.2m，判断是否满足安全要求． 【详解】（1）解：由题意可知：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线表达式为， 将代入解析式： ， ， ， ， 抛物线的表达式为． （2）解：已知，货车长5m， 则矩形最右侧顶点的横坐标为：， 将代入抛物线解析式： ， 货车安全允许的最大高度：， ， 该货车能完全停到车棚内． 2．（2026·辽宁阜新·一模）【活动题目】智慧农田无人机精准施药数学实践活动 活动素材 随着智慧农业的发展，无人机在农作物植保作业中得到广泛应用．某校农业科技实践小组以“无人机精准施药”为主题开展数学建模实践活动：如图所示，某次模拟施药作业中，小组同学以为原点，建立平面直角坐标系，无人机飞行轨迹可看作抛物线的一部分．已知无人机起飞高度为1.2米，在水平距离20米处达到最大高度9.2米，目标施药点距的水平距离为36米． 作业标准 为保证施药效果与农作物安全，本次作业设定标准如下： ①有效施药：无人机飞行高度满足米； ②精准施药：无人机飞行轨迹恰好经过点． 问题解决： (1)求该无人机初次飞行轨迹抛物线解析式； (2)初次飞行至36米处时，无人机能否完成有效施药？请说明理由； (3)为实现精准施药，将无人机向农作物方向平移米，直接写出值． 【答案】(1) (2)能完成有效施药，见解析 (3) 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，再与比较即可； （3）设出平移后的函数表达式，再代入点即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点为 设解析式为： 把代入解析式， 解得 ； （2）解：能完成有效施药，理由如下： 当时，（米） 能完成有效施药． （3）解：水平向前平移米后， 设 把代入解析式， 解得，（舍）   值为． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）为响应十五五规划“乡村振兴”与“绿色能源发展”战略，某村合作社推进集中式屋顶光伏电站建设（呼应“千家万户沐光行动”）．该项目既优化农村能源结构，又为村集体增加稳定收益，其收益与光伏板安装面积密切相关．经调研发现，光伏板安装面积x（单位：百平方米）与年发电量y（单位：千千瓦时）满足一次函数关系，当时，；当时，．已知每千千瓦时发电收入为0.5万元，建设总成本P（单位：万元）与安装面积x之间的函数关系式为（含设备、施工及维护费用）．年收益W（单位：万元）=年发电总收入-总成本＋政策补贴，其中十五五期间每百平方米安装面积补贴2万元． (1)求年收益W关于x的关系式； (2)若该村可利用的屋顶总面积不超过50百平方米，求年收益的最大值及对应的安装面积； (3)在（2）的条件下，若政策调整后，补贴标准变为每百平方米3万元，其他条件不变，此时最大年收益会增加______万元． 【答案】(1) (2)当安装面积为50百平方米时，年收益最大，最大值为2100万元 (3)50 【分析】（1）设，利用待定系数法得到，进而得到年收益W关于x的关系式； （2）利用二次函数的性质求最值即可； （3）利用二次函数的性质，分别求出两种情况下收益的最大值，再作差即可． 【详解】（1）解：y与x满足一次函数关系，设． 由题意，得，解得 ∴， ∴年发电总收入为万元，政策补贴为万元， （2）对于 ，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 所以，当时，W随x的增大而增大． ∵， ∴当时，W取最大值，W 答：当安装面积为50百平方米时，年收益最大，最大值为2100万元． （3）设补贴调整后的年收益为万元． 根据题意，得 ，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大． ∵， ∴当时，取最大值，， ∴， ∴此时最大年收益会增加万元． 4．（2025·辽宁抚顺·二模）多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 【答案】(1) (2)该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得：F的横坐标为4，从而G的纵坐标即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点E为，， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线为． （2）解：如图：过F作轴交抛物线与G， 由题意可知，F的横坐标为，则断G的横坐标为4， ∴点G的纵坐标为 ∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $