专项07 二次函数综合压轴（一） 6大题型（大题专练）（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项07 二次函数综合压轴（一） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，二次函数综合是解答题最后一个压轴题的必考题型，分值约13分左右． 命题趋势：解答题：二次函数综合稳定在倒数第一个压轴题的位置进行考察，考察方向较多，题型变化多样，包括但不限于传统的二次函数代几综合问题，如线段周长关系或最值问题面积关系或最值问题、三角形存在性问题、四边形存在性问题、角度关系问题、相似三角形问题等，也包括近2年新中考后出现的新考向，如二次函数中结合新定义问题、根据公共点个数求参数、根据最值情况求参数、函数图象平移与翻折问题等。整体难度较大，考查综合能力的运用，计算量也较大。 2026年预测：解答题会继续在倒数第一题的位置单独命题二次函数综合题，形式稳定。新定义型问题热度只增不减，平移与翻折结合仍是考查重点，最值求参问题也可能继续出题；线段与面积相关问题作为传统考向不容忽视，三角形与四边形存在性问题、相似三角形问题、角度问题等可能会融合到新情境中结合考查。整体综合性更高，对计算准确率要求更高，分类讨论情况要准确。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目描述中抽象出问题模型，对新定义理解正确，对图形是否为多种情况进行细致分类把控，计算准确，注意对应情况解的合理性，书写步骤规范。 题型01 二次函数的新定义问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁大连·二模）定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）． (1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由； (2)求二次函数的解析式； (3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m． ①求证：点Q是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． (4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围． 【思路分析】（1）求出二次函数的顶点A的坐标，再判断点A是否在直线上，即可求解； （2）求出点B的坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）①用m表示出点M，N，Q的坐标，可得到的长，即可解答；②用m表示出的长度，再结合二次函数的性质解答即可； （4）根据题意可得当时，二次函数的最大值为12，可得到当时，函数的最大值为22，从而得到，即可求解． 【规范答题】（1）解：二次函数是“双正二次函数”，理由如下： ∵， ∴点A的坐标为， 对于，当时，， ∴点A在直线上，即二次函数是“双正二次函数”； （2）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为点， ∵二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A， ∴，解得：或（舍去）， ∴二次函数的解析式为； （3）解：①∵点M的横坐标为m， ∴点， ∵轴， ∴点，， ∴，， ∴，即点Q是线段的中点； ② 当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小， ∵当时，，当时，，当时，， ∴当时，线段的最大值为5； （4）解：如图， 由（2）得二次函数的图象的顶点坐标为， 即当时，二次函数的最大值为12， 对于，当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，函数的最大值为22， ∵函数的最大值为， ∴，即， ∴此时函数的最小值为， 对于，当时， ，解得：， ∴，即， ∴n的取值范围为． 研考点·通技法 1. 解读新定义，翻译条件：圈出新定义中的关键词（如“关联点”“k倍函数”），将其转化为数学表达式（如坐标关系、函数形式）。用具体数值代入帮助理解，避免被抽象符号干扰。 2. 用待定系数法求出函数解析式，再按常规二次函数问题处理。 3. 联立方程找交点或范围：按定义将二次函数与一次函数、反比例函数等联立，利用判别式、根与系数关系或不等式组求解参数。注意定义中隐含的限制（如“异于原点”）。 4. 数形结合验证解：画出大致图像，验证解是否满足定义中的几何条件（如“始终在下方”即无交点且大小恒定）。新定义下的存在性问题常需分类讨论，最后检验端点值是否符合定义。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁盘锦·二模）已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“级函数”，点和点分别在函数和的图象上，此时称点为点关于的“级点”．例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”，点为点关于的“2级点”． (1)如图，点在反比例函数的图像上，当点为点关于的“级点”时，求点的坐标； (2)函数是函数的“级函数”，并且经过点． ①求的值； ②若点在函数的图像上，点为点关于的“级点”，当点在点上方时且，请直接写出点的坐标_________； (3)函数为函数的“级函数”，点在函数的图象上，点为点关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求的值； ②记函数为函数、中的较大值，若，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)①的值为或；②的值为或或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，反比例函数，一次函数的性质，熟练利用分类讨论，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将，代入，求得点，进而根据“级点”的定义，即可解答； （2）①根据题意可得，根据经过点，待定系数法即可求解． ②表示出点的纵坐标，按照题意列不等式和方程即可解答； （3）①根据点为点C关于的“级点”求得点的坐标，即可求得的解析式，分类讨论，按照题意求解即可； ②根据函数为函数、中的较大值，得出，联立，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， ∵点为点关于的“级点” ∴点的纵坐标为， ； （2）解：①∵函数是函数的“级函数”， ∴， ∵经过点． ∴ 解得： ②∵点在上，，点为点关于的“级点”， 设，则， ∵当点在点上方时，则 解得： ∵， ∴， 解得或（舍去） ∴ ∴ 故答案为： （3）解：①∵函数为函数的“级函数”， ， ∵点为点C关于的“级点”， 设点的纵坐标为， ， 解得， ， ∵点C在函数的图象上， ， ∴， ， ∴当时，， 当时，， 对称轴为直线， 当时，， 当，即在对称轴左侧时， 则当时，取最小值， 即， 解得（舍去）， ； 当，即在对称轴右侧时， 则当时，取最小值， 即，解得， ， ，即，成立， 综上，的值为或； ②：由①可得， 当时，， 解得： ∴与轴的交点为和 ∵ ∴与轴的交点也为和 ∵函数为函数、中的较大值， ∴ 当时， 解得：或（舍去） 当时， 解得：或 综上所述，的值为或或． 2．（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，点Q的坐标为，那么称点Q是点P的“相关点”． 例如，点的“相关点”点Q的坐标为． (1)当时，反比例函数的图象经过点P，则点P的“相关点”点Q的坐标是　 　 ； (2)点P的“相关点”点Q的坐标为，一次函数的图象经过点Q，与x轴交于点M，求证； (3)抛物线经过点A（4，0）和点O（0，0）．点Q是点P的“相关点”，若，直线AQ与抛物线交于点C，，求n的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先根据反比例函数的解析式求出点坐标，再根据题目要求求出点坐标即可； （2）利用一次函数图象的性质，求出相关线段的长度，利用全等三角形的判定和性质即可求出结果； （3）利用待定系数法求出二次函数的解析式，采用分类讨论的数学思想，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：当，即当时，代入得，， ∴点的坐标为， 根据“相关点”的定义，点的坐标是． 故答案为：． （2）证明：根据题意，得点的坐标为， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴． （3）解：抛物线经过点和点 ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． 当时，点的坐标为，点的坐标为． 当时，过点P作轴于点E，过点Q作轴于点F，如图2， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 过点C作轴于点D，则． 当点Q在线段AC上时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， ∴ ∵点C在抛物线上， ∴ 解得（舍去），； 当点C在线段上时，如图3，过点C作轴于点D，过点P作轴于点E，过点Q作轴于点F，则． ∵，即， ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴点C的横坐标为． ∴点C的坐标为． ∵点C在抛物线上， ∴． 解得：， ∵， ∴． 当时，且点C在延长线上时，如图4， 同理可得： ∴ 解得：或（舍去）； 当时，如图5， ∵， ∴不符合． 综上，或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，一次函数图象与性质，二次函数图象与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想等知识点，解题的关键是根据题意求出点的坐标，并熟练掌握以上函数的性质． 3．（2025·辽宁本溪·三模）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行，则称该矩为点的“对角矩形”． (1)如图2，点的坐标为． ①若点的坐标为，则点的“对角矩形”的周长为___________； ②直线与轴交于点，与轴交于点，在线段上存在点，使点的“对角矩形”为正方形，请求出点的坐标； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若点的“对角矩形”面积为9，求的值； (3)已知，点是抛物线上的点． ①若，点在第一象限，且点在点的上方，当时，求点的“对角矩形”的周长的最大值及点的坐标； ②若，当点的“对角矩形”与抛物线存在两个交点时，求出的取值范围． 【答案】(1)①12；②； (2)或4； (3)①，；②或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查新定义运算，矩形、正方形的性质，反比例函数图象的性质与几何图形的综合，二次函数图形的性质，对称轴直线，最值的计算方法，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想，二次函数与几何图形面积的计算，解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）①如图所示，矩形是点，的“对角矩形”，则，，由周长的计算即可求解； ②根据题意，，如图所示，四边形是点，的“对角矩形”为正方形，则，设，则，，，由此列式求解即可； （2）根据题意得到，分两种情况，即点在点左边或右边，分别求解即可； （3）①求得二次函数解析式，设，如图所示，矩形是点，的“对角矩形”，则，，结合题意列式求解即可； ②可得点在抛物线的对称轴上，分类讨论，根据或分别讨论，依次求解即可解答． 【详解】（1）解：（1）①根据题意，如图2.1，矩形是点，的“对角矩形”， ，， ，， 周长为， 故答案为：12； ②直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，，则， ，， 如图2.2，四边形是点，的“对角矩形”为正方形，则， 设，则， ，， ， 解得， ， ； （2）解：点是函数图象上一点，且横坐标为， ， 如图，当点在点右边时，， 矩形是点、的“对角矩形”， ， ， ， 整理得：， 解得：（舍去）， 经检验是原方向的解； 当点在点左边时，， 同理可得， 解得（舍去）， 经检验是原方程的解， 的值为或4； （3）解：①当时，抛物线解析式为， 当时，， 当时，， 解得， 点是抛物线图象上，且在第一象限， 设， 如图，矩形是点，的“对角矩形”， ， ，， 点的“对角矩形”的周长为， 当时，点的“对角矩形”的周长取最大值为， 此时点； ②， 抛物线的顶点为， 当时，， 抛物线的顶点在点上方， 如图，当抛物线经过时，刚好有一个交点， 要使点的“对角矩形”与抛物线存在两个交点，需要满足， 整理得， 令，当时，可得， 解得， 根据二次函数的性质可得的解析为或， ， ； 当时，点没有“对角矩形”； 当时，若，即时， 抛物线的顶点在点上方， 如图，当抛物线经过时，刚好有一个交点， 要使点的“对角矩形”与抛物线存在两个交点，需要满足， 整理得， 令，当时，可得， 解得， 根据二次函数的性质可得的解析为或， ， ； 当时，若，即时， 点的“对角矩形”与抛物线无交点，不成立， 综上，或． 4．（2026·辽宁·模拟预测）定义：已知是关于自变量的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“倍差函数”在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． (1)求函数“倍差函数”的函数表达式； (2)如图，点在函数（）的图象上，当点“关于的倍差点”的纵坐标为时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的倍差点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②当时，过点作轴的平行线，与函数的“倍差函数”的图象交于点，连接，设的和为，求关于的函数表达式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，当直线与函数的图象有3个交点时，从左到右依次记为点，，横坐标分别为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③． 【分析】本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用、二次函数性质、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用“倍差函数”的定义求解即可； （2）设，由“倍差点”的定义可知，再根据点B的纵坐标为，列方程求得m的值，进而确定点A的坐标； （3）①由题意可得：点，由“关于的倍差点”可得，再根据点与点重合，列关于m的方程求解即可；②由①可得：，，再根据二次函数的性质可得的对称轴为，然后分和两种情况，分别根据图形进和题意解答即可；③先画出图形，易得点D和点E在，且在，点F在；由二次函数的性质可得，进而得到，再结合，由题意可得，解方程可求得b的值，最后根据b的取值范围确定答案即可． 【详解】（1）解：由“倍差函数”定义可得：函数的“倍差函数”的函数表达式为： ，即． （2）解：设， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点B的纵坐标为， ∴，解得：，即． （3）解：①由题意可得：点， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点与点重合， ∴，整理得：，解得：． ②由①可得：，， 由题意可得：函数的“倍差函数”， ∴的对称轴为， 如图：当时，则， ， ∴； 如图：当时，则， ， ∴； 综上，． ③如图可知：点D和点E在，且在，点F在 ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∵点E在，点F在， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴． 题型02 二次函数的公共点求参问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 【思路分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合思想和分类讨论是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，再令求解x值即可； （2）①先求得平移后的函数解析式，令求得点C坐标，进而求得直线的解析式；设点的坐标为则结合正方形性质得到． 由点在抛物线上求解m值即可； （3）分当时和时两种情况，结合图象寻找临界点，进而根据题意列方程求解即可． 【规范答题】（1）解：将点代入， 得， 解得． 抛物线的解析式为． 令，得． 解得． 点的坐标为． （2）解：①， ． 令，得． 解得 ． 设直线的解析式为． 将点代入，得． 直线的解析式为． 设点的坐标为（m，0）． ． 四边形是正方形， ． ． 当点在抛物线上时， ． 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 四边形是正方形， ． 当时，点在轴上方． 当点在抛物线上时， 如图1，此时点关于直线对称． ． 解得（不合题意，舍去）． 当点与点重合时，如图2． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 当点与抛物线的顶点重合时，如图3，此时． 当点与点重合时，． 的取值范围是． 当时，点在轴下方． 当点与点重合时，如图4． 此时． 解得（不合题意，舍去）． 的取值范围是． 综上所述，的取值范围是或或． 研考点·通技法 1. 分析题意，结合图像找出多种情况； 2. 确定每种情况间的临界点，求出对应数值； 3. 结合图像确定取值区间。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点，E是第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点G，过点E作轴交直线于点F，交x轴于点H，设E点横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标； (2)当时，求的长； (3)作轴，且M点横坐标为，以为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求m的取值范围； ②当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出m的值． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②或或 【分析】（1）求出时的函数值，求出时的自变量的值，即可得出结果； （2）求出直线的解析式，易得，，，进而求出，根据，得到，证明，得到，进而得到，求出，进而得到，即可得出结果； （3）①根据点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点，得到抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点，进而得到点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧，求出点恰好在抛物线上时的的值，即可得出结果；②分抛物线经过的中点，抛物线经过的中点或抛物线经过的中点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得， ∴，，； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得，则， ∴， 由题意，，，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意，， ∵轴， ∴， ∵点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点， ∴抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点， ∴点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧， ∴， 当点恰好在抛物线上时，则， 解得（舍去）或， ∴当矩形的边与抛物线有3个交点时，； ②∵，，， 四边形为矩形， ∴， 当抛物线经过的中点时，如图，则点的横坐标为， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴，解得； 当抛物线经过的中点时，如图， 则，即， ∴， 解得（舍去）或； 当抛物线经过的中点时，如图， 则，即， ∴， ∴解得（舍去）或； 综上：或或． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于平面直角坐标系中的函数叫做“对美函数”，其中f(x)是用自变量x表示的函数，“对美函数”的本质是分段函数． 例如：“对美函数”， (1)将“对美函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中的“对美函数”的图象交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C在直线下方的“对美函数”上，且，求点C的坐标； (3)直线与（1）中的“对美函数”有2个交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2)点C的坐标为或； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到新定义问题，直线与二次函数的结合，难度比较大，解题的关键是理解题意和“对美函数”的概念，掌握好二次函数的有关基础知识． （1）分情况化简，即可求解； （2）先联立直线与“对美函数”，求出点A，B两点坐标，设点C的坐标为，则，分两种情况和，根据求解即可； （3）由直线可以确定过定点，分和两种情况，分别画出图象，根据交点个数，求解即可． 【详解】（1）解：令解得， 当，即时，， 当，即或时，， ∴； （2）解：当时，联立和， 可得， 解得（不合题意，舍去）， 点， 当或时，联立和， 得， 解得（不合题意，舍去）． 点， 设点C的坐标为，则， 如图1，过点C作轴，交直线于点D， 则点D的坐标为， ， ①当时，， ， ， ∴， 解得（舍去），， 点； ②当时，， ， ， ， 解得（舍去），， ∴点， 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：直线过定点， ①当时，直线过点时，与（1）中的“对美函数”有1个交点，如图2，此时， 直线过点时，与（1）中的“对美函数”有3个交点，如图3，此时， 当时，直线与（1）中的“对美函数”有2个交点； ②当时，直线与函数有1个交点时（即相切时），如图4，直线与（1）中的“对美函数”有3个交点， 联立和，化简，得， 由题意，得， 解得， 当时，联立， 解得， 当时，联立， 解得， ∵， ∴， ∴当时，直线与（1）中的“对美函数”有2个交点， 综上所述，或． 3．（2025·辽宁盘锦·一模）①我们规定：二次函数与互为中心对称函数； ②定义：表示两个数中的最小值，对于函数和，当时，；当时，，则函数． (1)已知二次函数，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大．则该二次函数的解析式为______，其中心对称函数的解析式为______．并求出当、同时随增大而减小时，的取值范围． (2)在（1）的条件下，求出函数； (3)若宽为3的矩形中，点，矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，当时，同时随的增大而减小 (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质求出a的值，即可得到的解析式，结合二次函数的性质即可解答； （2）联立，求出或，根据定义函数，即可解答； （3）由（2）中函数解析式，画出函数图像，求出最值，结合矩形的性质，设函数的图象与x轴交点为两点（M点在N点左侧），分点在x轴上方和下方，两种情况，结合图形讨论即可． 【详解】（1）解：二次函数中，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， ，且， ， ， ， 二次函数的图象关于，且， 二次函数图象开口向下， 当时，随增大而减小； 综上所述，当时，同时随的增大而减小； （2）解：联立   解得：或， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述：； （3）解：由（2）知，， 二次函数的图象关于对称，且， 二次函数图象开口向下， 当时，随增大而增大， ， 当时，随增大而增大， 同理得：当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数在上有一个最小值，最小值为； 设函数的图象与x轴交点为两点（M点在N点左侧）， 当点在x轴上方时，如图， 令，解得或（舍去）； ∴， 同理，令，解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∵宽为3的矩形中，点，， ∴在轴上，，， ∴直线的解析式为， ∵，， 矩形与函数的图像只有一个交点或没有交点， 当点在x轴下方时，如图， 当点重合时，矩形与函数的图像有两个交点， 此时，，即； 如图，当点重合时，矩形与函数的图像有三个交点， 此时，，即； ∴当时，如图，矩形与函数的图像有三个交点， ∴矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质和新定义，二次函数与特殊四边形的综合问题，理解新定义是解题的关键． 4．（2025·辽宁·模拟预测）★定义：符合一定条件的动点所形成的图形叫做轨迹． 在二次函数中，我们可以发现一类含有参数的抛物线，这类抛物线随着参数的变化而变化，主要可以分为二次项含参与非二次项含参的抛物线．一般地，对于这两类抛物线，我们都可以通过探究顶点的轨迹来确定它们的运动路径． 已知函数，其中为常数，记函数的图象为G． (1)当时，已知在图象上，求的值； (2)已知函数图象的左支顶点坐标为，求关于的函数关系式（无需写出自变量的取值范围）； (3)在平面直角坐标系中存在直线，设函数表示直线与间函数最大值与最小值的差．求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (4)在题目的条件以及定义的提示下，请从下列两个问题中选取一个问题作答，选取第一个问题作答得4分，选取第二个问题作答得2分，请在答题卡上标出你所选择问题的序号并写出答案．若同时选取①，②进行作答则按照第一个解答内容计分． ①已知四边形的顶点坐标分别为．若图象与四边形有两个公共点，请直接写出的取值范围． ②平面直角坐标系中存在直线，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)①或；② 【分析】（1）当时，在图象的右支上，即可求解； （2）将函数图象的左支函数表达式化为顶点式，即可求解； （3）分为，两种情况进行讨论，当时，函数的左支随着的增大而减小，最大值在处取到，最小值在处取到；当时，函数的右支随着的增大而减小，最大值在处取到，最小值在处取到，通过代入分段函数各自的解析式，即可求解； （4）选项①：当时，取左支顶点纵坐标为，作为临界值，求得值；当时，有2个交点；当时，取左支经过点时作为临界值，求得值，通过图像，即可确定的取值范围；选项②：当左支顶点在直线上时，作为临界值，求得值；当时，取右支上点经过直线时作为临界值，求得值，通过图像，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，在图象上，此时， 在图象的右支上， ； （2）解：函数图象的左支函数表达式为， 即顶点坐标为， ， 则关于的函数关系式为； （3）解：当，得，函数的左支随着的增大而减小， 最大值在处取到，最大值为， 最小值在处取到，最小值为， 得； 当时，得，函数的右支随着的增大而减小， 最大值在处取到，最大值为， 最小值在处取到，最小值为， 得， 综上，； （4）解：选项①： 当时，取左支顶点纵坐标为，作为临界值，如图所示， ， 解得：（舍）或， 左支顶点纵坐标为，， 越大，左支顶点的纵坐标越小，如图所示，会出现三个交点， ； 当时，左支顶点的纵坐标，如图所示，会出现3或4个交点， 当时，如图所示，有2个交点， 当时，如图所示，取左支经过点时作为临界值， 此时，即， 解得：（舍）或， 综上所述：或； 选项②： 先找一个特例，当时，如图所示，直线与图象只有一个公共点， 当左支顶点在直线上时，作为临界值，如图所示， ，即， 解得：（有一个交点，不符题意，舍）或， 当时，取右支上点经过直线时作为临界值，如图所示， ，即， 解得：（不符题意，舍）或， 综上所述：． 【点睛】本题是二次函数的压轴题，考查了二次函数的顶点坐标、对称轴、图像和性质，要会用“分类讨论”的思想探究二次函数与直线的交点个数，解题的关键是利用“数形结合”将几个特殊点在图像中标出相对位置，求出临界值，进而确定取值范围． 题型03 二次函数的最值求参问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，连接，交线段于点，求的最小值； (3)若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有三个动点． ①当点在点左侧时，、两点（含，两点）之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值和最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【思路分析】（1）把代入，建立方程组求解即可； （2）过点A作轴交于点M，过点F作轴于点D，交于点N，得，得，由，求出，求出直线的解析式．可得,得，设，，得，的最大值为，得的最小值为； （3）①抛物线，顶点为，∵直线的解析式为：，∴当时，，解得，当在左侧时，，解得．分当时：当时，当时，四种情况求解即可；②对，当时，解得或,分当，，即时，当，即时，两种情况解答． 【规范答题】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴． （2）解：过点A作轴，交直线于点M，过点F作轴于点D，交直线于点N， 则， ∴， ∴， 对，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 得，解得​， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴, ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴取得最小值，． （3）解：①∵抛物线， ∴顶点为， ∵直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∵图象W由时的抛物线和第三象限的直线组成． 当在左侧时，， 解得． 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为点，最高点为 ∵，， ∴； 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为，最高点为， ∵，， ∴； 综上：； ②对，当时，， 解得或, 当，，即时， 点P在直线上，点R在抛物线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； ∴； 当，即时， 点P在抛物线上，点R在直线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； 当时， ∴， 解得； ∴； 综上，或． 研考点·通技法 1.一般式化为顶点式：y =a(x-h)²+k，顶点(h,k)即为最值点（a>0时最小，a<0时最大）。 2.给定区间的最值：比较顶点横坐标是否在区间内，再比较区间端点函数值。 3.实际问题：先建立二次函数模型，确定自变量取值范围（通常为整数或正数），再利用顶点或端点求最值。 4.含参数问题：常需分类讨论对称轴与区间的位置关系（左、中、右）。 5.平移、对称后的最值：先求变换后的解析式，再按常规方法求最值。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象经过点． (1)求，的值． (2)直线与二次函数，的图象分别交于点，，与直线交于点，当时， ①求证：； ②当时，求的长． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②4.5 (3)的值为 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线的解析式，求出的坐标，进而求出，即可得出结果；②证明，设直线交轴于点，根据平行线分线段成比例，得到，进而求出的值，进而求出线段的长即可； （3）分，，，和五种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，则， ． ． 当时，， ． 过点，点， ． （2）①， ∴设直线的解析式为，把，代入，得， 直线的解析式为． ，，． ， ． ． ②， ， ． ， ． ． 设直线交轴于点， ． ． ． ， ． （3）， 当时，的最小值是． 当时， ， （舍），（舍）． 当时， 当时， ． （舍），． 当时，， （舍），． 当时， ， ． 当时， ， ． （舍），． 综上所述，的值为． 2．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，过点作轴交延长线于点，过，两点分别作，分别交于，两点，得出点坐标为，点坐标为，进而根据，解方程，即可求解； （3）依题意得出，根据点坐标为，进而得出根据，即可求解； （4）依题意，点坐标为，，分别表示出，分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， ， 解得， ． （2）设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 过点作轴交延长线于点， 过，两点分别作，分别交于，两点， 点坐标为，点坐标为， ， ， 解得，， ∵点在轴左侧，， ． （3）解：，， ， ∵点坐标为， ，， ， ，． （4）解：依题意，点坐标为，， ，， 当时，矩形的周长， 当时，矩形的周长， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， ①当时，解得，（舍） ②当时，解得（舍） ③当时，解得（舍） ④当时，解得，（舍） 综上所述：或． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，抛物线与x轴相交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，点，是抛物线上的点，若，h为抛物线上P，Q两点之间的曲线部分的最高点与最低点纵坐标的差，，f叫做抛物线上P，Q两点的特征值． (1)若点P在第一象限，点Q在y轴上，求f关于t的函数解析式； (2)若点P与点C不重合，抛物线上P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等，求点P的坐标； (3)点P，Q是抛物线不同的两点，点Q在点P的左侧，连接PQ，若轴，抛物线上P，C两点的特征值为，抛物线上C，Q两点的特征值为．若最小值为，最大值为，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，得到顶点，令，得到，令，得到，．根据点Q在抛物线上，且在y轴上，得到，根据点是抛物线在第一象限的点，得到，，且抛物线上P，Q两点之间的曲线部分的最高点是，最低点为，根据特征值的定义即可列出关系式； （2）先求出A，T两点的特征值．根据点P的不同位置：①点P在点C的左侧；②点P在点C的右侧，点T及其左侧；③点P在点T的右侧，过点C与x轴的平行线与抛物线交点的左侧；④点P过点C与x轴的平行线与抛物线交点的右侧；求出P，C两点的特征值，根据P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等，列出方程求解即可； （3）根据题意得到点P，Q关于对称轴对称，且，，．分两种情况：①；②，分别求出，根据最小值为，最大值为，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线顶点为， 对于抛物线，令，则， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为， 令，则，解得，， ∴，． ∵点Q在抛物线上，且在y轴上， ∴点Q与点C重合，即． ∵点是抛物线在第一象限的点， ∴，， 抛物线上P，Q两点之间的曲线部分的最高点是，最低点为， ∴ ， ∴， ∴f关于t的函数解析式为． （2）解：为了讨论方便，记A，T两点的特征值为，， P，C两点的特征值为，． ∵，， ∴， ， ∴A，T两点的特征值． ∵，， ∴． ①当点P在点C的左侧，即时，P，C两点之间的曲线部分的最高点为点P，最低点为点C， 则， ∴， ∵P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等， ∴， 解得或（不满足，舍去）， ∴． ②当点P在点C的右侧，点T及其左侧，即时，P，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点P， 则， ∴， ∵P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等， ∴，该方程没有实数解， ∴此情况不存在． ③当点P在点T的右侧，过点C与x轴的平行线与抛物线交点的左侧时， 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 此时P，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点T， 则， ∴， ∵P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等， ∴， 解得（不满足，舍去）． ④当点P过点C与x轴的平行线与抛物线交点的右侧，即时，P，C两点之间的曲线部分的最高点为点P，最低点为点T， 则， ∴， ∵P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等， ∴， 解得或（不满足，舍去）， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． （3）解：∵点，是抛物线不同的两点，点Q在点P的左侧，轴， ∴点P，Q关于对称轴对称，且 ∴，， ∴，， ①若，则P，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点T， ∴，， ∴． Q，C两点之间的曲线部分的最高点为点C，最低点为点Q， ∴，， ∴， ∴． 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∵最小值为，最大值为， ∴或， ∵， ∴． ②若，则P，C两点之间的曲线部分的最高点为点P，最低点为点T， ∴，， ∴． Q，C两点之间的曲线部分的最高点为点Q，最低点为点C， ∴，， ∴． ∴， 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∵最小值为，最大值为， ∴或， ∵， ∴． 综上所述，t的取值范围是． 4．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，抛物线的顶点为，交轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧）． (1)求点，，的坐标（用含的式子表示）； (2)顺次连接，，，四点，当四边形的面积为时． ①求的值； ②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值． 【答案】(1)，， (2)①；②的值为 【分析】（1）把解析式配方，化为顶点式，得出，把代入解析式，得出，根据关于原点中心对称的点的特征得出，即可． （2）①先求出的解析式为，联立两个抛物线的解析式，解方程组求出，，根据四边形的面积为列方程求出值即可； ②根据得出，根据二次函数当性质，分类讨论得出值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，， ∴， ∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线， ∴，． （2）解：①∵， ∴抛物线的解析式为， 联立、的解析式得，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得：， 当时，，当时，， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，即， 解得：． ②∵， ∴的解析式为，的解析式为，，， ∵将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 当，时，此时，，最小值为， 当时为最大值时， ∵函数的最大值与最小值的差等于， ∴， 解得：，（舍去）， 当时为最大值时， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴， ∴时，不符合题意， 当时，， ∴， 当时，， 此时函数的最大值与最小值的差不能等于，此种情况不存在， 当时，，， 同理可得，此时函数的最大值与最小值的差大于； 综上所述，的值为． 题型04 二次函数的平移问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁营口·一模）已知是自变量x的函数，若（为常数且为整数），则称是x的“a维函数”，例如：x的“1维函数”为；称（t为常数且为整数）是x的“t阶a维函数”，例如：x的“2阶1维函数”为． (1)写出自变量x的“3阶维函数”的表达式． (2)已知函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和，请写出y的表达式． (3)在满足（2）的条件下，设函数y的图像M上的最低点为A，与y轴交点为B，点C为图像M上一定点，若将图像M向右平移，保持最低点始终在直线上，记平移后得到的图像为N．当点A平移到点H时，此时图像M上的点C移至B点． ①求在平移过程中，图像M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S． ②如果过点和的直线与图像M、图像N都相交且只有3个交点，请直接写出m的值． 【思路分析】（1）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （2）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （3）①过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点，过点H作于点E，过点B作于点F，利用待定系数法求得的解析式，利用平移的性质和待定系数法求得点H的坐标，图象N的解析式，得到平移的距离，依据图象M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积，求得平行四边形的面积即可； ②利用分类讨论的思想方法分：当直线与图象M只有一个交点时和当直线与图象M只有一个交点时两种情况讨论解答，将直线的解析式与抛物线的解析式分别联立，令即可求得m值． 【规范答题】（1）解：自变量x的“3阶维函数”的表达式为； （2）解：∵“1阶2维函数”表达式为、“4阶1维函数”表达式为、与“3阶0维函数”表达式为， ∵函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和， ∴． （3）解：①由（2）知：， ∴函数y的图象M上的最低点为， 则直线的解析式为， 令，则， ∴． ∵将图象M向右平移，保持最低点始终在直线上，点A平移到点H， ∴设， ∴图象N的解析式为， ∵点B在图象N上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴图象M向右平移了，向上平移了， ∴． 过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点，过点H作于点E，过点B作于点F，如图， 则图象M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积． 由题意：，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， ∵点和， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由题意得图像M解析式，图像N解析式， ∵直线与图象M、图象N都相交且只有3个交点， ∴直线与图象M只有一个交点或直线与图象N只有一个交点或经过点， 联立直线与图象M得， ∴， ∴， 联立直线与图象N得， ∴， ∴， 当直线与图象M只有一个交点时， ， ∴或， 当时，，直线与图象没有交点，不合题意； 当时，，直线与图象没有交点，不合题意； 当直线与图象只有一个交点时， ， ∴， 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当直线经过图象和图象的交点时，，此时，直线与图象有两个交点，直线与图象有两个交点，符合题意； 综上，m的值为3或． 研考点·通技法 1. 顶点平移法：二次函数图像平移本质是顶点移动。将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k，平移后顶点变为(h', k')，新解析式易得。左右平移m：h'=hm；上下平移n：k'=kn。 2. 点坐标对应变换：若抛物线平移，其上所有点按相同规则移动。已知原抛物线一点(x0,y0) 和平移后对应点(x1,y1)，可反推平移向量，再应用到顶点。 3. 与几何图形结合：平移后若与某线段或抛物线有交点，常转化为方程有解（判别式≥0）或区间端点值异号。注意平移方向不明确时需分类讨论，避免漏解。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·二模）与二次函数的二次项系数相同的二次函数统称为“系二次函数”．由初中阶段学习可知，二次函数的二次项系数决定函数图象的开口方向和大小，所以“系二次函数”的图象与的图象开口方向相同，形状相同；从平移变换角度来看，“系二次函数”可以看作是由二次函数的图象沿轴和轴作平移变换得到的．如“1系二次函数”是由沿轴向下平移2个单位距离后得到的． (1)如图1，已知“系二次函数”是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到，其中点平移后的对应点为，连接，，得到四边形，若四边形的面积为18，求的值； (2)如图2，已知为上的点，为等腰直角三角形，，将作平移变换后得到“系二次函数”（为大于零的常数），该函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点平移后的对应点分别为，直线与轴交于点． ①求点的纵坐标； ②若，求的值； ③在②的条件下且时，连接．点分别从点以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行，当点到达原点时，两点停止运动，过点的直线轴，交直线于点，求的面积与点的运动时间（秒）的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】(1)； (2)①点的纵坐标为；②的值为或；③，有最大值为． 【分析】（1）先求得点，推出，利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①设与轴交于点，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用平移的性质求解即可； ②同理求得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，根据题意列式，据此计算即可求解； ③先求得直线的解析式，得到，利用三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点是函数的图象的点， ∴，， ∴点， ∵是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到， ∴四边形是平行四边形，且， ∵四边形的面积为18， ∴， 解得； （2）解：①设与轴交于点， ∵为等腰直角三角形，， ∴也为等腰直角三角形， ∴， 设， ∵在抛物线上， ∴， 解得或， ∴， ∵将作平移变换后得到“系二次函数”， ∴将向上平移了个单位， ∴点向上平移了个单位得到点， ∴点的纵坐标为； ②同理， ∵将作平移变换后得到“系二次函数”， ∴将向上平移了个单位，向右平移了个单位， ∴点向上平移了个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入和， 得， 解得， ∴直线的解析式为，即点的坐标为， 对于， 当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵为大于零的常数， ∴的值为或； ③∵在②的条件下且时， ∴， ∴平移变换后得到“系二次函数”为，点的坐标为， 当时，， 解得或， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵当点到达原点时，两点停止运动， ∴， ∴当时，有最大值． 2．（2025·辽宁抚顺·二模）对于函数定义变换：当时，函数值不变；当时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换后的函数称为原函数的“变换函数”． 如：一次函数，变换函数为． (1)已知反比例函数，请写出它的“变换函数”的表达式； (2)已知二次函数，点在它的“变换函数”的图象上，求a的值； (3)在平面直角坐标系内，有点，，将二次函数沿y轴方向平移t个单位长度（向上平移时，向下平移时），平移后的函数记为． ①若的“变换函数”经过点M，求t的值； ②若的“变换函数”与线段恰有两个公共点，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)或1 (3)①t的值为；②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． （1）根据“变换函数”的定义即可得解； （2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线开口方向求出其关联函数解析式，将分别代入其关联函数解析式中求解； （3）①将点和他关于x轴的对称点为代入，求解即可； ②作线段关于x轴对称的线段，由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，结合图象求解． 【详解】（1）解：反比例函数的变换函数为； （2）解：令，解得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． ∵， ∴抛物线的开口向上． ∴变换函数为． 将点代入，得． 解得，． 将点代入，得． 解得． ∴a的值为或1； （3）解：①由题意，得，点关于x轴的对称点为， ∴将点代入，得； 将点代入，得． 综上所述，t的值为； ②∵， ∴抛物线的开口向上，顶点的坐标为，对称轴为直线． 如图，作线段关于x轴对称的线段． ∵点，关于直线对称， ∴抛物线过点M时必过点N．同理可得抛物线过点时必过点． 如图1，当抛物线过点和点时，有2个交点，由①知． 如图2，当抛物线过点M和点N时，有4个交点，由①知． ∴当时，的“变换函数”与线段恰有两个公共点（如图3所示）． 当抛物线的顶点在线段上时，此时，解得． 当时，． ∵，∴此时有3个交点． 当抛物线的顶点在线段上时，此时，解得．此时有1个交点， ∴当时，的“变换函数”与线段恰有两个公共点（如图4所示）． 综上所述，t的取值范围为或． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）已知是的函数，其图象记为，定义函数为的级“递美函数”， 的函数图象是将函数的图象整体向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，图象记为，其中叫作“递美级数”．例如：函数，其1级“递美函数”为 ，“递美级数”为1． (1)求函数的2级“递美函数”的解析式． (2)判断是否存在函数的“递美函数”的函数图象经过原点．若存在，求出“递美级数”的值；若不存在，请说明理由． (3)已知函数 的图象经过点，其5级“递美函数” 的图象经过点， ①求的函数解析式； ②若记函数，且满足，求的值； ③在②的条件下，函数与函数的图象交于三点，从左到右依次记为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)不存在函数的“递美函数”，满足的图象经过原点，理由见解析 (3)①；②或；③或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，新定义函数，掌握新定义函数的概念和数形结合思想是解题的关键． （1）根据“递美函数”的定义直接求解即可； （2）先求出函数的“递美函数”，把原点代入函数分析即可； （3）①根据“递美函数”的定义和待定系数法求解即可； ②先求出的函数式，联立得出其交点，画出函数与的图象，根据图象，联立求函数与分析求解即可； ③根据函数与函数的图象交于三点，画出符合要求的图象，分情况分析，求出函数与函数，联立函数，求出交点坐标，再根据勾股定理求出线段的长度，即可求解． 【详解】（1）解∶ 根据题意，得， 即． （2）解∶ 不存在．理由如下： 由，得， 若的图象经过原点，则，即，此时方程无解， 不存在函数的“递美函数”，满足的图象经过原点． （3）①解∶ 将点代入，得， ， 由题意，得，将点代入，得，解得， 函数的表达式为； ②解∶ 由①，得， 联立，解得， 函数，的交点的坐标为， 作出函数与的图象，如图 1 所示， 联立，得， 解得， 由图象可知交点在直线的左侧， ， 联立， 得，解得， 由图象可知交点在直线的右侧， ， 的值为或； ③解：当函数的图象经过点时，作出函数与函数的图象如图 2 所示，此时函数的表达式为，联立， 得，解得，， ， 根据勾股定理，得， ，； 当函数与函数只有一个交点时，作出函数与函数的图象，如图 3 所示． 联立，得，令，得， 此时方程有两个相等的根，即， ， 联立，得，解得，，， 由勾股定理，得，， 同理，， ，， 综上所述，的值为或． 4．（2025·辽宁丹东·一模）定义：为函数的“基因数”，若点（k为常数且）在这个函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如的“基因数”是，点是函数的2倍值点，的“基因数”是，点是函数的倍值点． (1)若函数的“基因数”是，则函数向上平移1个单位，得到函数，则函数的“基因数”是________； (2)若函数的“基因数”是，将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象，则函数的“基因数”是________； (3)若函数的“基因数”是，且图象过点，点，点，当时，求n的取值范围； (4)设函数的“基因数”是，点A是在第一象限的1倍值点，作射线，在射线上取一点，，过点B作y轴的平行线交的图象于点C，过点C作x轴的平行线交的图象于点D，以，为边作矩形． ①求矩形周长最大时点C的坐标； ②在①的结论下，矩形不动，将的图象沿方向平移个单位得到，在上恰存在的k倍值点M，使直线将矩形的面积均分，请直接写出点M的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)①；②4或 【分析】本 （1）根据新定义的“基因数”得到函数的解析式，再根据一次函数平移规律“左加右减，上加下减”求得函数的解析式，即可由新定义求解； （2）行銢出函数的解析式，再根据翻折的性质得出函数的解析式，即可由新定义求解； （3）先求得函数的解析式为：，从而求得函数的对称轴为直线，，则，得到，把代入，得，求得，即可求解； （4）①先求得，再用待定系数法求得直线的解析式为，从而可求得，，，则矩形周长，利用二次函数的最值即可求解； ②设点，根据直线将矩形的面积均分，得到直线经过矩形对角线的中点，利用待定系数法求得直线直线的解析式为，把代入得，即可求得，然后根据将的图象沿方向平移个单位得到，得到的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，从而得到函数的解析式为， 把代入求出t值即可． 【详解】（1）解：∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∵函数向上平移1个单位，得到函数， ∴函数的解析式为：， ∴函数的“基因数”是． 故答案为：． （2）解：∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∴函数顶点坐标为， ∵将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象， ∴函数的解析式为： ∴函数的“基因数”是， 故答案为：． （3）解：∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∵图象过点，点， ∴函数的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）解：①∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∴函数的对称轴为直线， ∵点A是在第一象限的1倍值点， ∴设，代入，得 解得：，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得 解得：， ∴直线的解析式为 ∵点在射线上， ∴ ∴ ∵轴， ∴点C横坐标为p， ∴， ∴ ∵轴 ∴点C与点D关于直线， ∴ ∴ ∴矩形周长 ∵， ∴当时，矩形周长有最大值， ∴． ②设点， ∵直线将矩形的面积均分， ∴直线经过矩形对角线的中点， 由①知， ∴  ， ∴的中点坐标为 ∴设直线直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线直线的解析式为， 把代入得 解得： ∴ ∵将的图象沿方向平移个单位得到， ∴的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ∴函数的解析式为， 把代入得 化简整理得 解得：，， ∴点M的横坐标为4或． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求函数解析式，一次函数图象平移，二次函数的图象性质，二次函数图象的翻折，矩形的性质，综合性较强，难度较大，属中考试压轴题目． 题型05 二次函数的翻折对称问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)①判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； ②判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； (2)设函数，的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 【思路分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案； （2）先根据“等值点”的定义求出函数的图象上有两个“等值点”，同理求出，根据的面积为3可得，求解即可； （3）先求出函数的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【规范答题】（1）解：①在中，令，得不成立， 函数的图象上不存在“等值点”； ②在中，令， 解得：，， 函数的图象上有两个“等值点”或； （2）解：在函数中，令， 解得：， ， 在函数中，令， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为3， ， 当时，， 解得， 当时，， ， 方程没有实数根， 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或； （3）解：令， 解得：，， 函数的图象上有两个“等值点”或， ①当时，，两部分组成的图象上必有2个“等值点”或， ， ， 令， 整理得：， 的图象上不存在“等值点”， ， ， ， ②当时，有3个“等值点”、、， ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”， ④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“等值点”， ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 研考点·通技法 1. 抓住翻折是轴对称：翻折后图像与原图像关于直线（如x轴、y轴、直线y=x）对称。点(x,y)翻折后坐标变为(x,-y)（关于x轴）或(-x,y)（关于y轴），利用此求新解析式。 2. 分段函数处理：翻折常只折叠图像的一部分（如x轴下方翻到上方）。先画出原抛物线，确定翻折边界（交点），保留未翻折部分，翻折部分用对称变换得到新表达式，形成分段函数。 3. 分类讨论动点与边界：综合题中，翻折后某动点落在特定区域，常需讨论点位于原图像还是翻折部分。根据对称性列方程，注意验证解是否在对应的定义域内。结合临界位置（如翻折边界点）求参数范围。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁阜新·一模）在数据可视化场景中，定义一种m阶界点重构函数：对于函数，按如下规则构造新函数，称为的阶界点重构函数．例如：当时，函数经2阶界点重构变换后：当时，；当时，；得到界点重构函数 (1)一次函数的2阶界点重构函数表达式是______； (2)反比例函数经2阶界点重构变换后为，若直线与的图象交于两点，且这两点间的距离为6，求的值； (3)已知点是二次函数的4阶界点重构函数图象上的一点，点是的4阶界点重构函数图象上一点，若轴，设的横坐标为，长为，求当时，的值； (4)已知二次函数，点、连接，，若线段与二次函数的阶界点重构函数图象只有1个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或5 (4)或． 【分析】（1）因为题目给出了m阶界点重构函数的定义，所以需要分和两种情况，分别代入原一次函数和的形式，得到对应的表达式． （2）首先根据定义写出反比例函数的2阶界点重构函数的分段表达式；因为直线与交于两点，所以需要分和两种情况讨论，结合两点距离为6，利用反比例函数的性质和两点距离公式建立方程求解． （3）先分别根据定义求出和的分段表达式；因为轴，所以P、Q两点横坐标相同为t，需要分和两种情况，分别求出P、Q的纵坐标，再根据建立方程求解． （4）先根据定义写出二次函数的m阶界点重构函数的分段表达式；因为线段与图象只有1个公共点，所以需要分m与线段横坐标范围的关系，结合二次函数的图象性质，分析线段与两段函数图象的交点情况，确定m的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ； （2）解：反比例函数的2阶界点重构函数为， 把代入中， 当时，,； 当时，，． 时，恒小于0， ，解得：； 值为（如图）． （3）解：当时，函数经４阶界点重构变换后： 当时，； 当时，； 得到界点重构函数， 当时，函数经４阶界点重构变换后： 当时，； 当时，； 得到界点重构函数， 分两种情况： ①当时， 点在的图象上， ， 点在的图象上，且轴， ， 长：， ②当时，点在的图象上， ， 点在的图象上，且轴， ， 长：， 关于的函数表达式：，（为全体实数） 当时，即， 解得或． 综上值为或5（如图）． （4） 解：函数经m阶界点重构变换后： 当时，； 当时，； 得到界点重构函数， 即， 顶点坐标分别为与， 图象开口向下且，则恒大于， ∴分三种情况： ①当时，左段，当时，与线段无交点. ∴把代入右段函数中， 整理得，解得（舍)， 把代入中， 整理得, 解得（舍），． （如图）． ②当时，左段：令， ∴， ， ∴，取， ∵，且, ∴，且 去分母，整理，得，且， 平方，整理，得且， 又∵， 又∵，解得，或， ∴时，左段与线段MN有一个交点； 右段：时，，且， 当时， ∵右段对称轴为， 函数上和函数值相等的点的横坐标为， ∴， ∴右段不与线段相交． ∴； ③当时，右侧时，与线段MN无交点． 把代入左侧函数中， 整理，得， 解得（不符合题意）， 把代入中， 整理，得， 解得（不符合题意）． 即此情况下，函数与线段MN无交点． 综上，的取值范围为：或． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 【答案】(1) (2)①；②或 (3)2个公共点：或；3个公共点：或 【分析】（1）由直线与坐标轴交点得到求出，再用待定系数法可得二次函数的解析式； （2）①根据题意得到，根据两点之间距离公式得到，由分类讨论去绝对值，将化为二次函数，由二次函数图象与性质求解即可得到答案；②由①知，，再求出，由，列绝对值方程求解即可得到答案； （3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，根据题意，作出图象，得到当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点；当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令得；令得； ， 将代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①如图所示： ∵点为线段上一点，设其横坐标为，则， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的长度随着的增大而增大， 则此情况； 当时，，则； 综上所述，当的长度随的增大而增大时，的取值范围是； ②由①知，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴或， 则或， 解得或或或， ， ∴点的横坐标为或； （3）解：在中，令得， 解得或， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 如图所示： 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点， ①当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ②当与相切时，只有一组公共解， 即方程的判别式为， ∴，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ③当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有1个公共点； ④如图所示，当时，直线与这个新图象有4个公共点； ⑤如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑥如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑦如图所示，当时，直线与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数图象与性质、两点之间距离公式、解绝对值方程、翻折变换、一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标，我们称这个点为平衡点． 【概念理解】 （）若双曲线上存在两个平衡点，，且，则的值是____________； 【概念应用】 （）如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为． ①当时，求图象上的平衡点的坐标； ②若图象上存在两个平衡点，求值． 【答案】（）；（）①；②，或 【分析】（）设，则，利用两点间距离公式可得，即得，即可求解； （）①由翻折可得的解析式为，再把代入的解析式求出的值即可求解；②分别把代入和解答即可求解； 本题考查了反比例函数和二次函数的综合应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）①∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，， ∴的解析式为， 将代入，整理得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去 ， ∴平衡点的坐标为， 将代入，整理得， ∵， ∴上没有平衡点， 综上，图象上的平衡点的坐标为； ②将代入，整理得， 解得，， ∴和时图象上存在两个平衡点和 ，如图1，图 ； 如图，的解析式为， 当直线与抛物线有唯一公共点时，图象上 存在两个平衡点， 将代入，整理得， ∵， ∴， 将代入，得， 解得或， ∵， ∴； 综上，或或． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）令，解方程即可得解； （2）由二次函数知，其对称轴为直线，故设设点，则点，点，则，，由得，即可求解； （3）如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，进而求解． 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 5．（2025·辽宁营口·三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”． (1)求直线上的“倍点”的坐标； (2)已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，，设，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，，，且满足，，求m的值． 【答案】(1)直线上的“倍点”的坐标为； (2)； (3)m的值为或． 【分析】（1）设直线上的“倍点”的坐标为，根据“t倍点”的定义得，，联立得，据此求解即可； （2）根据题意，是方程即的两个根，由根与系数的关系得，，求得，令，根据，，求得，再根据二次函数的性质即可求解； （3）先求得翻折图形的解析式为，联立，求得，，再分三种情况讨论，利用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：设直线上的“倍点”的坐标为， 根据“t倍点”的定义得，， 又点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴直线上的“倍点”的坐标为； （2）解：∵点，是抛物线上的两个“1倍点”， ∴，， 即，是方程的两个根，即， 由根与系数的关系得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 令， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 对于， ∵开口向上， ∴当时，； 当时，； 则； （3）解：使“倍点”的坐标为，则， 联立得， 解得或， ∴直线与抛物线的交点坐标为，， ∵， ∴顶点为，则就是抛物线的顶点， 设点关于的对称点为， ∴， ∴， ①当时，最多有两个实数根， ∴图象最多有两个“倍点”，不可能存在三个倍点”， ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去），； ③当时，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去），； 综上，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，配方法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 题型06 二次函数的增减性求参问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁盘锦·一模）已知和都是自变量x的函数，若当时，，当时，，则称函数为函数的“关联函数”．例如：函数，则称为函数的“关联函数”，图1、图2分别为、的图象． (1)若点在函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (2)点P是反比例函数图象上的一点，且纵坐标为2，过点P作轴，交的“关联函数”的图象于点Q，当时，则________． (3)二次函数的图象过，两点， ①当时，的取值范围是，求n的值； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 【思路分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数与几何综合，熟知三种函数的性质，分类谈论是解题的关键． （1）根据题意写出的解析式，代入求值即可； （2）画出图形，根据反比例函数的性质即可解答； （3）①利用二次函数的性质，分类讨论即可解答； ②画出不同取值范围时的图象，逐一判断解答即可． 【规范答题】（1）解：函数的“关联函数”的解析式为， 把代入， 可得可得， 解得； 把代入， 可得， 解得， 综上，或； （2）解： 如图，当时， ， 根据反比例函数的性质可得点关于轴对称， ， 点横坐标为， ； 当时，的“关联函数”在第三、四象限， 这与点纵坐标为2不符， 故不符合条件， 综上， 故答案为：； （3）解：①二次函数的图象过，两点， 二次函数的解析式为， ， 当时，， 当时， 中，随的增大而增大， 当时，， ， 解得， 当时，，故不成立； 当时，在时取最小值， 可得， 解得（舍去）， 当时，在时取最小值， 即， 解得（不成立，舍去）， 综上所述，； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 如图，当时，， ， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部的存在的图象点纵坐标y随x的增大而增大，故成立； 如图，，即时， ， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部存在两段图象，故不成立； 如图，，即时， ， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部存在点纵坐标y随x的增大而减小，故成立； 如图，当时， ， 此时，以为对角线的矩形中不存在图象，故不成立； 当时， 即时， ， 此时，以为对角线的矩形中不存在图象，故不成立； 当时，， ， 此时，以为对角线的矩形中不存在图象，在矩形内部存在点纵坐标y随x的增大而增大，故成立； 当时，， ， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部的存在的图象有两段，故不成立； 综上所述，或或． 研考点·通技法 1.分析题意，结合图像找出多种情况； 2.确定每种情况间的临界点，求出对应数值； 3.结合图像确定取值区间。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线过点，，点，点是抛物线上两点、将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线的表达式； (2)当、重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式； (4)矩形的顶点分别为，，，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由、重合可得，解得，再代入到抛物线的表达式即可求解； （3）利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴和顶点坐标，由抛物线的顶点在图象上，可得出图象的最低点的纵坐标，再分①点在对称轴左侧，点在对称轴右侧；②点在对称轴左侧，点在对称轴右侧两种情况讨论，表示出对应的最高点的纵坐标，即可求出与之间的关系式； （4）根据矩形的性质得到，令，求出抛物线与直线的交点和，再分①点在点的左侧；②点在点的右侧两种情况讨论，根据图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，结合四个点的相对位置分析，列出关于的不等式即可求解． 【详解】（1）解：代入，到， 得，解得：， 抛物线的表达式为． （2）解：、重合， ， 解得：， 代入到，得， 点的坐标为． （3）解：， 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 抛物线的顶点在图象上， 图象的最低点的纵坐标为，且点、在抛物线的对称轴的两侧， ①若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即，解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又， 图象的最高点为点， 图象最高点的纵坐标为， ； ②若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即，解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又， 图象的最高点为点， 图象最高点的纵坐标为， ； 与之间的关系式为． （4）解：矩形，，，， ， ，，， 点在直线上， 令，则， 解得：，， 抛物线与直线交于点和， 共线； ①当点在点的左侧，即，解得， 图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小， ， 解得：； ②当点在点的右侧，即，解得， 若点在直线右侧或直线上， 图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小， ，此时不等式组无解，舍去； 若点在直线左侧， 图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小， ， 解得：； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值、矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 2．（2026·辽宁阜新·一模）如图1：在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)点的坐标为______；点的坐标为______；点的坐标为______； (2)求出长度； (3)把二次函数图像沿水平方向，向右平移1个单位长度，得到一个新的二次函数．点，点为新抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为．当新抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值的最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围； (4)在（3）条件下，过，两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，新二次函数图像顶点为，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值．（直接写出答案）． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)m的值为或 【分析】（1）令，解方程得；令得，结合A在B左侧，得； （2）由，在中，，由勾股定理即可计算； （3）先求得函数最小值为，再根据函数的增减性求得，然后分当时；当时；根据函数值最大值与最小值差为，列式即可求解； （4）分两种情况：①当为最高点或，对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部；②当为最高点时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部；分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 解得，； 当时，， ∵在左侧， ∴，，； （2）解：由（1）得，在中，，，． ∴ ； （3）解：由题意得，， ∵将抛物线向右平移1个单位， ∴新抛物线解析式为：， 新抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时，函数有最小值为， 点的横坐标为m，点的横坐标为， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大， 且， 解得， 当时， 解得， 在时，抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值最大值为，最小值为， 又函数值最大值与最小值差为， ， 即； 当时， 解得， 当时，抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值最大值为，最小值为， 又函数值最大值与最小值差为， ， 即． 综上，与m的关系式为； （4）解：当，两点关于对称轴对称时，即 解得， ∵新抛物线为， ∴新顶点为， 分两种情况：①当为最高点或，对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部，如图， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，， 又轴， ， ， 点Q到该正方形边的最小距离是1，， ， ， 四边形正方形， ，即 解得，（舍去）； ②当为最高点时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部，如图， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，， 又轴， ， ， 点Q到该正方形边的最小距离是1，， ， ， 四边形正方形， ，即 解得（舍去），； 综上，当点在该正方形内部，点Q在该正方形外部，且点Q到该正方形边的最小距离是1，m的值为或． 【点睛】本题核心是利用二次函数的对称轴分析范围内的最值，结合平移、分类讨论思想，将函数问题与正方形的几何性质结合求解，是函数与几何综合题的典型应用． 3．（2025·辽宁大连·一模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①或；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）直接利用对称轴的计算公式计算即可； （2）分和，利用二次函数的增减性进行求解即可； （3）①求出的坐标，进而求出的解析式，由题意，求出，，利用矩形的周长公式列出方程进行求解即可； ②求出抛物线的顶点坐标，进而求出翻折后的抛物线的解析式，求出翻折后的抛物线的顶点恰好在轴上，和翻折后的抛物线恰好经过原点两种临近情况的值，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 故答案为：； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 综上：或； （3）①当时，则：，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F，轴，交于点H， ∴，，，， ∴，， ∴当矩形的周长为时，， ∴， 当，即：时，， 解得：或（舍去）； 当，即：时，， 解得：； 综上：或； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 由题意，得：直线的解析式为， ∴点关于的对称点为：， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：， ∴， 当抛物线过原点时，则：，解得：， ∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴， ∴． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项07 二次函数综合压轴（一） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，二次函数综合是解答题最后一个压轴题的必考题型，分值约13分左右． 命题趋势：解答题：二次函数综合稳定在倒数第一个压轴题的位置进行考察，考察方向较多，题型变化多样，包括但不限于传统的二次函数代几综合问题，如线段周长关系或最值问题面积关系或最值问题、三角形存在性问题、四边形存在性问题、角度关系问题、相似三角形问题等，也包括近2年新中考后出现的新考向，如二次函数中结合新定义问题、根据公共点个数求参数、根据最值情况求参数、函数图象平移与翻折问题等。整体难度较大，考查综合能力的运用，计算量也较大。 2026年预测：解答题会继续在倒数第一题的位置单独命题二次函数综合题，形式稳定。新定义型问题热度只增不减，平移与翻折结合仍是考查重点，最值求参问题也可能继续出题；线段与面积相关问题作为传统考向不容忽视，三角形与四边形存在性问题、相似三角形问题、角度问题等可能会融合到新情境中结合考查。整体综合性更高，对计算准确率要求更高，分类讨论情况要准确。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目描述中抽象出问题模型，对新定义理解正确，对图形是否为多种情况进行细致分类把控，计算准确，注意对应情况解的合理性，书写步骤规范。 题型01 二次函数的新定义问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁大连·二模）定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）． (1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由； (2)求二次函数的解析式； (3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m． ①求证：点Q是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． (4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围． 研考点·通技法 1. 解读新定义，翻译条件：圈出新定义中的关键词（如“关联点”“k倍函数”），将其转化为数学表达式（如坐标关系、函数形式）。用具体数值代入帮助理解，避免被抽象符号干扰。 2. 用待定系数法求出函数解析式，再按常规二次函数问题处理。 3. 联立方程找交点或范围：按定义将二次函数与一次函数、反比例函数等联立，利用判别式、根与系数关系或不等式组求解参数。注意定义中隐含的限制（如“异于原点”）。 4. 数形结合验证解：画出大致图像，验证解是否满足定义中的几何条件（如“始终在下方”即无交点且大小恒定）。新定义下的存在性问题常需分类讨论，最后检验端点值是否符合定义。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁盘锦·二模）已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“级函数”，点和点分别在函数和的图象上，此时称点为点关于的“级点”．例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”，点为点关于的“2级点”． (1)如图，点在反比例函数的图像上，当点为点关于的“级点”时，求点的坐标； (2)函数是函数的“级函数”，并且经过点． ①求的值； ②若点在函数的图像上，点为点关于的“级点”，当点在点上方时且，请直接写出点的坐标_________； (3)函数为函数的“级函数”，点在函数的图象上，点为点关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求的值； ②记函数为函数、中的较大值，若，求的值． 2．（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，点Q的坐标为，那么称点Q是点P的“相关点”． 例如，点的“相关点”点Q的坐标为． (1)当时，反比例函数的图象经过点P，则点P的“相关点”点Q的坐标是　 　 ； (2)点P的“相关点”点Q的坐标为，一次函数的图象经过点Q，与x轴交于点M，求证； (3)抛物线经过点A（4，0）和点O（0，0）．点Q是点P的“相关点”，若，直线AQ与抛物线交于点C，，求n的值． 3．（2025·辽宁本溪·三模）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行，则称该矩为点的“对角矩形”． (1)如图2，点的坐标为． ①若点的坐标为，则点的“对角矩形”的周长为___________； ②直线与轴交于点，与轴交于点，在线段上存在点，使点的“对角矩形”为正方形，请求出点的坐标； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若点的“对角矩形”面积为9，求的值； (3)已知，点是抛物线上的点． ①若，点在第一象限，且点在点的上方，当时，求点的“对角矩形”的周长的最大值及点的坐标； ②若，当点的“对角矩形”与抛物线存在两个交点时，求出的取值范围． 4．（2026·辽宁·模拟预测）定义：已知是关于自变量的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“倍差函数”在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． (1)求函数“倍差函数”的函数表达式； (2)如图，点在函数（）的图象上，当点“关于的倍差点”的纵坐标为时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的倍差点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②当时，过点作轴的平行线，与函数的“倍差函数”的图象交于点，连接，设的和为，求关于的函数表达式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，当直线与函数的图象有3个交点时，从左到右依次记为点，，横坐标分别为，当时，求的值． 题型02 二次函数的公共点求参问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线经过点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)将抛物线向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线，已知抛物线与轴交于两点，其中右边的交点为点C．点从点O出发沿轴向终点运动，过点作轴的垂线，交直线于点D，以为边在的右侧作正方形． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②若点在线段上，过点作轴的垂线，与抛物线相交于点，以为边作正方形，设经过Q，M两点的直线为，在点运动的过程中，当正方形与抛物线，有三个公共点时，结合函数图象求的取值范围． 研考点·通技法 1. 分析题意，结合图像找出多种情况； 2. 确定每种情况间的临界点，求出对应数值； 3. 结合图像确定取值区间。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点，E是第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点G，过点E作轴交直线于点F，交x轴于点H，设E点横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标； (2)当时，求的长； (3)作轴，且M点横坐标为，以为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求m的取值范围； ②当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出m的值． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于平面直角坐标系中的函数叫做“对美函数”，其中f(x)是用自变量x表示的函数，“对美函数”的本质是分段函数． 例如：“对美函数”， (1)将“对美函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中的“对美函数”的图象交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C在直线下方的“对美函数”上，且，求点C的坐标； (3)直线与（1）中的“对美函数”有2个交点时，请直接写出k的取值范围． 3．（2025·辽宁盘锦·一模）①我们规定：二次函数与互为中心对称函数； ②定义：表示两个数中的最小值，对于函数和，当时，；当时，，则函数． (1)已知二次函数，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大．则该二次函数的解析式为______，其中心对称函数的解析式为______．并求出当、同时随增大而减小时，的取值范围． (2)在（1）的条件下，求出函数； (3)若宽为3的矩形中，点，矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，直接写出的取值范围． 4．（2025·辽宁·模拟预测）★定义：符合一定条件的动点所形成的图形叫做轨迹． 在二次函数中，我们可以发现一类含有参数的抛物线，这类抛物线随着参数的变化而变化，主要可以分为二次项含参与非二次项含参的抛物线．一般地，对于这两类抛物线，我们都可以通过探究顶点的轨迹来确定它们的运动路径． 已知函数，其中为常数，记函数的图象为G． (1)当时，已知在图象上，求的值； (2)已知函数图象的左支顶点坐标为，求关于的函数关系式（无需写出自变量的取值范围）； (3)在平面直角坐标系中存在直线，设函数表示直线与间函数最大值与最小值的差．求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (4)在题目的条件以及定义的提示下，请从下列两个问题中选取一个问题作答，选取第一个问题作答得4分，选取第二个问题作答得2分，请在答题卡上标出你所选择问题的序号并写出答案．若同时选取①，②进行作答则按照第一个解答内容计分． ①已知四边形的顶点坐标分别为．若图象与四边形有两个公共点，请直接写出的取值范围． ②平面直角坐标系中存在直线，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 题型03 二次函数的最值求参问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，连接，交线段于点，求的最小值； (3)若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有三个动点． ①当点在点左侧时，、两点（含，两点）之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值和最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 研考点·通技法 1.一般式化为顶点式：y =a(x-h)²+k，顶点(h,k)即为最值点（a>0时最小，a<0时最大）。 2.给定区间的最值：比较顶点横坐标是否在区间内，再比较区间端点函数值。 3.实际问题：先建立二次函数模型，确定自变量取值范围（通常为整数或正数），再利用顶点或端点求最值。 4.含参数问题：常需分类讨论对称轴与区间的位置关系（左、中、右）。 5.平移、对称后的最值：先求变换后的解析式，再按常规方法求最值。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象经过点． (1)求，的值． (2)直线与二次函数，的图象分别交于点，，与直线交于点，当时， ①求证：； ②当时，求的长． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，直接写出的值． 2．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，抛物线与x轴相交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，点，是抛物线上的点，若，h为抛物线上P，Q两点之间的曲线部分的最高点与最低点纵坐标的差，，f叫做抛物线上P，Q两点的特征值． (1)若点P在第一象限，点Q在y轴上，求f关于t的函数解析式； (2)若点P与点C不重合，抛物线上P，C两点的特征值与A，T两点的特征值相等，求点P的坐标； (3)点P，Q是抛物线不同的两点，点Q在点P的左侧，连接PQ，若轴，抛物线上P，C两点的特征值为，抛物线上C，Q两点的特征值为．若最小值为，最大值为，求t的取值范围． 4．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，抛物线的顶点为，交轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧）． (1)求点，，的坐标（用含的式子表示）； (2)顺次连接，，，四点，当四边形的面积为时． ①求的值； ②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值． 题型04 二次函数的平移问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁营口·一模）已知是自变量x的函数，若（为常数且为整数），则称是x的“a维函数”，例如：x的“1维函数”为；称（t为常数且为整数）是x的“t阶a维函数”，例如：x的“2阶1维函数”为． (1)写出自变量x的“3阶维函数”的表达式． (2)已知函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和，请写出y的表达式． (3)在满足（2）的条件下，设函数y的图像M上的最低点为A，与y轴交点为B，点C为图像M上一定点，若将图像M向右平移，保持最低点始终在直线上，记平移后得到的图像为N．当点A平移到点H时，此时图像M上的点C移至B点． ①求在平移过程中，图像M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S． ②如果过点和的直线与图像M、图像N都相交且只有3个交点，请直接写出m的值． 研考点·通技法 1. 顶点平移法：二次函数图像平移本质是顶点移动。将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k，平移后顶点变为(h', k')，新解析式易得。左右平移m：h'=hm；上下平移n：k'=kn。 2. 点坐标对应变换：若抛物线平移，其上所有点按相同规则移动。已知原抛物线一点(x0,y0) 和平移后对应点(x1,y1)，可反推平移向量，再应用到顶点。 3. 与几何图形结合：平移后若与某线段或抛物线有交点，常转化为方程有解（判别式≥0）或区间端点值异号。注意平移方向不明确时需分类讨论，避免漏解。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·二模）与二次函数的二次项系数相同的二次函数统称为“系二次函数”．由初中阶段学习可知，二次函数的二次项系数决定函数图象的开口方向和大小，所以“系二次函数”的图象与的图象开口方向相同，形状相同；从平移变换角度来看，“系二次函数”可以看作是由二次函数的图象沿轴和轴作平移变换得到的．如“1系二次函数”是由沿轴向下平移2个单位距离后得到的． (1)如图1，已知“系二次函数”是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到，其中点平移后的对应点为，连接，，得到四边形，若四边形的面积为18，求的值； (2)如图2，已知为上的点，为等腰直角三角形，，将作平移变换后得到“系二次函数”（为大于零的常数），该函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点平移后的对应点分别为，直线与轴交于点． ①求点的纵坐标； ②若，求的值； ③在②的条件下且时，连接．点分别从点以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行，当点到达原点时，两点停止运动，过点的直线轴，交直线于点，求的面积与点的运动时间（秒）的函数关系式，并求出的最大值． 2．（2025·辽宁抚顺·二模）对于函数定义变换：当时，函数值不变；当时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换后的函数称为原函数的“变换函数”． 如：一次函数，变换函数为． (1)已知反比例函数，请写出它的“变换函数”的表达式； (2)已知二次函数，点在它的“变换函数”的图象上，求a的值； (3)在平面直角坐标系内，有点，，将二次函数沿y轴方向平移t个单位长度（向上平移时，向下平移时），平移后的函数记为． ①若的“变换函数”经过点M，求t的值； ②若的“变换函数”与线段恰有两个公共点，求t的取值范围． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）已知是的函数，其图象记为，定义函数为的级“递美函数”， 的函数图象是将函数的图象整体向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，图象记为，其中叫作“递美级数”．例如：函数，其1级“递美函数”为 ，“递美级数”为1． (1)求函数的2级“递美函数”的解析式． (2)判断是否存在函数的“递美函数”的函数图象经过原点．若存在，求出“递美级数”的值；若不存在，请说明理由． (3)已知函数 的图象经过点，其5级“递美函数” 的图象经过点， ①求的函数解析式； ②若记函数，且满足，求的值； ③在②的条件下，函数与函数的图象交于三点，从左到右依次记为，请直接写出的值． 4．（2025·辽宁丹东·一模）定义：为函数的“基因数”，若点（k为常数且）在这个函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如的“基因数”是，点是函数的2倍值点，的“基因数”是，点是函数的倍值点． (1)若函数的“基因数”是，则函数向上平移1个单位，得到函数，则函数的“基因数”是________； (2)若函数的“基因数”是，将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象，则函数的“基因数”是________； (3)若函数的“基因数”是，且图象过点，点，点，当时，求n的取值范围； (4)设函数的“基因数”是，点A是在第一象限的1倍值点，作射线，在射线上取一点，，过点B作y轴的平行线交的图象于点C，过点C作x轴的平行线交的图象于点D，以，为边作矩形． ①求矩形周长最大时点C的坐标； ②在①的结论下，矩形不动，将的图象沿方向平移个单位得到，在上恰存在的k倍值点M，使直线将矩形的面积均分，请直接写出点M的横坐标． 题型05 二次函数的翻折对称问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)①判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； ②判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； (2)设函数，的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 研考点·通技法 1. 抓住翻折是轴对称：翻折后图像与原图像关于直线（如x轴、y轴、直线y=x）对称。点(x,y)翻折后坐标变为(x,-y)（关于x轴）或(-x,y)（关于y轴），利用此求新解析式。 2. 分段函数处理：翻折常只折叠图像的一部分（如x轴下方翻到上方）。先画出原抛物线，确定翻折边界（交点），保留未翻折部分，翻折部分用对称变换得到新表达式，形成分段函数。 3. 分类讨论动点与边界：综合题中，翻折后某动点落在特定区域，常需讨论点位于原图像还是翻折部分。根据对称性列方程，注意验证解是否在对应的定义域内。结合临界位置（如翻折边界点）求参数范围。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁阜新·一模）在数据可视化场景中，定义一种m阶界点重构函数：对于函数，按如下规则构造新函数，称为的阶界点重构函数．例如：当时，函数经2阶界点重构变换后：当时，；当时，；得到界点重构函数 (1)一次函数的2阶界点重构函数表达式是______； (2)反比例函数经2阶界点重构变换后为，若直线与的图象交于两点，且这两点间的距离为6，求的值； (3)已知点是二次函数的4阶界点重构函数图象上的一点，点是的4阶界点重构函数图象上一点，若轴，设的横坐标为，长为，求当时，的值； (4)已知二次函数，点、连接，，若线段与二次函数的阶界点重构函数图象只有1个公共点时，直接写出的取值范围． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 3．（2025·辽宁铁岭·二模）【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标，我们称这个点为平衡点． 【概念理解】 （）若双曲线上存在两个平衡点，，且，则的值是____________； 【概念应用】 （）如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为． ①当时，求图象上的平衡点的坐标； ②若图象上存在两个平衡点，求值． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 5．（2025·辽宁营口·三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”． (1)求直线上的“倍点”的坐标； (2)已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，，设，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，，，且满足，，求m的值． 题型06 二次函数的增减性求参问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁盘锦·一模）已知和都是自变量x的函数，若当时，，当时，，则称函数为函数的“关联函数”．例如：函数，则称为函数的“关联函数”，图1、图2分别为、的图象． (1)若点在函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (2)点P是反比例函数图象上的一点，且纵坐标为2，过点P作轴，交的“关联函数”的图象于点Q，当时，则________． (3)二次函数的图象过，两点， ①当时，的取值范围是，求n的值； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 研考点·通技法 1.分析题意，结合图像找出多种情况； 2.确定每种情况间的临界点，求出对应数值； 3.结合图像确定取值区间。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线过点，，点，点是抛物线上两点、将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线的表达式； (2)当、重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式； (4)矩形的顶点分别为，，，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 2．（2026·辽宁阜新·一模）如图1：在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)点的坐标为______；点的坐标为______；点的坐标为______； (2)求出长度； (3)把二次函数图像沿水平方向，向右平移1个单位长度，得到一个新的二次函数．点，点为新抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为．当新抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值的最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围； (4)在（3）条件下，过，两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，新二次函数图像顶点为，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值．（直接写出答案）． 3．（2025·辽宁大连·一模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $