专题08 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线求解与证明（4大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线求解与证明 目录 A题型建模·专项突破 题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解…1 题型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明…4 题型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解… 题型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明… 17 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD LBC:③BD=DC:④∠1=∠2.知2推2原则。 B D 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC,∠I=∠2. 1.(24-25八年级上江苏宿迁期中)如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论. (1)己知AB=AC,∠1=∠2，则 (2)已知AB=AC,BD=DC,则 (3)己知AB=AC,AD⊥BC,则 B4 2.(25-26八年级上福建莆田期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，∠B=70°，则 ∠CAD的大小为 1/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D C 3.(24-25八年级上：广西钦州期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=30°，D是BC的中点.若 AD=8,则AB= A B D 4.(25-26八年级上湖北孝感期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中点， DE⊥AC于E. D (1)求∠EDC的度数； (②)若AB=8,求CE的长. 题型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 A D 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC,∠1=∠2. D 5.(2425八年级上江苏泰州期中)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点，点E在 2/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BA的延长线上，点F在AC的延长线上，ED⊥DF. (1)求证：AE=CF; (2)连接EF,若AB=4,CF=2,求EF2的值. 6.(24-25八年级上·浙江杭州期中)如图，ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，D是AB的中点， DE⊥DF,点E,F在AC,BC上 (1)求证：DE=DF. (2)连接EF,则BF、AE、EF之间有什么数量关系？请说明理由 7.(25-26八年级上·全国期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点P是斜边AB的中点， 点D,E分别在边AC,BC上，连接PD,PE.若PD⊥PE, 图1 图2 (I)求证：PD=PE; (2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证 明 8.(24-25八年级下.全国.单元测试)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB边的中点， 点E、F分别在射线CA、BC上，且∠EDF=90°，连接EF. 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，当点E、F分别在边CA和BC上时，连接CD, ①证明：△AED≌△CFD. ②直接写出SEFc,SAEFD和S。4Bc的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上时，SAEFD,SFc和SABc的关系是：- (3)应用：若AC=6,AE=2,利用上面探究得到的结论，求△EFD的面积. 题型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解 1.核心性质：等腰三角形底边上的高、底边中线、顶角平分线“三线合一”，即使底边中点未知，所作高线 也会自动经过它。 2.关键步骤：直接从等腰三角形的顶点（顶角）向底边作垂线，此线段即为高。 3.几何转化：高线将原等腰三角形分成两个全等的直角三角形，同时自动创造出底边的“一半”（即高足为 底边中点)。 4.建立方程：在其中一个直角三角形中，利用勾股定理（腰为斜边，高与半底边为直角边）建立关键方程， 将已知和未知量联系起来求解。 5.适用范围：此法是当已知腰长和底边长（或反之）求高、面积或相关长度时的普适方法，是无明确中点 问题的最直接解法。 9.(25-26八年级上.宁夏银川期中)如图是腰长为6的等腰三角形放入平面直角坐标系中，已知点B的坐 标为-4,0)，则点A的坐标是 B OC 10.(25-26八年级上山西忻州月考)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=AD,AC⊥CD, 若CD=1,则AC的长为 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 11.(25-26八年级上·吉林松原·期末)如图，在ABC中，∠A=120°，AB=AC=4,D是BC的中点.动 点P、Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点B、终点C.连接PQ、DP和DQ.设 点P的运动时间为(s, P (1)求证：DPQ是等腰三角形： (②)若△BDP是等腰三角形，直接写出∠APD的大小. 12.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,AD∥BC,连接 CD D B (I)求证：△ACD等腰三角形； (2)若BC=16,AD=10,求ABC的面积. 题型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明 1.直接作高：从等腰三角形的顶点向底边作垂线。 2利用“三线合一”：所作高线必然同时也是底边的中线，它将底边平分为两个相等的线段。 3构造直角三角形：这条高将原三角形分成两个全等的直角三角形。 4.应用勾股定理：在其中一个直角三角形中，以腰为斜边，高和半底边为直角边，建立方程进行计算，从而 解决问题。 13.（25-26八年级上·江苏连云港·月考)如图，在ABC中，AB=AC,过CA延长线上一点D作DE⊥BC 于点E,交AB于点F,己知F为AB的中点. 5/11 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E (I)求证：△ADF为等腰三角形； (2)若EF=3,求DE的长. 14.(24-25八年级上辽宁大连期中)如图，在等边ABC中，点D在BC边上，点E在AC延长线上，且 AD=ED B D D B 图1 图2 (I)求证：∠BAD=∠CDE; (2)若等边ABC的边长为6，BD=2,求AE的长： (B)求证：BD=CE; (4)如图，当点D在CB的延长线上，点E在CA延长线上时，其它条件不变，(3)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由 15.(25-26八年级上江苏扬州月考)如图，ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，△ABD为等腰三角 形，AD=AB=BC,点E为DB延长线上一点，且∠BAD=2∠CAE. B E (I)若LCAE=15°，则求∠CBE和∠AEB的度数； (2)求证：AE⊥CE; (3)若AE=a,BE=b,CE=c,请直接写出ABC的面积为 .(用含a,b,c的式子表示) I6.在ABC中，AB=AC,过点C作射线CB,使∠ACB'=∠ACB(点B与点B在直线AC的异侧)点D 6/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是射线CB上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且LDAE+LACD=90°， 图1 图2 (I)如图l,当点E与点C重合时，AD与CB的位置关系是-，若BC=a,则CD的长为_-；（用含a的式子 表示) (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE· ①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·云南昆明期末)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，下列结论不一定正 确的是() D A.AD⊥BCB.∠BAD=∠CADC.BD=AD D.∠B=∠C 2.(25-26八年级上·全国期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC为等腰三角形，AB=AC,BC∥x轴， 若A2,4,B(-1,1,则点C的坐标为() B A.(2,3 B.(3,1 C.(5,1 D.(1,5 3.(25-26八年级上陕西安康·期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC,过点C作CE⊥AC且CE=AC, 过点A作AD⊥BC于点D,过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F,若BC=6,则EF的长为() 7/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.2 B.3 C.4 D.6 4.(25-26八年级上·陕西渭南·期中)如图，在ABC中，AB=BC,E是边AC上一点，连接BE并延长至 点D,连接DC,过点B作BM⊥AC于点M,若∠BCD=∠ABC=120°，AB=2DC,AE=7,则CE的长 为() A.2 B.3 c 5.(25-26八年级上：内蒙古鄂尔多斯期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC,D为BC延长线上一点， EC⊥AC且AC=CE,垂足为C,连接BE,若BC=8,则△BCE的面积为() 4 D A.8 B.16 C.32 D.64 二、填空题 6.(25-26八年级上湖南长沙期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD是边BC上的高.若BC=10，,则 BD的长为 D 7.(25-26八年级上辽宁盘锦月考)如图，己知∠A0B=60°，点P在边OA上，0P=20,点M,N在边 OB上，PM=PN.若MN=6,则OM=一 人60 —B 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(25-26八年级上四川达州月考)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,BC=CD=10,AB=21 ,AD=9,则AC的长为 C D 9.(25-26八年级上北京期中)如图，四边形ABCD中，AB=AD,点B关于AC的对称点B恰好落在CD 上，若∠ACB=a,则∠BAD的度数为」 (用含有a的代数式表示) 10.(25-26八年级上·广东揭阳·月考)如图所示，等腰三角形ABC的底边BC为8cm,腰长为5cm,一动点 P在底边上从点B向点C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当P运动 秒时，P点与顶点A 的连线PA与腰垂直. 三、解答题 11.(25-26八年级上安徽六安期末)如图，0A=0B,AC=BD,OA⊥AC于点A,OB⊥BD于点B, OM⊥CD于点M,求证：OM平分∠AOB. ◇B C M D 12.(25-26八年级上全国期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中点， DE⊥AC于点E,AE=2cm,求： E B D 9/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)∠C的度数； (2)AB的长 13.(24-25八年级下·广西南宁·开学考试)房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固， 也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示.如图2是屋顶设计图一部分，AB=AC,BC=10米. 图1 图2 (I)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱AD支撑，立柱AD垂直于横梁BC,垂足为点D.请在图 2中作出立柱AD(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)； (②)当∠BAC=90°时，求立柱AD的长. 14.(25-26八年级上·四川成都月考)定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直 角边等于斜边的一半.如图1，等腰ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D,则D为BC 的中点，∠BAD--7R4C=60°，LB=30,在直角三角形ABD中，4D:BD:4B=:3:2,直C3:迅 移应用：如图2，ABC和ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D、E、C三点在同一条直线上， 连接BD. D B 图1 图2 (I)求证：△ADB≌△AEC; (②)请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式； (3)如图2，若AD=2√5，BD=4,求线段BC的长 15.(24-25八年级上浙江金华·月考)如图，在△ABC中，AB=AC=42,∠BAC=90°，AD⊥BC,E在 AC边上运动（不与点A重合），AE<CE,将△CDE沿DE折叠至△FDE,EF分别与AD,AB交于G,H 两点. H D D 图1 图2 10/11 专题08 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线求解与证明 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 1 题型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 4 题型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解 12 题型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论． （1）已知，，则 ； （2）已知，则 ； （3）已知，则 ． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了三线合一定理： （1）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解； （2）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解； （3）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，，是的中点．若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰三角形和含30度角的直角三角形．熟练掌握等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质，是解题的关键． 由三线合一得，由直角三角形中30度角性质得． 【详解】解：∵在中，，是的中点． ∴． ∴． ∵，， ∴． 故答案为：16． 4．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得，再根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图：连接，根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 于， ， ． （2）解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 题型二、等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 5．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据三线合一证明、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证明，即可求证； （2）在中，利用勾股定理解答，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上． (1)求证：． (2)连接，则、、之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． （1）如图：连接，根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，进而得到；由勾股定理可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点是斜边的中点，点，分别在边，上，连接，若． (1)求证：； (2)若点，分别在边，的延长线上，如图，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明． 【答案】(1)详见解析 (2)仍成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍成立，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8.（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或17 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 （1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论； （2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论； （3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。 【详解】（1）证明：①如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ②∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （2）解：如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （3）如（1）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴. ②如（2）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴ 题型三、等腰三角形中底边无中点时，作高求解 1. 核心性质：等腰三角形底边上的高、底边中线、顶角平分线“三线合一”，即使底边中点未知，所作高线也会自动经过它。 2. 关键步骤：直接从等腰三角形的顶点（顶角）向底边作垂线，此线段即为高。 3. 几何转化：高线将原等腰三角形分成两个全等的直角三角形，同时自动创造出底边的“一半”（即高足为底边中点）。 4. 建立方程：在其中一个直角三角形中，利用勾股定理（腰为斜边，高与半底边为直角边）建立关键方程，将已知和未知量联系起来求解。 5. 适用范围：此法是当已知腰长和底边长（或反之）求高、面积或相关长度时的普适方法，是无明确中点问题的最直接解法。 9．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图是腰长为的等腰三角形放入平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，过点作于，由三线合一可得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键． 作，由，，证，再结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 11．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合等边对等角得，再由线段的中点得，即可证明，故，即可作答． （2）先得出，结合是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等角进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的中点． ∴ ∵动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点． ∴， 则， 即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：连接， ∵，是的中点． ∴， 即， ∵，， ∴， 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴（舍去）； 综上：是等腰三角形，则或． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）过点A作，垂足为，根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：过点A作，垂足为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型四、等腰三角形中底边无中点时，作高证明 1.直接作高：从等腰三角形的顶点向底边作垂线。 2.利用“三线合一”：所作高线必然同时也是底边的中线，它将底边平分为两个相等的线段。 3.构造直角三角形：这条高将原三角形分成两个全等的直角三角形。 4.应用勾股定理：在其中一个直角三角形中，以腰为斜边，高和半底边为直角边，建立方程进行计算，从而解决问题。 13．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在中，，过延长线上一点作于点，交于点，已知为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，推出，即可得证； （2）作，交于点，进而得到，三线合一，得到，证明，得到，进而推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）作，交于点， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为6，求的长； (3)求证：； (4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)（3）中的结论仍然成立，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论； （2）过作于，利用等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进行求解即可； （3）过作交于点，易得是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （4）过作交的延长线于，证明是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ，， ； （2）如图，过作于， ， ． 等边的边长为6， ， ， ， ， ， ． ． ； （3）证明：如图2，过作交于点． ， 又， 是等边三角形． ， ， ， 又， ， ． 由（1）得，， 又． ． ． ， ； （4）（3）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，过作交的延长线于，则， ， 是等边三角形． ，． ， ， ， ∴， ， ∴， ． 又，， ， ． ． ． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，点为延长线上一点，且． (1)若，则求和的度数； (2)求证：； (3)若，，．请直接写出的面积为__________．（用含的式子表示） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（）根据等腰三角形的 性质可得，即得，进而可得，又由等腰直角三角形的性质得，进而得到，即可求解； （）分别过点作，，垂足分别为点，可证，得到，再证明，得到，，进而得到，即得，即得到，即可求证； （）根据解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点作，，垂足分别为点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 16．在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【详解】（1）解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴，     ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：互相垂直；； （2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图：        则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图：        ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直线平行的性质、坐标系的应用．过点作，则轴，D为的中点，根据坐标的性质即可求解． 【详解】解：轴，， ， 过点作，则轴， ， ， ， ，即； 故选：C． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在等腰中，，过点C作且，过点A作于点D，过点E作交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质． 先由三线合一得到，再证明，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，是边上一点，连接并延长至点，连接，过点作于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 由，， ，则有，，，可得，从而可得，再证明， 所以，设，则，，由，可得，解得即可． 【详解】解：∵，， ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴，解得， ∴， 故选：． 5．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，是边上的高．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质．熟悉等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、高重合，简称“三线合一”，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质，边上的高同时也是底边的中线，计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵是边上的高 ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和含度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质． 作于，如图，根据等腰三角形的性质得，在中由得到，则根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后计算即可． 【详解】解：作于，如图， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在四边形中，平分，，，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理．在上截取，连接，作于点．可以得出，从而得到，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到，在中和在中，分别利用勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，在上截取，连接，作于点． 平分， ． 在和中， ，，， ， ， ． 在中， ，， ． 在中， ，， ， 的长为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·北京·期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形三线合一，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，过点作于点，可证，那么，根据等腰三角形三线合一，那么，接着证明，接着利用三角形内角和表示出即可． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示： 点关于的对称点恰好落在上，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P在底边上从点B向点C以的速度移动，请你探究：当P运动 秒时，P点与顶点A的连线与腰垂直． 【答案】7或25 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是难点，漏解是易错点． 依题意得，由与腰垂直，分两种情况进行讨论：①当时，过点A作于D，则，，由勾股定理得，由此求出，进而得，则，据此可求出t的值；②当时，过点A作于D，由勾股定理得，由此求出，进而得，则，据此可求出t的值． 【详解】解：∵点P从点B向点C以的速度移动，设运动的时间为t秒， ∴运动的路程， ∵P点与顶点A的连线与腰垂直， ∴有以下两种情况： ①当时，过点A作于D，如图1所示： ∴等腰三角形的底边为，腰长为， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴当点P运动7秒时，． ②当时，过点A作于D，如图2所示： 由①可知：，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴当点P运动25秒时，． 综上所述：当P运动7或25秒时，P点与顶点A的连线与腰垂直， 故答案为：7或25． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，，于点，于点，于点．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键． 连接，，可证明，由此可得，， 由，利用等腰三角形的三线合一可得，结合即可得出结论． 【详解】如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，即， ∴，即， ∴平分． 12．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，D为的中点，于点E，，求： (1)的度数； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解； （2）连接，由题意易得，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，D为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 13．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分，，米． (1)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱支撑，立柱垂直于横梁，垂足为点．请在图2中作出立柱（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)当时，求立柱的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作平分交于点D，线段即为所求； （2）证明，利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2），平分， ， ， （米）． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，等腰中，，，作于点D，则D为的中点，，，在直角三角形中，，且；迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D、E、C三点在同一条直线上，连接． (1)求证：； (2)请直接写出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，理解题目给出的定理是解题的关键． （1）根据等式的性质可得出，然后根据证明即可； （2）由（1）中，得出，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，过A作于F，则，则根据题目给出的定理可得出，结合，即可得出结论； （3）根据含角的直角三角形的性质求出，结合（2）可求，，根据三线合一的可求出，则，根据勾股定理求出．然后结合根据题目给出的定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又，， ∴； （2）解：． 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， 过A作于F， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （3）解：由（2）知，在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 15．（24-25八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，，，在边上运动不与点重合，，将沿折叠至，分别与，交于，两点． (1)，的周长为_______． (2)若，则，猜想并写出与的数量关系为_，并且证明． (3)若，则的周长为_______． (4)如图2，设与交于点，在整个运动过程中，记与的周长之和为，求出的取值范围为_______． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)或. (4)y的值是变化的，变化范围为 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，则可得出答案； （2）由折叠的性质与垂直的定义，平角的定义即可得出结论； （3）根据勾股定理与直角三角形的性质，求得，，在上截取，连接，过点N作于P，证明，得，再，设，由，，然后在中，由勾股定理，求得x值，由或，代入即可求的值，即可由的周长求解． （4）作的平分线交于N，证明，得，，，再证明，得，，证明，得，从而求得，所以y随着的增大而减小，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， ∴的周长为， 故答案为：，． （2）解：，， ， 将沿折叠至， ， ， ； 与的数量关系为． 证明：∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠至， ∴， ∵， ∴， ， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在上截取，连接，过点N作于P，如图1， ∵将沿DE折叠至， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 设，由，， 在中，由勾股定理，得 解得：， ∴， ∴， ∴当时， 的周长． 当时， 的周长． 综上，的周长为或. （4）解：作的平分线交于N，如图2， ∵平分 ∴， 由（1）知：， ∴ ∵，， ∴，， ∴ ∴，，， ∵将沿DE折叠至， ∴，，， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴ ∴， ， ∵，， ∴ ∴y随着的增大而减小， ∵E在AC边上运动（不与点A重合），， ∴点M在线段上， ∴，即， 此时， 当时，此时DM最小， ∵， ∴ ∴ ∴由勾股定理，得， ∴ 此时y取得最大值为，即， ∴． 故y的值是变化的，变化范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $