专题06 二元一次方程组的应用【重难点培优：知识梳理+8大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版七年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 聚焦二元一次方程组8大应用场景，以题型分类构建从基础到压轴的知识逻辑链，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |工程问题|4题|含多变量水管注水、生产任务分配|通过工作量关系建立方程组，体现抽象能力| |行程问题|6题|涵盖顺逆水、火车过桥、相遇追及|基于路程公式构建等量关系，发展推理意识| |配套问题|5题|涉及产品配套、板材使用|利用比例关系列方程，培养数学眼光| |销售利润|6题|含价格比较、优惠方案|通过利润公式建立模型，强化应用意识| |方案问题|5题|租车、购买方案设计|结合不等式求解最优方案，提升运算能力| |古代问题|6题|《九章算术》等经典问题|古今问题转化，培养数学文化理解| |其他问题|8题|拼图、积分、快递收费等|跨情境建模，发展创新意识| |压轴真题|11题|各地期末/月考综合题|综合应用多模块知识，对接中考命题|

专题06 二元一次方程组的应用重难点题型分类 【题型1：工程问题 1】 【题型2：行程问题 3】 【题型3：配套问题 5】 【题型4：销售利润问题 9】 【题型5：方案问题 11】 【题型6：古代问题 13】 【题型7：其他问题 15】 【题型8：压轴真题 20】 工程问题题型1 1．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 3．如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 4．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 行程问题题型2 1．轮船顺流航行时的速度为m千米/小时，逆流航行时的速度为千米/小时，则水流速度（   ） A．3千米/小时 B．4千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定 2．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 3．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 4．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 5．苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 6．点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y． (1)那么a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； (2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数； (3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是　 　单位长度； (4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由． 配套问题题型3 1．某农副产品经销商打算将一批农副产品运往网点销售，现有大货车、小货车运送该批农副产品．已知2辆大货车与1辆小货车一次运送农副产品38吨；1辆大货车与2辆小货车一次运送农副产品31吨（每辆货车都装满）． (1)求一辆大货车与一辆小货车一次各运送农副产品多少吨； (2)该经销商计划组织大、小货车共10辆运送该批农副产品，已知该批农副产品的重量不少于120吨，请问至少需要大货车多少辆． 2．某工厂用铁皮生产一批茶叶盒，每张铁皮可制作盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一个茶叶盒，现用张铁皮制作，恰好使盒身与盒底完全配套． (1)设用张制盒身，张制盒底，请问这些铁皮共生产了多少个茶叶盒？ (2)某茶叶店从该厂生产的这批茶叶盒中先后两次进货，具体情况如下： 进货时间 数量 进价（元/个） 售价（元/个） 月日 个 月日 个 请解决下面的问题： ①月日之前，销售款超过了月日的进货款，这时至少已售出多少个茶叶盒？ ②在第一次进货售完后，店长又决定月日进行补货，并估计两次进货售完后的总销售款不低于总进价的倍．请你通过计算检验店长的估计是否正确？ 3．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为与横式纸盒个数为，恰好使库存的纸板用完，则用的代数式表示的值． 4．某校在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米；若编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米． (1)求编织个大号中国结和个小号中国结各需用绳多少米？ (2)该校决定编织大、小两种中国结共个，所用绳长总共不超过米，那么最多可以编织多少个大号中国结？ 5．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．    (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子． ①请完成下列表格： x只竖式箱子 y只横式箱子 A型板材张数(张) x 　   　 B型板材张数(张) 　   　 3y ②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 　 　，此时能制作横式箱子 　 　只． 销售、利润问题题型4 1．学校计划采购一批足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球，共需270元；若购买2个足球和3个篮球，共需280元．通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每个篮球比足球便宜10元 B．每个篮球比足球贵10元 C．足球比篮球多买了10个 D．足球比篮球少买了10个 2．为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 3．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．则买“哪吒”和“敖丙”各一个手办共__________元． 4．三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 5．每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 6．探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 方案问题题型5 1．已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 2．中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 3．在学校开展的“劳动创造美好生活”的主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们约定每人养护1盆绿植．计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝的盆数不少于31．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元． (1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，则购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 4．新疆是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 5．中国传统节日“端午节”期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元． （1）打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？ （2）在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？ 古代问题题型6 1．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作增删算法统宗中有这么一首诗，其大意是：今有绢与布30匹，卖得570贯钱；2匹绢价45贯，3匹布价50贯，欲问绢、布各有多少？设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．《张丘建算经》里有一道题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何.”译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？请你结合你学过的知识，写出一组能够按要求购买的方案：公鸡买______只，母鸡买_______只，小鸡买_______只. 4．程大位所著的《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头（用二元一次方程组解答） (1)大、小和尚各有多少人？ (2)若现在新进小和尚12人，应该多准备多少馒头？ 5．我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 其他问题题型7 1．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 2．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水_____，水温为_____； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 3．明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 4．综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 5．根据图中给出的信息，解答下列问题：    (1)放入一个小球水面升高多少厘米？放入一个大球水面升高多少厘米？ (2)放入大球、小球共10个，如果要使水面上升到，应放入大球、小球各多少个？ 6．科学家为了探测火星上是否有智能生物人，有人建议向火星发射如下的九宫方格数据图，图中数据满足各行、各列及对角线上三个数之和都相等，如果火星上有智能生物人，那么他们就可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物人．图①是某研究员在九宫方格内设计的一个准备向火星发射的图案的一部分，格内填写了一些式子和数． (1)请你计算出x，y的值； (2)把满足图①的其他7个数填入图②相应的九宫方格内． 7．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为___________；将写成矩阵形式为：___________； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值． 8．在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现象，如医院挂号付费、银行办理业务、车站购票等．有时由于排队的人很多，人们将花费很多的时间在等，给他们带来很大影响；如果开设太多窗口又会造成浪费．如何使投入资源较少，而顾客对服务又比较满意，这就需要研究排队问题． (1)某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每服务一名顾客，已知当窗口开始工作时，已有6名顾客在等待，在窗口开始工作后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每都有一位“新顾客”到达．设表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客，表示在窗口开始工作后，按先后顺序到达的“新顾客”． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28 … 根据上面的表格， 请你根据“新顾客”的到达时间和前一位顾客的服务结束时间判断 ， 哪一位“新顾客”是第一位到达服务机构而不需要排队的？简要说明理由． (2)在（1）的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客”离去时，排队现象就此消失了，即为第一位到达后不需要排队的“新顾客”，求的值． (3)当在火车站开始检票时，有a（）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕．如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？ 压轴真题题型8 一、解答题 1．（25-26八年级上·福建三明·月考）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元． (1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部（必购进甲型号手机），请你研究一下商场的进货方案； (2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？ 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）【阅读】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示3的点与表示的点之间的距离．若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离用表示，且． 已知点在数轴上分别表示互不相同的三个数，其中． 【简单应用】 （1）若，且，则的值为______； 【深入探究】 （2）若，且，求的值； 【延伸扩展】 （3）若数轴上两点分别表示两个不同的数，，且，，求的值． 7．（25-26七年级上·北京西城·期中）对于数轴上的点和正数，给出如下定义：点在数轴上移动，沿负方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，与这两个数叫做“点的对称数”，记作，其中． 例如：原点表示0，原点的1对称数是． (1)若点表示3，点的4对称数，则______； (2)若，则点表示的数为______，______； (3)已知，，若点，点从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点的速度是点速度的3倍，当时，求点表示的数． 8．（25-26七年级上·广东佛山·期中）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体．其顶点数、面数、棱数之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉定理．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)【公式发现】根据上面的多面体模型，完成表格中的空格： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 ①_____ 2 8 6 12 3 ②_____ 8 12 4 9 8 ③_____ 你发现顶点数、面数和棱数之间存在的关系式_____． (2)[公式运用]如图，请直接写出正十二面体的顶点数和棱数． (3)[公式综合]已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． (4)[定理应用]有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，请利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表1），另有一张该商店的五一促销海报（见表2） 表1 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 表2 五一优惠大促 众倡导绿色节能，“国补”不孤单!★ 活动时间: 5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补”国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务! (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 10．（2025八年级上·全国·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 11．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图是2026年1月1日起南京市买卖个人住宅时所需缴纳的费用种类及其最新政策，包括增值税、个人所得税、契税三大块．契税是买家所需缴纳的税种，增值税、个人所得税是卖家所交税种． 南京市个人出售住宅税费政策（2026年1月1日起） 税种 房屋年限 计算方法 2026年1月1日前 2026年1月1日后 增值税 不满两年 满两年 免征 免征 个人所得税 与年限无关 差额：（核税价上一手发票价） 不变 全额：核税价 契税 首套 ： 核税价1%； ： 核税价 不变 二套 ： 核税价 ： 核税价 三套及以上 无论面积大小： 核税价 请仔细阅读上表后解答下列问题： (1)小明在2026年1月5日出售一套不满两年的住房，建筑面积为．若选择“差额”方式缴纳个人所得税（上一手发票价为100万元）且房屋的核税价为万元，直接用含代数式表示小明需缴纳的增值税与个人所得税的总金额，买家（首套房）所需缴纳的契税． (2)小华出售不满两年的住房（面积为），核税价为万元．已知在2026年1月1日前出售，其增值税比在2026年1月1日后出售多万元，请求出本次交易中买卖双方所需缴纳总税费．（注：本次交易于2026年1月29日发生，个人所得税按全额缴纳、买家为首套房） (3)小王有两套住房（均不满2年），核税价分别为万元和万元（，且），由于近几年房地产遇冷，两套住房核税价均小于购入时发票价，故免征个人所得税．若其中一套在2026年1月1日前交易，另一套在2026年1月1日后交易，两套房交易后小王购买了一套核税价为1200万元的新房（面积），经测算，在新政策影响下此轮置换过程中，不同的卖房顺序及置换新房的交税总额相差4.775万，请求出本次置换交税总额的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二元一次方程组的应用重难点题型分类 【题型1：工程问题 1】 【题型2：行程问题 6】 【题型3：配套问题 11】 【题型4：销售利润问题 18】 【题型5：方案问题 23】 【题型6：古代问题 29】 【题型7：其他问题 32】 【题型8：压轴真题 42】 工程问题题型1 1．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 2．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 3．如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 【答案】(1)甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件 (2)甲车间抽调人数后有16人，乙车间抽调人数后有25人 (3)方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天 【分析】（1）设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设每个车间被抽走人，根据“抽调后两个车间每天生产总和不变”进行列式求解即可； （3）设甲车间工作天，乙车间工作天，根据题意列出二元一次方程，再求出符合要求的解即可． 【详解】（1）解：设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件， ， 解得， 答：甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件； （2）解：设每个车间被抽走人， 抽调前 抽调后 车间效率 个人效率 人数 个人效率 人数 车间效率 甲 500 25 20 30 和不变 乙 580 20 29 24 ∴ 解得， ∴甲车间人数：（人）；乙车间人数：（人）； （3）解：由（2）得，甲车间抽调后每天生产480个零件，乙车间抽调后每天生产600个零件， 设甲车间工作天，乙车间工作天， 由题意得，， ∴符合要求的解为， ∴方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天． 4．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；②甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． (2)13 【分析】（1）根据“已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，”，然后结合工人数量，即可得出答案； （2）设甲车间有名工人，乙车间有名工人．由（1）可知，，即，接着表示出从甲车间抽调名工人去乙车间后，两个车间生产的冰墩墩与雪容融的数量，结合题意“现每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍”，得到，结合为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：① 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ， 解得， 答：甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． （2）解：设甲车间有名工人，乙车间有名工人． 由（1）可知，，即， 当工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间时，两个车间生产的数量如下表所示： 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 根据题意有，， 那么有， ∵为正整数， ∴当时，符合题意且取得最小值，此时， 故答案为：13． 行程问题题型2 1．轮船顺流航行时的速度为m千米/小时，逆流航行时的速度为千米/小时，则水流速度（   ） A．3千米/小时 B．4千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，准确找出等量关系列出二元一次方程组是解题的关键； 设轮船在静水中航行的速度为x千米小时，水流速度为y千米小时，根据“顺流航行速度轮船速度水流速度”与“逆流航行速度轮船速度水流速度”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出值即可． 【详解】解：设轮船在静水中航行的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，依题意得， 两个方程相减可得：，即水流速度为6千米小时． 故选：C． 2．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 3．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 4．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 【答案】(1)甲的赛跑速度为 (2)乙获胜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由甲的速度是乙的1.2倍，即可求解； （2）设甲用时为x秒，乙用时为y秒，由题意：甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）依题意得：甲的赛跑速度为； （2）设甲用时为秒，乙用时为秒， 依题意得：， 解得：； ， 此次赛跑中乙获胜． 5．苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2) (3)万公里 【分析】本题主要二元一次方程组的应用： （1）根据“汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，”即可得到答案； （2）根据用汽车行驶x万公里之后前轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后前轮的磨损程度为1，即可求解； （3）根据用汽车行驶x万公里之后后轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后后轮的磨损程度为1，再结合（2）中的方程，得到方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为； 故答案为： （2）解：根据题意得：， （3）解：根据题意得： ，解得：， 答：当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 6．点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y． (1)那么a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； (2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数； (3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是　 　单位长度； (4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)﹣24，﹣10，10 (2)点P所对应的数是﹣或- (3)36 (4)能，碰面的地点对应的数为﹣44 【分析】（1）根据合并同类项的法则可知，c-5=b+15＝5，且+（﹣2）＝﹣6，解之即可； （2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在点B的右侧时，根据PA＝3PB+1，分别列出方程求解即可； （3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，根据题意可知，，利用消元法消去m和n，即可解得s的值． （4）设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．当点D在AB之间时，0＜t＜，则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，所以4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；甲，乙作追击运动，甲和乙能碰面． 【详解】（1）解：xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y． ∴c-5=b+15＝5，+（﹣2）＝﹣6， 解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10． ∴点A对应数﹣24，点B对应数﹣10，点C对应数10． 故答案为：﹣24，﹣10，10． （2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况： ①当点P在线段AB上时，PA＝x+24，PB＝﹣10﹣x， ∴x+24＝3（﹣10﹣x）+1，解得x＝﹣； ②当点P在点B的右侧时，PA＝x+24，PB＝10+x， ∴x+24＝3（10+x）+1，解得x＝-． ∴点P所对应的数是﹣或． （3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度， 则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分， 根据题意可知，， 解得s＝36． 故答案为：36． （4）甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．理由如下： 设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分， 若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4． 当点D在AB之间时，0＜t＜， 则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t， ∴4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2； ∵2＜3.4， 当t＝2时，甲在﹣16处，乙在﹣2处，甲改变运动方向，甲、乙同向运动， ﹣16﹣4（t﹣2）＝﹣2﹣6（t﹣2），解得t＝9． 此时﹣16﹣4×（9﹣2）＝﹣44， ∴甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 配套问题题型3 1．某农副产品经销商打算将一批农副产品运往网点销售，现有大货车、小货车运送该批农副产品．已知2辆大货车与1辆小货车一次运送农副产品38吨；1辆大货车与2辆小货车一次运送农副产品31吨（每辆货车都装满）． (1)求一辆大货车与一辆小货车一次各运送农副产品多少吨； (2)该经销商计划组织大、小货车共10辆运送该批农副产品，已知该批农副产品的重量不少于120吨，请问至少需要大货车多少辆． 【答案】(1)一辆大货车运送农副产品15吨，一辆小货车运送农副产品8吨 (2)6 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系和不等关系． （1）设一辆大货车运送农副产品吨，一辆小货车运送农副产品吨，根据两次运输方式，列出方程组求解即可； （2）设大货车用了辆，则小货车用了辆，根据运输的吨数列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一辆大货车运送农副产品吨，一辆小货车运送农副产品吨，根据题意得， 解得 所以，一辆大货车运送农副产品15吨，一辆小货车运送农副产品8吨； （2）解：设大货车用了辆，则小货车用了辆，根据题意得， 解得， ∴， 所以，至少需要大货车6辆． 2．某工厂用铁皮生产一批茶叶盒，每张铁皮可制作盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一个茶叶盒，现用张铁皮制作，恰好使盒身与盒底完全配套． (1)设用张制盒身，张制盒底，请问这些铁皮共生产了多少个茶叶盒？ (2)某茶叶店从该厂生产的这批茶叶盒中先后两次进货，具体情况如下： 进货时间 数量 进价（元/个） 售价（元/个） 月日 个 月日 个 请解决下面的问题： ①月日之前，销售款超过了月日的进货款，这时至少已售出多少个茶叶盒？ ②在第一次进货售完后，店长又决定月日进行补货，并估计两次进货售完后的总销售款不低于总进价的倍．请你通过计算检验店长的估计是否正确？ 【答案】(1)个 (2)①个；②店长的估计是错误的 【分析】（）根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （）①设月日之前售出个茶叶盒，根据题意列出不等式即可求解；②根据店长的估计列出不等式求出的取值范围，进而可得两次进货的数量的取值范围，再跟茶叶盒数量比较即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 解得， ∴， 答：这些铁皮共生产了个茶叶盒； （2）解：①设月日之前售出个茶叶盒， 由题意可得，， 解得， 答：至少已售出个茶叶盒； ②根据店长的估计，可列不等式： 解得， ∴两次的进货量为， ∴店长的估计是错误的． 3．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为与横式纸盒个数为，恰好使库存的纸板用完，则用的代数式表示的值． 【答案】(1)①第二次记录有误，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； (2)3 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，代数式，比值，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误；②由第一次记录，列出方程组，求解即可； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为，可得，求解即可； （3）根据题意，可得到，两个方程相加，即可解答． 【详解】（1）解：①第二次记录错误，理由如下： 设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板张，需要长方形的纸板张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为，应该是5的倍数， ∴第二次记录有误； ②由题意可得：， 解得：， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）由题意可得：， 解得：， ∴， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． （3）由题意，得 ， ∴． 答：的值为． 4．某校在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米；若编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米． (1)求编织个大号中国结和个小号中国结各需用绳多少米？ (2)该校决定编织大、小两种中国结共个，所用绳长总共不超过米，那么最多可以编织多少个大号中国结？ 【答案】(1)编织个大号中国结需要米，个小号中国结需要米； (2)最多可以编织大号中国结. 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． 设编织个大号中国结需要米，个小号中国结需要米，根据编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米，可列方程；根据编织个大号中国结和个小号中国结，则需用绳米，可列方程，解方程组即可求出编织个大号中国结和个小号中国结各需用绳多少米； 设编织个大中国结，则需要编织个小中国结，根据所用绳长总共不超过米，可列不等式：，解不等式可得：，因为必须为整数，所以的最大值是. 【详解】（1）解：设编织个大号中国结需要米，个小号中国结需要米， 根据题意可得：， 解方程组得：， 答：编织个大号中国结需要米，个小号中国结需要米； （2）解：设编织个大中国结，则需要编织个小中国结， 根据题意得：， 解不等式得：， 为整数， 的最大整数为， 最多可以编织大号中国结. 5．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．    (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子． ①请完成下列表格： x只竖式箱子 y只横式箱子 A型板材张数(张) x 　   　 B型板材张数(张) 　   　 3y ②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 　 　，此时能制作横式箱子 　 　只． 【答案】(1)①4x，2y；②制作出竖式和横式的箱子各20只和10只 (2)35，5 【分析】(1)根据竖式箱子和横式箱子的组成，即可求得； (2) 设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板，根据一张3×3m的C型板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板，得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B板，得 ，可得，联立成方程组，再对x，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：①由图可知：做一个竖式箱子，需1张A板，4张B板，做一个横式箱子，需2张A板，3张B板， 故答案为：4x，2y； ②根据题意，得 ， 解得， 答：制作出竖式和横式的箱子各20只和10只； （2）解：设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板， 且一张3×3m的C型板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板， 得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B板， 因为竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板， 则剩余A板(9x-17)张，B板(3n-3x-81)张， 根据题意，得， 整理，得， ∵9x-17≥0， ∴， ∵3n-3x-81≥0， ∴n≥x+27， ， 解得， ∵，且x为整数， ∴x取最小值为2时，(不符合题意，舍去)， 当x=3时，n=35， ∴x取最小值为3时，n=35最小． 此时，剩余A板10张，可以做5只横式板． ∴n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只． 故答案为：35，5． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 销售、利润问题题型4 1．学校计划采购一批足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球，共需270元；若购买2个足球和3个篮球，共需280元．通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每个篮球比足球便宜10元 B．每个篮球比足球贵10元 C．足球比篮球多买了10个 D．足球比篮球少买了10个 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和所列方程得到为每个足球的价格，为每个篮球的价格，进而得到的意义即可． 【详解】解：由题意和所列方程组可知：为每个足球的价格，为每个篮球的价格， ∴表示每个篮球比足球贵10元； 故选B． 2．为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是这笔钱的总金额为，解关于，的方程组． 设钢笔每支元，日记每本元，这笔钱的总金额为，根据题意可得，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：设钢笔每支元，日记本每本元，这笔钱的总金额为 a 元  ，由题意可知 ， 解关于，的方程组得： ， ∴这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本． 故选：D 3．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．则买“哪吒”和“敖丙”各一个手办共__________元． 【答案】220 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 根据“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元以及购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元，列出二元一次方程组，再解出的值，即可作答． 【详解】解：设“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元， ∵“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元， 即： ∵ 购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元， ∴， 将以上两个方程联立，得到方程组： ． 得， ∴“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元． 则买“哪吒”“敖丙”各一个手办共（元）， 故答案为：220． 4．三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 【答案】张老师购买种打折书籍本 【分析】本题考查了二元一次方程组和实际问题、二元一次方程的特殊解，关键是找到恰当的等量关系列方程或方程组；根据销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，列二元一次方程组即可求出的售价；根据购买了原价或打折的两种书籍，共花费元列方程分情况讨论求出种打折书籍的数量． 【详解】解：设书籍的售价为元/本，书籍的售价为元/本， 根据题意可得解得， 设张老师购买种打折书籍本，购买种打折书籍本， 购买原价种书籍本，则购买原价种书籍本， 根据题意可知，， 整理得， ∴， ∵，，，均为自然数， 为的倍数，且， 当时，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，， 当时，（舍）， 答：张老师购买种打折书籍本． 5．每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 【答案】(1)每本《骆驼祥子》元，每本《傅雷家书》元 (2)团购群1更划算 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求出的值，即可得到答案； （2）根据题意分别求出团购群1和团购群2的费用，比较之后即可得到答案． 【详解】（1）解：设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元， 由题可得： 解得： 答：团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元． （2）解：由题可得：小明所在班级需要购买《骆驼祥子》和《傅雷家书》各15本，共30本， ∴团购群1的费用为：， 团购群2的费用为：， ∵， ∴团购群1购买更合算． 6．探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 【答案】任务1：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；任务3：11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． 任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件，则，得到，根据，且m， n均为正整数得到符合要求的解即可； 任务3：由题意可知一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的 ，可得 ，整理得  ，根据总花费9200元，列出二元一次方程，进而找出符合要求的解即可． 【详解】任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元， 由题意，得 解得 答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件， 由题意，得， 化简，得， ∵，且m， n均为正整数， 或 答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件； 任务3：∵每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元， ∴一件新版衣服55元，一件新版裤子45元， 设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，可得 ，整理得  ， 由题意，得 ， 将 代入，得 ， 化简得． ∵， 且a， b均为正整数， ∴，． 故答案为：11． 方案问题题型5 1．已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；方案2：租用2辆A型车，6辆B型车；最少租车费是9200元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设未知数，结合用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨，进行列出方程组，即可作答． （2）结合某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载，得，再根据、n均为正整数，得或，再结合A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； （2）解：由（1）得1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； ∵租用m辆A型车，n辆B型车, 根据题意得：， ， 又、n均为正整数， 或， 该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用7辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用2辆A型车，6辆B型车． 选择方案1所需租车费用为（元）； 选择方案2所需租车费用为（元）． ， 最少租车费是9200元． 2．中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 【答案】该校共有3种购买方案：①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品；②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品；③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品 【分析】设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品，列出二元一次方程，求方程的整数解即可得到方案． 本题考查了二元一次方程的应用，正确求得方程的整数解是解题的关键． 【详解】解：设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， . 又，均为正整数， 或或 该校共有3种购买方案： ①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品； ②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品； ③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品． 3．在学校开展的“劳动创造美好生活”的主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们约定每人养护1盆绿植．计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝的盆数不少于31．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元． (1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，则购买绿萝和吊兰各多少盆？ (2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆． (2)购买两种绿植总费用的最小值为369元， 【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一次函数的性质是解题的关键； （1）设绿萝x盆，吊兰y盆，根据总盆数和绿植的价格与预算经费可以得到方程组，即可得到绿植分别为几盆； （2）根据题干得出两种绿植的盆数关系，设购买两种绿植的费用为w，则可根据题干信息得到费用与绿植盆数的关系式，分析w随m的变化情况即可得到费用最小值. 【详解】（1）解：设购买绿萝x盆，吊兰y盆． 依题意，得 解得 ， 符合题意． 故购买绿萝38盆，吊兰8盆． （2）（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰盆， 购买两种绿植的总费用为w元． 依题意，得． 因为，所以随的增大而增大． 因为，且为整数，所以当时，取得最小值，最小值（元）． 故购买两种绿植总费用的最小值为369元， 4．新疆是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花 (2)至少要租用型车2辆 (3)共有3种租车方案：①租用A型车1辆，B型车3辆；②租用A型车3辆，B型车2辆；③租用A型车5辆，B型车1辆．方案①最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题，根据数量关系列出方程或不等式是解题的关键． （1）设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据“用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花”即可列出方程组，求解即可； （2）设租用A型车a辆，根据“总费用不超过2800元”列出不等式，求解即可； （3）设租用A型车m辆，B型车n辆．根据“恰好将新收割的14吨棉花运完”列出二元一次方程，求出整数解即可得到租车方案，再求出各种方案的费用，比较即可解答． 【详解】（1）解：设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花． （2）解：设租用A型车a辆，根据题意，得 ， 解得， 答：至少要租用型车2辆． （3）解：设租用A型车m辆，B型车n辆．根据题意，得 ， ∵m，n为正整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： ①租用A型车1辆，B型车3辆， ②租用A型车3辆，B型车2辆， ③租用A型车5辆，B型车1辆． 它们的费用分别为： ①（元）， ②（元）， ③（元）． ∵， ∴方案①租用A型车1辆，B型车3辆最省钱． 5．中国传统节日“端午节”期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元． （1）打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？ （2）在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？ 【答案】（1）打折前，甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；（2）最多可购买15盒乙品牌粽子． 【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需要520元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设敬老院可购买盒乙品牌粽子．即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值整数值即可得出结论． 【详解】解：（1）设打折前，每盒甲品牌粽子元，每盒乙品牌粽子元， 根据题意，得：， 解得， 答：打折前，甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元． （2）设敬老院可购买盒乙品牌粽子． 打折后，甲品牌粽子每盒：（元， 乙品牌粽子每盒：（元， 根据题意，得：， 解得． 的最大整数解为． 答：最多可购买15盒乙品牌粽子． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 古代问题题型6 1．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 2．我国古代数学著作增删算法统宗中有这么一首诗，其大意是：今有绢与布30匹，卖得570贯钱；2匹绢价45贯，3匹布价50贯，欲问绢、布各有多少？设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键． 先计算出绢与布的单价，设绢有匹，布有匹，根据“绢与布30匹，卖得570贯钱”列出两个方程，联立即可． 【详解】解：根据“2匹绢价45贯，3匹布价50贯”得：绢价为贯每匹，布价为贯每匹． 根据“绢与布30匹”可得：； 根据“卖得570贯钱”可得：； 联立可得：． 故选：D． 3．《张丘建算经》里有一道题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何.”译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？请你结合你学过的知识，写出一组能够按要求购买的方案：公鸡买______只，母鸡买_______只，小鸡买_______只. 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了（100−x−y）只小鸡，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，（100−x−y）均为自然数，即可求出结论． 【详解】解：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了（100−x−y）只小鸡， 依题意得：5x＋3y＋（100−x−y）＝100，即y＝25−x， 又∵x，y，（100−x−y）均为自然数， ∴或或或， ∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只， 故答案为：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 4．程大位所著的《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头（用二元一次方程组解答） (1)大、小和尚各有多少人？ (2)若现在新进小和尚12人，应该多准备多少馒头？ 【答案】(1)大和尚有25人，小和尚有75人 (2)应该多准备4个馒头 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“大、小和尚共100人，且共分100个馒头”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用应该多准备的馒头数新进小和尚的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 根据题意得：， 解得：． 答：大和尚有25人，小和尚有75人； （2）解：根据题意得：（个）． 答：应该多准备4个馒头． 5．我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子 (2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为的倍数， 羊的数量不少于牛数量的倍， ， 或， 商人有种购买方法： 购买头牛，只羊； 购买头牛，只羊． 6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有48人，13辆车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设共有x人，y辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于x、y二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车，根据题意得： 解得： 共有48人，13辆车． 其他问题题型7 1．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 2．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水_____，水温为_____； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)200；51 (2)学生接温水时间为；接开水的时间为 【分析】本题主要考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程或方程组． （1）分别求出温水和开水的体积，再根据温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度列方程即可求解； （2）设该学生分别接温水和开水的时间分别为，根据开水和温水的体积和为温度，混合温度为列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：温水的体积为，开水的体积， 则接完后杯中共有水， 设接完后杯中水温为，则， 解得， 即接完后杯中水温为； （2）设该学生分别接温水和开水的时间分别为， 由题意得， 解得， 答：学生接温水的时间为，接开水的时间为． 3．明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况，理由见解析 (3)存在，胜场次数是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答，联系实际情况． （1）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以求得胜一场和负一场各积多少分； （2）先判断，然后说明理由，可以用假设存在，求出相应的胜场次数，注意胜场次数必须是整数； （3）首先判断，然后根据题意求出相应的胜场次数，本题得以解决． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， ，得， 答：胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 理由：假设当前8场胜场时，胜场总积分等于它的负场总积分， ， 解得，， 是整数， 不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况； （3）解：存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 设在比赛结束后，胜了场， ， 解得，， 当是正整数且是3的倍数时，胜场总积分等于它的负场总积分，胜场次数是． 4．综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1) (2)16元 (3)大于10千克且小于等于11千克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，进行求解即可． （2）根据吉林省内收费标准计算即可． （3）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． （2）∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算， 即（元）． 故她需要支付快递费16元． （3）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 5．根据图中给出的信息，解答下列问题：    (1)放入一个小球水面升高多少厘米？放入一个大球水面升高多少厘米？ (2)放入大球、小球共10个，如果要使水面上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)放入一个小球水面升高2厘米；放入一个大球水面升高3厘米 (2)应放入大球4个，小球6个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解图中信息是解题的关键． （1）根据放入小球、大球后液面上升情况； （2）设放入大球x个，小球y个，根据总数是10个，液面上升列二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， ． 答：放入一个小球水面升高2厘米；放入一个大球水面升高3厘米； （2）解：设放入大球x个，小球y个， 依题意，得：， 解得：． 答：应放入大球4个，小球6个． 6．科学家为了探测火星上是否有智能生物人，有人建议向火星发射如下的九宫方格数据图，图中数据满足各行、各列及对角线上三个数之和都相等，如果火星上有智能生物人，那么他们就可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物人．图①是某研究员在九宫方格内设计的一个准备向火星发射的图案的一部分，格内填写了一些式子和数． (1)请你计算出x，y的值； (2)把满足图①的其他7个数填入图②相应的九宫方格内． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）通过理解题意可知本题的等量关系是：“每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等”，列出方程组求解即可． （2）由第（1）问可得出，然后可求出各行、各列及对角线上三个数之和都为，利用此即可求出其余各数． 【详解】（1）解：∵各行、各列及对角线上三个数之和都相等， ∴列出方程组， 或， 或， 解方程组得， 答：，的值分别为，1； （2）由（1）得，， ∴， 则各行、各列及对角线上三个数之和都为， 则第二行第一个数为：， 第一行第一个数为：， 第一行第二个数为：， 故九宫方格所填数字如下： ． 7．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为___________；将写成矩阵形式为：___________； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值． 【答案】(1)； (2)a，b的值分别是和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据题意作答即可； （2）根据题意反向推出方程组为，将方程组的解代入计算即可． 【详解】（1）解：将写成矩阵形式为； 整理得：，即将写成矩阵形式为； 故答案为：；； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， 此方程组的解为 将代入方程组得： 由①得； 由②得； 所以a，b的值分别是和1 8．在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现象，如医院挂号付费、银行办理业务、车站购票等．有时由于排队的人很多，人们将花费很多的时间在等，给他们带来很大影响；如果开设太多窗口又会造成浪费．如何使投入资源较少，而顾客对服务又比较满意，这就需要研究排队问题． (1)某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每服务一名顾客，已知当窗口开始工作时，已有6名顾客在等待，在窗口开始工作后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每都有一位“新顾客”到达．设表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客，表示在窗口开始工作后，按先后顺序到达的“新顾客”． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28 … 根据上面的表格， 请你根据“新顾客”的到达时间和前一位顾客的服务结束时间判断 ， 哪一位“新顾客”是第一位到达服务机构而不需要排队的？简要说明理由． (2)在（1）的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客”离去时，排队现象就此消失了，即为第一位到达后不需要排队的“新顾客”，求的值． (3)当在火车站开始检票时，有a（）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕．如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？ 【答案】(1)是第一个不需要排队的“新顾客”，理由见解析 (2)8 (3)至少要同时开放4个检票口 【分析】本题考查一元一次不等式与二元一次方程的应用． （1）分析表格数据即可解答； （2）在第一位不需要排队的“新顾客”到达之前，该窗口已经服务了位顾客，为这些顾客服务共花费了的时间是 的到达时间为，则可得不等式，求出整数解即可解答； （3）设检票开始后每分钟新增加旅客人，检票的速度为每个检票口每分钟检人，至少要同时开放个检票口，列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：是第一个不需要排队的“新顾客”，因为他到达的时间是，顾客服务结束的时间是； （2）解：在第一位不需要排队的“新顾客”到达之前，该窗口已经服务了位顾客，为这些顾客服务共花费了的时间是 的到达时间为， ， 解得， 又为整数， ， ∴； （3）解：设检票开始后每分钟新增加旅客人，检票的速度为每个检票口每分钟检人，至少要同时开放个检票口． 由题意得 由①，②可得， 把代入③可得， ∵， ∴， 取最小值的整数， ∴， 答：至少要同时开放4个检票口． 压轴真题题型8 一、解答题 1．（25-26八年级上·福建三明·月考）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次方程组，并求解这个方程组即可． 【详解】解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤， 根据题意得：，解得， 即1只雀重斤，1只燕重斤． 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【分析】（1）设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料，卖出食品，根据两次运输（第一次：地→食品厂，第二次：食品厂→地）共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元． (1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部（必购进甲型号手机），请你研究一下商场的进货方案； (2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？ 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练掌握是解决此题的关键． （1）分别购进甲乙两种型号和甲丙两种型号，分别列出方程组进行求解即可； （2）求出两种方案的获利钱数进行比较即可． 【详解】（1）解：①若购甲、乙两种型号．设购进甲型号手机部，乙型号手机部， 根据题意，得 解得 所以购进甲型号手机30部，乙型号手机10部； ②若购甲、丙两种型号，设购进甲型号手机部，丙型号手机部， 根据题意，得解得 所以购进甲型号手机20部，丙型号手机20部． 综上所述，商场共有两种进货方案． 方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部； 方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部． （2）解：方案1获利：（元）； 方案2获利：（元）， 所以方案2获利最多． 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【分析】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解是解题的关键． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案．根据两种方案得出运费解答即可． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得， 解得， 答：需甲车型8辆，需乙车型10辆； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得， 消去得，解得， 因a，b是正整数，且不大于16，得， 且是正整数，解得或， 有两种运送方案： ①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 两种方案的运费分别是： ①； ②． 答：共有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 方案②运费最少，最少运费是7800元． 6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）【阅读】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示3的点与表示的点之间的距离．若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离用表示，且． 已知点在数轴上分别表示互不相同的三个数，其中． 【简单应用】 （1）若，且，则的值为______； 【深入探究】 （2）若，且，求的值； 【延伸扩展】 （3）若数轴上两点分别表示两个不同的数，，且，，求的值． 【分析】本题考查数轴表示有理数、数轴上两点之间距离表示，读懂题意，按要求列方程（组）求解是解决问题的关键． （1）由数轴上两点之间距离表示方法，列方程求解即可得到答案； （2）由绝对值意义，得到，分情况，数轴上两点之间距离表示方法，列方程求解即可得到答案； （3）由数轴上两点之间距离表示方法，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）点表示的数是，，，， ， 解得， 故答案为：； （2） ， ， 当时， 由可得， 解得； 当时， 由可得， 解得； 综上所述，的值为1或； （3）数轴上两点分别表示两个不同的数，，且，， ， 解得 点表示的数是1011，点表示的数是． 7．（25-26七年级上·北京西城·期中）对于数轴上的点和正数，给出如下定义：点在数轴上移动，沿负方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，与这两个数叫做“点的对称数”，记作，其中． 例如：原点表示0，原点的1对称数是． (1)若点表示3，点的4对称数，则______； (2)若，则点表示的数为______，______； (3)已知，，若点，点从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点的速度是点速度的3倍，当时，求点表示的数． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，二元一次方程组，一元一次方程的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出的值，进行求解即可； （2）根据新定义，列出方程组进行求解即可； （3）设点表示的数为，点表示的数为，根据新定义结合点的速度是点速度的3倍，以及，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）设点表示的数为，则：， 解得； 故点表示的数为，； （3）设点表示的数为，点表示的数为， 则：，， 由题意，， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴； 故点表示的数为． 8．（25-26七年级上·广东佛山·期中）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体．其顶点数、面数、棱数之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉定理．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)【公式发现】根据上面的多面体模型，完成表格中的空格： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 ①_____ 2 8 6 12 3 ②_____ 8 12 4 9 8 ③_____ 你发现顶点数、面数和棱数之间存在的关系式_____． (2)[公式运用]如图，请直接写出正十二面体的顶点数和棱数． (3)[公式综合]已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． (4)[定理应用]有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，请利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数． 【分析】本题考查欧拉公式的简单推导及应用，熟练掌握不完全归纳法的应用及欧拉公式中各字母的意义是解题关键． （1）数出每种图形的顶点数、面数、棱数即可完成表格填写，然后根据表中各种图形顶点数、面数和棱数的关系作出猜想即可得到所求结论； （2）观察图形并结合（1）中顶点数、面数和棱数的关系式求解即可； （3）根据已知的顶点数及每个顶点处的棱数，可以得到实际的棱数，然后利用（1）中关系式可以求得面数即的值； （4）设正五边形、正六边形个数分别为x、y，然后根据欧拉公式及正五边形、正六边形的个数比例可以得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到问题解答． 【详解】（1）解：表格如下： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 6 2 8 6 12 3 6 8 12 4 9 8 15 由表格中数据可得： 关系式为： （2）解：正十二面体的面数为12，顶点数为20，棱数为； （3）解：∵有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，且两点确定一条直线， ∴共有（条棱） 那么， 解得：， ∴； （4）解：设正五边形个数为，正六边形个数为， 则该足球的面数为， 顶点数为， 棱数为， 由图可知，每个顶点处都遵循一个正五边形，两个正六边形， 由题意得： 解得： 所以正五边形为12个，正六边形有20个． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表1），另有一张该商店的五一促销海报（见表2） 表1 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 表2 五一优惠大促 众倡导绿色节能，“国补”不孤单!★ 活动时间: 5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补”国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务! (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【分析】（1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 【分析】本题考查了其他问题(二元一次方程组的应用)，方案问题(二元一次方程组的应用)等知识，解题关键是理解题意，找准等量关系列出方程． （1）设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子， 则有， 解得， ∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子； （2）解：设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张， 则， ∴， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或， ∴需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张； ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴最低采购费用为元； ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼． 11．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图是2026年1月1日起南京市买卖个人住宅时所需缴纳的费用种类及其最新政策，包括增值税、个人所得税、契税三大块．契税是买家所需缴纳的税种，增值税、个人所得税是卖家所交税种． 南京市个人出售住宅税费政策（2026年1月1日起） 税种 房屋年限 计算方法 2026年1月1日前 2026年1月1日后 增值税 不满两年 满两年 免征 免征 个人所得税 与年限无关 差额：（核税价上一手发票价） 不变 全额：核税价 契税 首套 ： 核税价 ： 核税价 不变 二套 ： 核税价 ： 核税价 三套及以上 无论面积大小： 核税价 请仔细阅读上表后解答下列问题： (1)小明在2026年1月5日出售一套不满两年的住房，建筑面积为．若选择“差额”方式缴纳个人所得税（上一手发票价为100万元）且房屋的核税价为万元，直接用含代数式表示小明需缴纳的增值税与个人所得税的总金额，买家（首套房）所需缴纳的契税． (2)小华出售不满两年的住房（面积为），核税价为万元．已知在2026年1月1日前出售，其增值税比在2026年1月1日后出售多万元，请求出本次交易中买卖双方所需缴纳总税费．（注：本次交易于2026年1月29日发生，个人所得税按全额缴纳、买家为首套房） (3)小王有两套住房（均不满2年），核税价分别为万元和万元（，且），由于近几年房地产遇冷，两套住房核税价均小于购入时发票价，故免征个人所得税．若其中一套在2026年1月1日前交易，另一套在2026年1月1日后交易，两套房交易后小王购买了一套核税价为1200万元的新房（面积），经测算，在新政策影响下此轮置换过程中，不同的卖房顺序及置换新房的交税总额相差4.775万，请求出本次置换交税总额的最小值． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意是解此题的关键． （1）先分别求出小明需缴纳的增值税的金额和需缴纳的个人所得税的金额，再求和即可得出小明需缴纳的增值税与个人所得税的总金额，按照首套房契税的缴纳方式计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程得出核税价为万元，再分别求出增值税、个人所得税、契税，相加即可得出结果； （3）根据题意求出，，再分两种情况：在年之前，在年之后；在年之后，在年之前；分别求出总税款，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 小明需缴纳的增值税的金额为：（万元）， 小明需缴纳的个人所得税的金额为：（万元）， ∴小明需缴纳的增值税与个人所得税的总金额为万元； 买家（首套房）所需缴纳的契税：当时，契税为万元，当时，契税为万元； （2）解：由题意可得：， 解得， 故增值税（2026年后）为（万元）， 个人所得税为：（万元）， 契税为：（万元）， 总税款为：（万元）， 故买卖双方所需缴纳总税费为万元； （3）解：由题意可得， ∴， ∵结合题意可得， ∴，， 情况一：在年之前，在年之后， 卖方增值税为：（万元）， 总税款为（万元）； 情况二：在年之后，在年之前， 卖方增值税为：（万元）， 总税款为（万元）； 本次置换交税总额的最小值为万元． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $