精品解析：海南海口海港学校2025－2026学年下学期九年级数学5月模拟试卷

海南海口海港学校2025-2026学年下学期初三数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 2. 如图，是一个长方体的三视图，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（ ） A. 3，3 B. 2，2 C. 2，3 D. 3，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要是考查三视图的基本知识．解决本题的关键是理解长方体的三视图．由主视图所给的图形可得到俯视图的对角线长为，利用勾股定理可得俯视图的边长，根据主视图可以得出高． 【详解】解：设俯视图的正方形的边长为a， ∵其俯视图为正方形，正方形的对角线长为， ∴， 解得：，负值舍去， 根据主视图可知这个长方体的高为3． 故选：D． 3. 是下列哪个数的科学记数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据2.34×106，可以把2.34的小数点向右移动6位得出即可． 【详解】2.34×106=2340000． 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法-原数，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向后移几位． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方和合并同类项的法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 5. 当时，代数式的值为10，则当时，代数式的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式的整体求值，注意正确地进行运算是解题的关键．先根据时代数式的值为10，求出的值，再利用奇次幂的性质得到时的值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴原式． 故选：A． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解： ， ∴， 经检验：是原方程的解； 故选D． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 7. 某市五月连续10天的最高气温统计如下： 气温 天数 2 2 4 1 1 则最高气温的中位数和众数分别是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数就是出现次数最多的数据，由此即可得到答案． 【详解】解：由表格可得： 出现的次数最多，有4次，故最高气温的中位数是， 将10个数据按从小到大排列为：、、、、、、、、、， 处在最中间的两个数据为、， 故中位数为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握中位数和众数的定义是解此题的关键． 8. 如图，，点在直线上，，交于点G，点F位于直线下方，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查余角、对顶角及平行线的性质；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故选：B． 9. 若关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式进行计算即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等实数根， ∴且 解得：且 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程 ()的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 10. 如图，在中，，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧，分别交线段，于点E，F，连接；以点D为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点G；以点G为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段长为半径所画弧于点H，作射线交于点I，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程证明，从而得到，进而判断，最后利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，现将等边向右平移适当长度得到对应，且，交于点P，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作轴于点F，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点C作轴于点F，如图所示： 由平移可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及判定、坐标与图形及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及判定、坐标与图形及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 12. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质等，由“”可证，可得，进而由三角形中位线定理可得，，可得，即可判断①和②；由菱形的判定可证四边形是菱形，即可判断④；由全等三角形的性质和中线性质可得，，即得即可判断④，综上即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，故①和②正确； 连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故③正确； 综上，正确的个数是个， 故选：． 二、填空题 13. 若，用含的式子表示为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 关于、的方程组的解满足，则的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得，则，再根据已知条件建立方程求解即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于、的方程组的解满足， ∴， ∴． 15. 如图，点为⊙外一点，过点作的切线、，点、为切点．连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB，在中应用勾股定理求得的半径为3，再根据，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：连接OB， ∵、为的切线， ∴，， ∴， ∴， 设的半径为r，则， 在中，，即，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线长定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理的应用等内容，作出合适的辅助线是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为6，P为边上的动点，连接，作交边于点Q．当点P从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质定理的综合运用，利用二次函数求最值得问题，连接，取的中点O，连接，由中位线的性质得，且，所以点M的运动路径是一条线段，求运动路径就是求的最大值的一半．设，建立x，y的函数关系式，讨论函数y的最大值． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， 由中位线的性质得，且， ，得点M运动路径是经过点O且平行于的一条线段， 设设， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， ，得， ∴当时，的最大值为， 的最大值为， 即点M的运动路径从O到M再到O，路径长． 故答案为：． 三、解答题 17. （1）； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式、绝对值，计算零指数幂、负整数指数幂，求特殊角的三角函数值，再计算加减即可； （2）先求出每一个不等式的解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得到不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 18. 综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】（1）每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 （2）采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【解析】 【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； 【小问2详解】 解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 19. 近年来，人工智能领域技术不断突破，创新成果逐渐融入社会各个领域，深刻改变着人们的日常工作、生活方式．有关人员开展了A，B两款机器人使用满意度的评分问卷调查活动，并从中各随机抽取相同数量的问卷，将收集的数据进行整理后分为四个等级（为满意度评分）：不满意，良好，满意，非常满意，部分信息如下： A款机器人评分在这一组的具体数据是：78，74，79，75，79，78． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的问卷共有 份，A款机器人评分的中位数为 分；扇形统计图中表示“良好”的圆心角 °； （2）对A款机器人感到满意的人数是否超过一半？ （3）在此次问卷调查活动中，若有200人对B款机器人进行评分，请估计此次问卷调查活动中对B款机器人非常满意的人数； （4）根据以上绘制的统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可） 【答案】（1）40，78.5，108 （2）对A款AI机器人感到满意的人数未超过一半 （3）估计此次问卷调查活动中，对B款AI机器人非常满意的人数为20人 （4）从满意度为满意的人数看，人们更喜欢使用B款AI机器人（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，中位数，用样本估计整体，读懂条形统计图与扇形统计图是解题的关键． （1）由条形统计图可得调查A款机器人的问卷数，进而可求出本次抽取的问卷数．根据中位数的定义可求出A款机器人评分的中位数．先求出B款机器人“良好”的百分比，乘以即可求出圆心角； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）将200乘以B款机器人评分为非常满意的百分比即可解答； （4）根据条形统计图和扇形统计图分析即可． 【小问1详解】 解：∵由条形统计图可得调查A款机器人的问卷有（份）， ∴本次抽取的问卷共有（份）； ∵A款机器人评分从小到大排序后，处于第11，12个数据是78，79， ∴中位数为； ∵B款机器人“良好”的百分比为， ∴． 故答案为：40；78.5；108 【小问2详解】 解：由（1）得对A款机器人评分的中位数为78.5分， ∵78.5分分， ∴对A款AI机器人感到满意的人数未超过一半； 【小问3详解】 解：由扇形统计图可得，在本次抽取的问卷中对B款机器人评分为非常满意的有， ∴（人）， 答：估计此次问卷调查活动中，对B款机器人非常满意的人数为20人； 【小问4详解】 解：从满意度为满意的人数看，人们更喜欢使用B款机器人． 20. 如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里，渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时从B测得渔船在北偏西的方向． （1）填空：=_______度，=_______度； （2）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）； （3）在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达处．（参考数据：） 【答案】（1）60；45； （2）（）海里； （3）补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，，，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用角的和差关系可得，即可解答； （2）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点作，垂足为，先在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， 故答案为：60；45； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 在中，， 海里， 海里， 在中，， 海里， 海里， ∴观测站、之间的距离为海里； 【小问3详解】 补给船能在83分钟之内到达C处， 理由：过点作，垂足为， 在中，，海里， 海里， 在中，， 海里， 补给船从B到C处需要的时间小时（分钟）， 分钟分钟， 补给船能在83分钟之内到达C处． 【点晴】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若，分别是第一象限内抛物线上两点，且，求的取值范围； （3）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，点G是第四象限内抛物线上一个动点，过点作的平行线，分别交x轴，y轴，于点D，E，F． ①求线段的最大值； ②在点运动的过程中，是否存在点恰好是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①；②存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴可得，求出的值，由此即可得； （2）先求出二次函数与轴的交点为，在第一象限内，抛物线上的点的横坐标大于6，且随的增大而增大，再根据二次函数的增减性可得，由此即可得； （3）①过点作轴于点，先证出，则可得，再求出，代入可得，则当的值最大时，的值最大，由此即可得； ②先求出直线的解析式为，直线的解析式为，再设点的坐标为，求出直线的解析式为，则可得，过点作轴于点，则，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，最后分两种情况：、，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴当时，随的增大而增大， 令，则，解得或， ∴二次函数与轴的交点为， ∴在第一象限内，抛物线上的点的横坐标大于6，且随的增大而增大， ∵，分别是第一象限内抛物线上两点，且， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：①如图，过点作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 将代入二次函数得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， ∵点是第四象限内抛物线上一个动点， ∴当点为抛物线的顶点时，的值最大，最大值为， ∴的最大值为． ②设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∴可设点的坐标为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：，即， 如图，过点作轴于点， ∴轴，，，， ∴， ∵点恰好是线段的三等分点， ∴点位于轴正半轴上，且或， ∴，且，即， 又∵轴， ∴， ∴， ∴或， 解得（符合题意，且是所列分式方程的解）或（符合题意，且是所列分式方程的解）， ∴或， 综上，在点运动的过程中，存在点恰好是线段的三等分点，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 等腰三角形纸片，，点在底边上（点不与点，重合），将这个纸片沿折叠，点的对应点是点． 猜想证明： （1）如图1，当时，过点作于点，试判断的形状，并说明理由； 问题延伸： （2）在（1）的条件下，与相交于点，当点是中点时，求证：； 问题解决： （3）如图2，当为等边三角形时，点在上，，过点作，交于点，连接． ①直接写出的度数； ②求证：． 【答案】（1）为等腰直角三角形；证明见解析；（2）见解析；（3）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质证明，进而可以解决问题； （2）证明，得，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题； （3）①根据为等边三角形，得，根据，得，进而可以解决问题； ②在上取一点，使，连接，证明是等边三角形，得，，然后证明，得到，进而可以解决问题； 本题主要考查几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【详解】（1）为等腰直角三角形； 证明：有题意可得 则． ， ， ． ． （2）证明：点是中点， ． ，， 又． ． ． ． ，， ． （3）① ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴； ②在上取一点，使，连接， 是等边三角形， ，． ， ，，． ， 是等边三角形． ，． ． ，， ∵ ． 即． ． ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海口海港学校2025-2026学年下学期初三数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是一个长方体的三视图，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（ ） A. 3，3 B. 2，2 C. 2，3 D. 3，2 3. 是下列哪个数的科学记数（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 当时，代数式的值为10，则当时，代数式的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. 9 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 某市五月连续10天的最高气温统计如下： 气温 天数 2 2 4 1 1 则最高气温的中位数和众数分别是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，，点在直线上，，交于点G，点F位于直线下方，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，在中，，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧，分别交线段，于点E，F，连接；以点D为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点G；以点G为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段长为半径所画弧于点H，作射线交于点I，则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，现将等边向右平移适当长度得到对应，且，交于点P，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 若，用含的式子表示为___________． 14. 关于、的方程组的解满足，则的值为________． 15. 如图，点为⊙外一点，过点作的切线、，点、为切点．连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．已知，，则的长为________． 16. 如图，正方形的边长为6，P为边上的动点，连接，作交边于点Q．当点P从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为______． 三、解答题 17. （1）； （2）解不等式组． 18. 综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 19. 近年来，人工智能领域技术不断突破，创新成果逐渐融入社会各个领域，深刻改变着人们的日常工作、生活方式．有关人员开展了A，B两款机器人使用满意度的评分问卷调查活动，并从中各随机抽取相同数量的问卷，将收集的数据进行整理后分为四个等级（为满意度评分）：不满意，良好，满意，非常满意，部分信息如下： A款机器人评分在这一组的具体数据是：78，74，79，75，79，78． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的问卷共有 份，A款机器人评分的中位数为 分；扇形统计图中表示“良好”的圆心角 °； （2）对A款机器人感到满意的人数是否超过一半？ （3）在此次问卷调查活动中，若有200人对B款机器人进行评分，请估计此次问卷调查活动中对B款机器人非常满意的人数； （4）根据以上绘制的统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可） 20. 如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里，渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时从B测得渔船在北偏西的方向． （1）填空：=_______度，=_______度； （2）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）； （3）在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达处．（参考数据：） 21. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若，分别是第一象限内抛物线上两点，且，求的取值范围； （3）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，点G是第四象限内抛物线上一个动点，过点作的平行线，分别交x轴，y轴，于点D，E，F． ①求线段的最大值； ②在点运动的过程中，是否存在点恰好是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 等腰三角形纸片，，点在底边上（点不与点，重合），将这个纸片沿折叠，点的对应点是点． 猜想证明： （1）如图1，当时，过点作于点，试判断的形状，并说明理由； 问题延伸： （2）在（1）的条件下，与相交于点，当点是中点时，求证：； 问题解决： （3）如图2，当为等边三角形时，点在上，，过点作，交于点，连接． ①直接写出的度数； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $