利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明 专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形判定与性质的应用，通过求解与证明双模块系统训练，覆盖计算与推理核心考法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用判定与性质求解|6例+6变式|涉及面积、长度、角度计算，结合中点、折叠、角平分线等条件|以性质为基础（对边平行、对角线平分），结合三角形全等、勾股定理等知识解决几何计算| |利用判定与性质证明|4例+4变式|通过对角线交点、中点连线等条件证明平行四边形，含多问综合题|以判定定理（对边平行且相等、对角线互相平分等）为核心，构建从已知条件到结论的推理链条|

利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明专项训练 利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明专项训练 考点目录 利用平行四边形的判定与性质求解 利用平行四边形的判定与性质证明 考点一 利用平行四边形的判定与性质求解 例1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，延长到点D，使，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·湖北恩施·一模）如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 例5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形中，，，若，，则此梯形的周长为______． 例6．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于点F．，，则四边形的周长为________． 变式1．（25-26八年级下·四川南充·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在梯形中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，连结，若，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 变式4．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，已知的对角线，相交于点，，．若，，则四边形的周长为________． 变式5．（25-26八年级下·内蒙古·月考）如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 变式6．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，点E是上一点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点F．当E为中点时，的长度为__________． 考点二 利用平行四边形的判定与性质证明 例1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点且，求证：四边形是平行四边形． 例2．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，，是四边形的对角线上的两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 例3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 例4．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 变式1．（25-26八年级下·湖南常德·期中）已知：如图，平行四边形中，、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 变式3．（25-26八年级下·广西柳州·阶段检测）如图，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 变式4．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明专项训练 利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明专项训练 考点目录 利用平行四边形的判定与性质求解 利用平行四边形的判定与性质证明 考点一 利用平行四边形的判定与性质求解 例1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，延长到点D，使，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据对角线互相平分得四边形是平行四边形，则，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 例3．（2026·湖北恩施·一模）如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形为平行四边形，得到，再结合平行线性质，角平分线性质，三角形内角和定理分析求解，即可解题． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形，， ， 平分， ， ， ， ， ． 例4．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【答案】9 【分析】过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由勾股定理推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴ ． 例5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形中，，，若，，则此梯形的周长为______． 【答案】24 【分析】如图，过点D作交BC于点E，证明四边形是平行四边形，得到，，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交BC于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∴梯形的周长． 例6．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于点F．，，则四边形的周长为________． 【答案】12 【分析】由平行四边形的性质得，，，证明得，从而，再证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴，，， ∴． 由作图可知，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 变式1．（25-26八年级下·四川南充·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在梯形中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作交于点E，则可证明四边形是平行四边形，得到，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，连结，若，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，过点E作于点G，由平分线得出，由平行四边形的性质得出，，，，证出，则，，证出，则，由勾股定理得出，证明四边形为平行四边形，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作于，过点E作于点G，如图所示： 是的平分线， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，已知的对角线，相交于点，，．若，，则四边形的周长为________． 【答案】16 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 变式5．（25-26八年级下·内蒙古·月考）如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】运用平行四边形的性质以及，求出，再证明四边形是平行四边形，故，，最后运用勾股定理得，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 则 ∴ 过点M作交于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 则． 变式6．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，点E是上一点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点F．当E为中点时，的长度为__________． 【答案】 【分析】过点B作于点H，设与交于点M，先证明四边形是平行四边形，得到，然后求出和的长，可得的长，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】解：过点B作于点H，设与交于点M， 沿折叠得到， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点二 利用平行四边形的判定与性质证明 例1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定的应用．解题的关键是利用平行四边形的性质得到平行关系和相等关系，再结合已知条件证明四边形的对边平行且相等，从而证明它是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， 又， ， 即，， 四边形是平行四边形． 例2．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，，是四边形的对角线上的两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】证明，根据全等三角形的性质可知，，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 在和中， ∴ ∴, ∴四边形是平行四边形． 例3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质可得，，结合已知得出，即可得证． 【详解】证明：连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 例4．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可证，又因为，等量代换可得，根据同旁内角互补两直线平行，可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； （2）根据平行四边形的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ． 变式1．（25-26八年级下·湖南常德·期中）已知：如图，平行四边形中，、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到, , 再结合中点定义得到, 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， 、分别是，的中点， ，， ， 又 ， 四边形是平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点O．利用平行四边形的性质得到，，则可得，然后利用平行四边形的判定可证得结论． 【详解】证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 变式3．（25-26八年级下·广西柳州·阶段检测）如图，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用推出，结合已知，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明是平行四边形； （）利用第（）题的平行四边形性质，得到对边相等，再将四条边长度相加计算出周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（）知四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长为：． 变式4．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $