精品解析：青海西宁十一中优质教育集团2025-2026学年第二学期九年级结束课测试数学试卷

2025—2026学年第二学期西宁十一中优质教育集团 初三年级结束课测试数学试卷 （试卷满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】乘积是1的两个数互为倒数．只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是，的倒数是， 则的相反数的倒数是． 2. 如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解． 【详解】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致． 故选C． 【点睛】本题考查了正投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次对每个选项，根据同类项的合并规则、完全平方公式，逐一验证计算是否正确，最终选出正确的选项． 【详解】解：选项A 与不是同类项，不能合并． ，故A项错误． 选项B 根据完全平方公式： ，故B项错误． 选项C 与不是同类项，不能合并． ，故C项错误． 选项D 根据完全平方公式：，等式成立．故D项正确． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B. 抛出的篮球会下落是随机事件 C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定 【答案】D 【解析】 【分析】依据随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A不符合题意； B、抛出的篮球会下落是必然事件，故B不符合题意； C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故D符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，解题的关键是掌握相应知识点的概念． 5. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款AI控制的机器人完成一次精准的动作调整所需时间为0.0000005秒。将该数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 6. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，．下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，垂直平分，由垂直平分线的性质可得，即可判断选项A；证明，，易得，由作图可知，，可知，进而可得，，进而可得，即可判断选项B；证明，，结合相似三角形的性质可得，即可判断选项C；由两个三角形的内角并不对应相等，可知两个三角形不全等，即可判断选项D． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵的三个内角分别为， 的三个内角分别为， 两个三角形的内角并不对应相等，所以两个三角形不全等， 故选项D错误，符合题意． 7. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 8. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ， 点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ， 点D为边的中点， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，分解至不能再分解即可得到结果． 【详解】解：． 10. 若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，利用正多边形的外角和为360°，先求出外角，再计算边数 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴外角是， ∵， 则该多边形的边数为8， 故答案为：8． 11. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 12. 水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为， 故答案为：． 13. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据抛物线解析式，分别将点B、点C和点A的横坐标代入解析式，得出纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】解：由抛物线解析式可得， 当时，； 当时，； 当时，． 由于为常数，故，即． 故答案为． 14. 如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于_______． 【答案】 【解析】 【详解】如图，在直角△AOE中， ， ∴． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴． 故答案： 15. 如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 16. 如图，将正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，若，则的长度为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理；连接、，由旋转的性质可得等边三角形，可得，再利用勾股定理求出即可. 【详解】解：连接、，如图所示： ∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴. 故答案为：. 17. 如图，的弦长为2，是的直径，，，是上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、轴对称最短路径，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接、，易证是等边三角形，进而得到，再证得，延长交于点E，连接交于点P，连接，此时，即的最小值为，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 延长交于点E，连接交于点P，连接，此时，即的最小值为的长， ， ， 是的直径， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 18. 如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】3或6 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理．分类讨论是解题的关键．当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设,则,然后在中运用勾股定理可计算出x，②当点F落在边上时，如答图2所示，此时四边形为正方形． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如答图1所示， 连接，在中，， ， 沿折叠，使点落在点处， ， 当为直角三角形时，只能得到， 点共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图， ， ， ，则， 在中， ， ， 解得， ， ②当点落在边上时，如答图2所示 此时四边形为正方形， 综上所述，的长为3或6 故答案为：3或6． 三、解答题（本大题共9小题，第19题12分，第20题6分，第21题8分，第22题10分，第23题8分，第24题10分，第25题10分，第26题12分，共76分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置） 19. 计算与化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再从不等式的非负整数解中选一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】（1） （2）化简结果为，选取时，值为 【解析】 【分析】（1）原式分别根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，绝对值的性质化简每一项，再合并计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简原式，再解不等式得到非负整数解，选取使原式有意义的的值代入化简后的式子计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 解不等式， 得， 因此不等式的非负整数解为0，1，2， 要使原式有意义，分母不能为， 因此，，， 所以选取， 将代入得：原式． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，然后合并同类项，再整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 21. 如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： （1）反比例函数上的解析式； （2）的面积． 【答案】（1） （2）的面积是2 【解析】 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 22. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母，，，表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次接受随机抽样调查的人数是 人；并补全条形统计图； （2）该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ （3）该校甲、乙两位同学分别从博物馆、动物园、植物园、海洋馆中选择一处作为研学地点，请利用树状图或列表法求他们恰好选中同一处研学地点的概率． 【答案】（1），补全条形统计图见解析； （2）估计该校有名学生想去海洋馆； （3）他们恰好选中同一处研学地点概率为． 【解析】 【分析】（）用的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出组的人数，画出统计图即可； （）用乘样本中所占比例即可； （）根据列表法列出所有可能得情况，然后用概率公式即可求解； 本题主题考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：此次接受随机抽样调查人数（人）， 组人数为（人）； 补全条形统计图如图： 故答案为：； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计该校有名学生想去海洋馆； 【小问3详解】 解：根据题意，列表如下： 共有种等可能的结果，其中他们恰好选中同一处研学地点的结果有种， ∴他们恰好选中同一处研学地点的概率为． 23. 为传承青海高原生态保护精神，某校九年级购进电视剧《生命树》相关纪念画册和科普书签用于班级图书角和研学活动。付费总额分别为元（画册）和元（书签），已知画册的订购单价是书签订购单价的倍，且画册的订购数量比书签多本． （1）求该校九年级订购的纪念画册和科普书签的单价分别是多少元？ （2）该校九年级某班计划再采购这两种物品共本备用，其中画册的订购数量不低于本，且总费用不超过元．求这个班订购这两种物品有多少种方案？并写出每种方案的具体订购数量． 【答案】（1）纪念画册单价是元，科普书签单价是元． （2）共有种订购方案.方案：订购纪念画册本，科普书签本；方案：订购纪念画册本，科普书签本；方案：订购纪念画册本，科普书签本． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用： （1）设科普书签订购单价为元，则纪念画册的订购单价是元，根据等量关系：画册的订购数量书签的订购数量，列方程求解即可； （2）设纪念画册的订购数量是本，则科普书签的订购数量是本，根据题目中存在的不等关系：纪念画册的费用科普书签的费用，列不等式求解即可． 【小问1详解】 设科普书签订购单价为元，则纪念画册的订购单价是元． 根据题意，得 解得 则 所以纪念画册单价是元，科普书签单价是元． 【小问2详解】 设纪念画册的订购数量是本，则科普书签的订购数量是本． 根据题意，得 解得 所以． 共有种订购方案： 方案：订购纪念画册本，科普书签本； 方案：订购纪念画册本，科普书签本； 方案：订购纪念画册本，科普书签本． 24. 如图，是的直径，点在上，连接，，作交于点，交于点． （1）求证：． （2）过点作的切线交的延长线于点，求证：四边形是矩形； （3）若，，______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，平行线的性质可得出，然后根据垂径定理即可得证； （2）根据切线的性质，圆周角定理，垂径定理求得，即可得到四边形是矩形； （3）根据（2）中四边形是矩形，则，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图， ∵是的切线， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵，， ∴． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． （1）请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； （2）若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； （3）在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）2 （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）分别将、代入抛物线，求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）连接，则，易证得、、是等腰直角三角形，进而得到点的纵坐标为，从而求出点的坐标，根据进行求解即可； （3）设点，点，分情况讨论：当为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得或， 点在点的左侧， 、， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， 、， ， ， 是等腰直角三角形， ， 、， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 点的纵坐标为， 令，， 解得或（舍去）， 、； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 由（1）知、， 设点，点， 分情况讨论： ①当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； ②当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或（舍去）， ； ③当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质、分类讨论和数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 26. 【思维导图】 丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图． 【初步应用】 （1）如图①，在中，是的中点，连接，过点作于点，若的面积是，求的长． 【推导明理】 （2）如图②，是的中线，若．求的取值范围． 丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长至点，使得，连接，从而得到，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出的取值范围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点作，交的延长线于点，从而得到，进而解决问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【拓展运用】 （3）如图③，在中，，分别是上一点，连接，是的中点，连接，若，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）由中点得，进而得的面积，再根据面积公式构造方程即可得解； （2）延长至点，使得，连接，证明，得，再利用三角形的三边关系即可得解； （3）延长到，使得，连接，证明（）得，，再证明，得，从而得． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵的面积是 ∴的面积， ∵，， ∴即， ∴； （2）解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴（） ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，中点定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期西宁十一中优质教育集团 初三年级结束课测试数学试卷 （试卷满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B. 抛出篮球会下落是随机事件 C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式 D. 若甲、乙两组数据平均数相同，，，则甲组数据较稳定 5. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款AI控制的机器人完成一次精准的动作调整所需时间为0.0000005秒。将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，．下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 因式分解：______． 10. 若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为_______． 11. 已知a、b是方程两根，则的值为__________． 12. 水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 13. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 14. 如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于_______． 15. 如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 16. 如图，将正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，若，则的长度为________ 17. 如图，的弦长为2，是的直径，，，是上的动点，则的最小值是______． 18. 如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为__________． 三、解答题（本大题共9小题，第19题12分，第20题6分，第21题8分，第22题10分，第23题8分，第24题10分，第25题10分，第26题12分，共76分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置） 19. 计算与化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再从不等式的非负整数解中选一个使原式有意义的数代入求值． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： （1）反比例函数上的解析式； （2）的面积． 22. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母，，，表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次接受随机抽样调查的人数是 人；并补全条形统计图； （2）该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ （3）该校甲、乙两位同学分别从博物馆、动物园、植物园、海洋馆中选择一处作为研学地点，请利用树状图或列表法求他们恰好选中同一处研学地点的概率． 23. 为传承青海高原生态保护精神，某校九年级购进电视剧《生命树》相关纪念画册和科普书签用于班级图书角和研学活动。付费总额分别为元（画册）和元（书签），已知画册的订购单价是书签订购单价的倍，且画册的订购数量比书签多本． （1）求该校九年级订购的纪念画册和科普书签的单价分别是多少元？ （2）该校九年级某班计划再采购这两种物品共本备用，其中画册的订购数量不低于本，且总费用不超过元．求这个班订购这两种物品有多少种方案？并写出每种方案的具体订购数量． 24. 如图，是直径，点在上，连接，，作交于点，交于点． （1）求证：． （2）过点作的切线交的延长线于点，求证：四边形是矩形； （3）若，，______． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． （1）请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； （2）若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； （3）在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【思维导图】 丞丞同学通过全等三角形学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图． 【初步应用】 （1）如图①，在中，是的中点，连接，过点作于点，若的面积是，求的长． 【推导明理】 （2）如图②，是的中线，若．求的取值范围． 丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长至点，使得，连接，从而得到，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出的取值范围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点作，交的延长线于点，从而得到，进而解决问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【拓展运用】 （3）如图③，在中，，分别是上一点，连接，是的中点，连接，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $