平面向量基本概念与线性运算专题复习讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量基本概念与线性运算 一．基本原理 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|；当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线定理 人教版必修二第26页例1，展示了下面的一个重要结论： （三点共线向量结论）若三点共线，则当且仅当. 二．典例分析 1．如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 解析：因为为平行四边形，所以.故选：B. 2．已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C．2 D． 解析：因为，，所以.故选：. 3．已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：平面向量，，均为单位向量，则，当且仅当同向共线时取等号，则当时，与共线，反之，与共线并且方向相反时，，所以“”是“与共线”的充分不必要条件，A正确.故选：A 4．在平行四边形中，点、分别在线段和上，满足，，若，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 解析：因为，，则，所以， 同理，所以， ，又因为，所以，解得：.故选：B. 5．如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点， 如图，，故选：A. 6．（多选题）下列说法不正确的是（    ） A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得 B．若向量共线，则点必在同一直线上 C．若且，则 D．若点为的重心，则 解析：由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的； 向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线， 只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，故B不正确；由平面向量的数量积可知，若，则，所以，无法得到，故C不正确；设线段的中点为，若点为的重心， 则，而，所以，即D正确.故选：BC． 7．（多选题）下列说法错误的是（    ） A．已知命题，则为 B．“”是“”的充分不必要条件 C．的充要条件是存在唯一的实数，使 D．已知都是实数，则“”是“”的充要条件 解析：A选项，的否定是：，A选项错误. B选项， 或， 所以“”是“”的充分不必要条件，B选项正确. C选项，若是非零向量，是零向量，则，但不存在使得，所以C选项错误. D选项，对于“”有，对于“”，不一定都是正数，所以D选项错误.故选：ACD 8．在梯形中，，则________ 解析：因为，又，得到，所以，故答案为：. 9．如图所示，中为重心，过点，，，则________    解析：设,根据题意，； ，，，三点共线，则存在，使得， 即，即， ，整理得，所以；故答案为：3 10．已知向量，（三点不共线），判断下列各题中的点是否在直线上． (1)； (2)； (3)． 解析：（1）因为向量，（三点不共线），则，可作为该平面的一个基底，所以存在，使得任一向量满足，当时，，则，所以，则， 故点在直线上；当点在直线上时，则存在，使得， 所以，则， 又，所以，则；所以是点在直线上的充要条件.对于，显然，所以点在直线上. （2）对于，显然，所以点不在直线上 （3）对于，显然，所以点不在直线上 11．如图，在中，向量是哪两个向量的和，哪两个向量的差？    解析：，，，， ，，，， ，，，. 12．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点．    (1)试问与是相等向量还是相反向量？说明你的理由． (2)若，试用，表示，． 解析：（1）由题意可得：，因为，分别为，的中点，所以， 所以与是相等向量. （2）由题意可得：； 因为，则，所以. 13．如图，在中，分别是边上的动点.    (1)证明：； (2)当分别是边的中点时，用表示. 解析：（1）因为分别是边上的动点，所以存在 使，所以. 令，则，因为，所以，所以. （2）因为分别是边的中点，所以，又，所以，所以，所以，即， 所以. 故. 14．如图，已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，，试用，表示，，，．    解析：因为，且，、分别是、的中点，故CD=AF且CD//AF， 所以四边形AFCD为平行四边形，则，， 所以. 15．已知非零向量，，，，画图并说明是的平分线． 解析：因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，如图，设，则，，以为邻边作平行四边形，则，且平行四边形为菱形，所以平分，所以，又为公共端点，所以三点共线，所以是的平分线． 习题演练 一、单选题 1．在中，点满足，直线与交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 4．设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．平行四边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为，所以 ，这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 . 7．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 . 8．已知所在平面内一点满足，则 ． 参考答案 1．C 【分析】根据已知条件可知，，，三点共线，，，三点共线，利用共线定理设参数将，用，表示，再根据向量相等求出参数值，从而求出的值. 【详解】 设， 则， 因为，且，共线， 所以可设，即 所以， 所以，解得，所以，即， 故选：C. 2．C 【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故选：C 3．ABD 【分析】根据共线向量定理，即可判断选项． 【详解】对于A，因为，，故，即，故A正确； 对于B，因为，，则，故B正确； 对于C，，，由于不共线，故，所以向量不平行，故C错误． 对于D，，故，此时，故D正确， 故选：ABD． 4．ACD 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合； 对于B，，故共线，所以B不符合； 故选：ACD. 5．BC 【分析】根据向量间关系判断向量平行关系判断A,B,C,假设向量共线求参法判断D. 【详解】因为，是不共线的向量，所以，都不是零向量． A中，若与共线，则，共线，这与已知矛盾，所以与不共线； B中，因为，所以与共线； C中，因为，所以与共线； D中，若与共线，则存在实数，使， 即，所以． 因为，是不共线向量， 所以，方程组无解， 所以与不共线. 故选：BC. 6． 平行四边形法则 【分析】略 【详解】略 7．3 【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值. 【详解】已知，根据向量的减法法则， 则.因为，又，所以，移项可得. 由于，那么，所以. 故答案为：. 8．5 【分析】取的中点，则，进而可得. 【详解】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故，    故答案为：5 学科网（北京）股份有限公司 $$