精品解析：青海省西宁市第十二中学教育集团2024---2025 学年下学期九年级数学第二次模拟试卷

西宁市第十二中学教育集团2024—2025学年度第二学期 九年级数学学科校三模模测试 时间：120分钟 总分：120分 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 的绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件是（　　） A. 同圆中，圆周角等于圆心角一半 B. 投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 C. 参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天 D. 把一粒种子种在花盆中，一定会发芽 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（ ） A. B. 4 C. D. 7. 如图，内接于，且，连接并延长交于点D，交于点E，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的置上） 9. 某种细菌的直径是，将数据的相反数用科学记数法表示为________ 10. 已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值______． 11. 若关于分式方程无解，则的值是______． 12. 在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是________ 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的底面半径是_______． 14. 已知，则代数式的值为______． 15. 如图，在边长为4的菱形中，，以点D为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点E，交于点G，则图中阴影部分的面积是____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，四边形是矩形，四边形是正方形，点在上，，，双曲线经过点A、，则的值为________． 17. 正方形中，点是边上一点，连接，，点是直线上的一点，，连接，则_____度． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式________ 三、解答题（本大题共8小题，第19、20、21、22题每题8分，第23、24题每题10分，第25、26题每题12分，共76分.解答时将必要的文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中是满足不等式组的整数解. 21. 习总书记说：“青山绿水就是金山银山”，环境保护日益受到重视．某校为了培养学生环保意识，结合社团活动开设了一系列环保课程．根据对不同环保课程的报名数据绘制了下面两幅不完整的统计图． （1）该校报名参与环保课程的学生一共有 名，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出“绿色出行”对应的圆心角度数； （3）为了进一步提升学生水资源保护的意识，学校从参与“水资源保护”课程的同学中随机抽选了名同学（两男两女）参加知识竞赛，若要把这名同学随机分成甲，乙两个小组，每组人，请用列表法或画树状图的方式求出甲小组中恰好是一男一女的概率． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当时，求点P的坐标． 23. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． （1）求证； （2）连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 24. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价（为整数）元，每星期售出商品的利润为元，请写出与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）请画出上述函数的大致图象． （3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 26. 定义：在直角梯形中，若斜腰与梯形的一条底边相等，则此直角梯形被称为“斜腰等底直角梯形”． （1）如图1所示，直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，，，，连接，求证：平分； （2）如图2所示，在矩形中，折叠矩形，使点，重合，折痕为，点的对应点为，当时，求证：四边形为“斜腰等底直角梯形”； （3）如图3所示，在中，，，，若以，为边画四边形，当四边形是“斜腰等底直角梯形”时，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西宁市第十二中学教育集团2024—2025学年度第二学期 九年级数学学科校三模模测试 时间：120分钟 总分：120分 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 的绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键．因此此题根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，二次根式的运算，根据积的乘方，幂的乘方，二次根式的除法法则，减法法则，平方差公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 3. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 同圆中，圆周角等于圆心角的一半 B. 投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 C. 参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天 D. 把一粒种子种在花盆中，一定会发芽 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析即可得答案． 【详解】A、同圆中，圆周角等于圆心角的一半，是随机事件，不符合题意； B、投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件，不符合题意； C、参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天，是必然事件，符合题意； D、把一粒种子种在花盆中，一定会发芽，是随机事件，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与的关系列出不等式，即可求出实数k的取值范围. 【详解】解：由题意可知： 解得： ∴且. 故选：D. 【点睛】此题考查的是求一元二次方程中的参数问题，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与的关系是解决此题的关键. 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 6. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．设，由，可得，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，． 设． ． ． ，解得． ． 故选：A． 7. 如图，内接于，且，连接并延长交于点D，交于点E，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】如图，连接， 为的直径， ， ∵均为所对圆周角， ∴， ， 同理：， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形基本性质和相似三角形性质进行分析即可． 【详解】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°， ∴△ABG≌△AFG； ②正确．因为：EF=DE=CD=2， 设BG=FG=x，则CG=6﹣x． 在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2， 解得x=3． 所以BG=3=6﹣3=GC； ③正确． 因为CG=BG=GF， 所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF． 又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF， ∴AG//CF；④错误． 过F作FH⊥DC， ∵BC⊥DH， ∴FH//GC， ∴△EFH∽△EGC， ∴， EF=DE=2，GF=3， ∴EG=5， ∴， ∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=，故④错误， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的置上） 9. 某种细菌的直径是，将数据的相反数用科学记数法表示为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【详解】解∶的相反数是， 用科学记数法表示为， 故答案∶． 10. 已知a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，将原代数式化为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得到， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，，掌握根与系数关系是解决问题的关键． 11. 若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：∵， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴， 解得：， 把代入，则 ， 解得：； 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若将二次函数的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与轴两交点之间的距离是________ 【答案】2026 【解析】 【分析】根据题意，可以先写出平移后的函数解析式，然后求出新函数图象与x轴的交点，从而可以计算出所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离． 本题考查抛物线与x轴交点、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是求出新函数图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：二次函数的图象向上平移4个单位长度后的函数解析式为， 将代入， ∴ 解得，， 所得新函数的图象与x轴的交点坐标为，， ， 所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是2026， 故答案为： 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的底面半径是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据“圆锥的底面周长等于其展开图的扇形的弧长”列式计算即可得． 【详解】解：设该圆锥的底面半径是， 由题意得：， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图是解题关键． 14. 已知，则代数式的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先根据分式混合运算法则化简分式，再根据，得，然后整理体代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式． 故答案为：12． 15. 如图，在边长为4的菱形中，，以点D为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点E，交于点G，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由菱形的性质得出，，由三角函数求出菱形的高，图中阴影部分的面积=菱形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是菱形的高， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，四边形是矩形，四边形是正方形，点在上，，，双曲线经过点A、，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合应用． 解题关键在于利用几何图形的性质准确表示出反比例函数图象上点的坐标， 利用正方形和矩形性质，分别表示出点A、点E坐标．根据双曲线过A、E两点列出方程，解方程得（舍去）或 ，将代入求出答案． 【详解】 四边形是正方形， ，设， 的横坐标为，纵坐标为，即， 四边形矩形，，， ∴， 的横坐标为，纵坐标为，即， 双曲线经过点、， ，， ， （舍去）或， 把代入， ， 故答案为：． 17. 正方形中，点是边上一点，连接，，点是直线上的一点，，连接，则_____度． 【答案】25或45 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等待，分点N在线段上和点N在线段延长线上，两种情况画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点N在线段上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图所示，当点N在线段延长线上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的度数为25度或45度， 故答案为：25或45． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，求一次函数，二次函数的解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.由四边形是矩形得，，则点的坐标为，求出直线的函数解析式为，然后利用面积公式即可求解； 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 延长交轴于点， ∴由图可得，点的横坐标，， ∴，点， 即 ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，第19、20、21、22题每题8分，第23、24题每题10分，第25、26题每题12分，共76分.解答时将必要的文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上） 19. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数、负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解： =5． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数的运算法则，是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中是满足不等式组的整数解. 【答案】，7或4或3 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和代数式的化简与求值，解题的关键在于正确解出不等式组的解集，并准确化简代数式．先将所求式子化简，再求出不等式组的解集，然后根据x是满足不等式组的整数解，将符合要求的x的整数值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 解不等式组得：， 是满足不等式组的整数解， ，，0， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式 21. 习总书记说：“青山绿水就是金山银山”，环境保护日益受到重视．某校为了培养学生的环保意识，结合社团活动开设了一系列环保课程．根据对不同环保课程的报名数据绘制了下面两幅不完整的统计图． （1）该校报名参与环保课程的学生一共有 名，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出“绿色出行”对应的圆心角度数； （3）为了进一步提升学生水资源保护的意识，学校从参与“水资源保护”课程的同学中随机抽选了名同学（两男两女）参加知识竞赛，若要把这名同学随机分成甲，乙两个小组，每组人，请用列表法或画树状图的方式求出甲小组中恰好是一男一女的概率． 【答案】（1），补全条形统计图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用选择“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；分别求出选择“节能减排”和“植树造林”的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以“绿色出行”的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：该校报名参与环保课程的学生一共有（名）， 故答案为：， 参与“节能减排”课程的人数：（名）， 参与“植树造林”课程的人数：（名）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 “绿色出行”对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有种等可能的结果，其中参与“水资源保护”课程中恰好是一男一女的结果有种，参与“水资源保护”课程中恰好是一男一女的概率为． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、平行线的判定等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，再代入一次函数的解析式可得的值，从而可得一次函数的解析式和点的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可得； （2）分两种情况：①当点在直线下方的反比例函数的图象上时，先证出，从而可得直线的解析式为，与反比例函数的解析式联立求解即可得；②当点在直线上方的反比例函数的图象上时，证出，，从而可得，即此时与不可能相等，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵点位于轴上，点的横坐标为2， ∴， 将点代入一次函数 得：，解得， ∴一次函数的解析式为， 将点代入一次函数 得：， ∴， 将点代入反比例函数 得：， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：①如图，当点在直线下方的反比例函数的图象上时， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为． ②如图，当点在直线上方的反比例函数的图象上时， 设直线与轴交于点， 对于一次函数， 当时，，即， 由（1）已得：， ∴， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴，即此时与不可能相等； 综上，点的坐标为． 23. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． （1）求证； （2）连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用证明三角形全等； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，又， ， ． 在和中， ． ． 【小问2详解】 四边形是菱形，理由如下． 连接，交于O， ． ， ． 又， ． ． 四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． ． 四边形是菱形． 24. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价（为整数）元，每星期售出商品的利润为元，请写出与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）请画出上述函数的大致图象． （3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）当降价2元或3元时，每星期的利润最大，最大利润是6120元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）根据题意即可得到结论； （2）根据函数解析式得到相关数据，画出图象即可； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解： 根据题意得： ， 自变量x的取值范围为：，且x为整数， 与x之间的函数关系式为（，且x为整数）； 【小问2详解】 解： ， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， 上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图： ； 【小问3详解】 解∶ ， ， 或3时，y有最大值，最大值为， 当降价2元或3元时，每星期的利润最大，最大利润是6120元． 25. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，则，由切线的性质可知，则，，进而结论得证； （2）如图2，连接，由为的直径，可得，证明为的中点，根据，证明即可； （3）由（2）可知，，，则，证明，则，求的值，则可得的值，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， 由（1）可知，， ∵为的直径， ∴， ∴，即为的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴， ∴的长为9． 【点睛】本题考查了切线性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，弦与弧的关系，相似三角形的判定与性质．熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 定义：在直角梯形中，若斜腰与梯形的一条底边相等，则此直角梯形被称为“斜腰等底直角梯形”． （1）如图1所示，直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，，，，连接，求证：平分； （2）如图2所示，在矩形中，折叠矩形，使点，重合，折痕为，点的对应点为，当时，求证：四边形为“斜腰等底直角梯形”； （3）如图3所示，在中，，，，若以，为边画四边形，当四边形是“斜腰等底直角梯形”时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的长为或或或 【解析】 【分析】（1）根据得出，根据得出，从而，即可得出结论； （2）先根据矩形和折叠的性质证明四边形为直角梯形，再证明得，进而可得为等边三角形，再得，从而得出结论； （3）分四种情形：①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，由勾股定理求出，，再由推出即，可得，再由勾股定理可求；②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，由勾股定理求出，再由可求；③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，由勾股定理求出，再由可求；④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，过点作，垂足为点，则四边形为矩形，设，则，在中，由勾股定理得，即，解方程即可求出． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 证明：在矩形中，，， 由折叠知，，，， ，，， 且与不平行， 四边形为直角梯形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为“斜腰等底直角梯形”； 【小问3详解】 解： 分以下四种情况： ①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点， 则，， 直角梯形为“斜腰等底直角梯形”， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点， 则，， 直角梯形为“斜腰等底直角梯形”， 过点作，垂足为点，则四边形为矩形， 在中，，， ， ； ③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点， 则，， 直角梯形为“斜腰等底直角梯形”， 过点作，垂足为点，则四边形为矩形， 在中，，， ， ； ④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点， 则，， 直角梯形为“斜腰等底直角梯形”， 过点作，垂足为点，则四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，，，，， ， ， 解得， ． 综上所述：的长为或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$