专题2.6 平面向量极化恒等式与最值（范围）问题7大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题2.6 平面向量极化恒等式与最值（范围）问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求模的取值范围 题型02求向量夹角的取值范围 题型03极化恒等式求数量积 题型04极化恒等式求向量数量积的最值（范围） 题型05定义法求向量数量积的最值（范围） 题型06基底法求向量数量积的最值（范围） 题型07投影法求向量数量积的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求模的取值范围 掌握利用平方转化为数量积求模范围；理解模的几何意义（距离）；能结合图形判断最值点 基础题型，常与圆、三角形结合，难度中等，需注意不等式放缩的应用 求向量夹角的取值范围 熟练运用夹角公式，能根据条件确定数量积的正负与模的关系；注意夹角的范围限制 考查频率较高，常在小题中出现，需结合图形判断夹角变化趋势，易忽略范围端点 极化恒等式求数量积 熟练掌握极化恒等式公式、几何意义，能将共起点向量的数量积转化为中线长与底边半长的关系 中等难度，是解决共起点数量积的利器，常与三角形中线结合考查，简化计算明显 求数量积的取值范围 高一阶段重点掌握 定义法、基底法、极化恒等式 三种方法，投影法可结合图形理解，有中线结构优先用极化恒等式；有基底条件优先用基底法；图形规则可用坐标法替代 最值与范围问题是平面向量的难点，常在期中期末压轴题中出现，综合考查代数变形与几何直观能力 知识点01 极化恒等式 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明： ①， ②， 1 ②两式相加得： 从几何角度理解与记忆， 2、极化恒等式： ①②两式相减得极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 知识点02 平面向量数量积的最值与范围 1、 直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固定，则可根据夹角大小来确定。 2、 利用极化恒等式来求数量积的最值。 (1) 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：. (2) 极化恒等式 3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。 知识点03 平面向量数量积的应用 1、利用数量积求模长 如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长 2、利用数量积求夹角 根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 3、向量的投影： 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 题型一 求模的取值范围 解｜题｜技｜巧 1、利用及，将模长问题转化为数量积运算 2、，对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合，用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图示，确定点的轨迹，然后根据图形确定的最小值. 【详解】如图，设，，，． 由得，即， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 过点作的垂线，垂足为，又，,则 所以的最小值为． 故选：C． 【典例2】（2026高一�全国�专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得，设，得到，求得的坐标，根据向量的坐标运算，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意可得：，，， 因为，可得， 即，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为，可得， 则， 可得 ， 令，可得， 则，其中， 因为， 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 所以的取值范围为. 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点.若，且，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算，结合数量积可求得，确定其取值范围，再根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得， 所以，即， 因为点是圆内部一点，所以，解得， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：D 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若满足，，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】由极化恒等式转化得，利用投影向量的模，通过，求得的范围即可． 【详解】如图，取，因为，，所以可构造平行四边形， 由投影向量的模可知的终点分别在垂直于的直线上，且， 所以，． 由极化恒等式可得，所以， 即，当与同向时等号成立． 故答案为：. 题型二 求向量夹角的取值范围 答｜题｜模｜板 1、利于向量数量积公式来计算向量的夹角，将夹角问题转化为的取值范围问题。 2、通过已知的向量关系建立不等式或函数关系求解，注意余弦函数在上的单调性。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程有实根及向量的数量积求解即可. 【详解】因为关于的方程有实根， 所以， 因为，所以，，所以， 即与的夹角的取值范围是． 故选：B 【典例2】（25-26高三上·上海·期中）已知平面单位向量，满足，设，若与夹角为，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据已知条件及向量数量积的运算律求得且，进而求范围. 【详解】由题设，则，可得， 由， ， ， 由 ， 令，则， 而，所以的范围为. 故答案为： 【变式1】（2025·江苏苏州·三模）已知向量在向量上的投影向量为，若，则向量与夹角余弦值的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据题意设出向量的坐标，再由向量夹角余弦公式，化简后利用二次函数性质求最值即可得解. 【详解】设向量， 因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即，故可设， 所以， 所以 ， 由二次函数性质，当时，的最小值为 故答案为：. 【变式2】（25-26高三上·河北·月考）为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等边三角形的边长为1，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出，可得，结合二次函数的性质求出最值即可. 【详解】设等边三角形的边长为1， 以为原点，所在直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以， 所以， 则， 所以， 则. 又因为， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C. 题型三 极化恒等式求数量积 答｜题｜模｜板 从极化恒等式的几何意义可知，向量的数量积可以由向量的模来表示，它等于中线的平方减去第三边一半的平方。 【典例1】（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选择为基底法，由， ，求得.根据向量共线定理及，确定点的位置，从而求得. 【详解】由已知， ； ； 联立可得. 设，. 则. 因为，所以，解得. 所以，点是上靠近点的三等分点， 所以； 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，与交于点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：根据对角线向量定理，可得角的类别以及线段长度的大小关系，根据向量点乘积的计算公式，可得答案；法二：根据对角线向量定理，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由对角线向量定理得, 故为锐角，设点为的中点， 而，故为钝角， 且. 法一： ，， ，则，即. 法二：因为，， ，故； 所以， 而， 由，则，所以. 故选：B． 【变式1】（2025·青海·模拟预测）青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为，，，，，五边形ABCDE为正五边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：取的中点，连接,则求解；解法二：，进行求解． 【详解】解法一：取的中点，连接, 因为，所以在中，， 则． 解法二：在正五边形中，，，． ， ， ． 故选：A 【变式2】（25-26高一下�江苏泰州�月考）平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案. 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 题型四 极化恒等式求向量数量积的最值（范围） 答｜题｜模｜板 1、极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 2、用极化恒等式信号： （1）出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 （2）出现对角线长度已知的平行四边形。 （3）已知两个向量的和向量与差向量的长度。 【典例1】（25-26高一下·陕西西安·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为基底，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 【典例2】（25-26高一下�安徽六安�月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 【变式1】（2026高一�全国�专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】因为，由向量的线性运算可得，又因为整理可得，由此得到的最小值为. 【详解】 因为 如图所示设中点为，则， 所以； 设中点为, 当且仅当，即点与点重合时，有最小值. 故答案为：. 【变式2】（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知在中，，若的最小值是，则对于内的任意一点，的最小值是___________． 【答案】. 【分析】先将整理成，得到的最小值为，取的中点，连接，求出.根据平面向量加法的平行四边形法则得到，从而得到，取中点，利用平面向量的三角形法则得到，，从而得到 ，从而求出的最小值. 【详解】， ，的最小值为， 的最小值为到的距离，到的距离为， 取的中点，连接， ，，，   ，，， 取中点，则，，，， ， 是内的任意一点，，，的最小值为. 故答案为：. 题型五 定义法求向量数量积的最值（范围） 答｜题｜模｜板 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 注意：数量积是数量，不是向量。 2、根据定义表示出向量数量积，然后通过讨论夹角或模长来讨论数量积的范围。 【典例1】（2026高一下·全国·专题练习）若向量，满足，，且对任意的单位向量满足，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】根据向量三角形不等式的关系及数量积的应用进行计算即可得到结果. 【详解】先求最大值． 由题意知， 则恒成立，从而，所以． 平方得，所以． 再求最小值． 易得， 则，从而，所以． 平方得，所以． 综上知的最大值为，最小值为． 【典例2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，则中，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，则，利用三角恒等变换可求最大值. 【详解】设，则， 因为，与的夹角为， 所以在中，，，如图所示， 由正弦定理得外接圆的半径为， 则为圆上与不重合的动点， 设， 由正弦定理可得， 则 ， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）平面向量满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】分别设出坐标，列方程计算即可. 【详解】不妨设，依题意可设，则， 取． 由于， 当时， ，等号成立时． 当时，， 当时，， 所以的最大值为2 故答案为：2． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知，，对任意的单位向量恒成立，求的最大值． 【答案】 【分析】根据，当且仅当在单位向量上的投影向量方向相同时等号成立，及题意得出恒成立，再根据数量积的运算律，转化为成立，进而得出，平方后即可求解. 【详解】因为，当且仅当在单位向量上的投影向量方向相同时等号成立， 所以由题意知，即恒成立， 即恒成立，从而成立． 因为恒成立， 所以，即， 所以， 即的最大值为． 题型六 基底法求向量数量积的最值（范围） 答｜题｜模｜板 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开后，再来确定数量积的取值范围 【典例1】（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值. 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 【典例2】（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】利用平面向量的基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意分点在上时，点在上两种情况进行运算求解即可. 【详解】当点在上时，如图1，，，，为的中点， 所以为等边三角形，即， 所以，又， 所以． 当点在上时，如图2， 此时，所以， 又，所以． 综上，． 故答案为： 【变式2】（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 题型七 投影法求向量数量积的最值（范围） 答｜题｜模｜板 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求数量积的最值或范围。注意投影数量的正负性。 【典例1】（25-26高三下�江苏泰州�开学考试）由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，由正六边形的性质可得： 正六边形边长为，则，，正三角形任意底边上的高为， 以中点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示， 则，，， 设与的夹角为，， 其中表示在方向上的投影， 由图可知，当点取时，在方向上的投影长度最短， 点取时，在方向上的投影长度最长， 故点取时，，此时，为最小值； 点取时，，此时，为最大值； 故的最小值、最大值分别为. 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·月考）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，AB、AF分别为x，y轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段GF（除）上、在线段GH上运动和在线段AH（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案． 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知到AF的距离为， 则， 直线GF的方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为， 当在线段GF（除）上运动时，设， 所以， 当在线段GH上运动时，设， 所以， 当在线段AH（除）上运动时，设， 所以． 的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故， 故， 所以最大值为 故选：D 【变式1】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知正六边形的边长为1，集合，则中任意两个元素的数量积最大值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】依据正六边形的对称性和数量积的几何意义，计算可得结果. 【详解】如下图， 由正六边形对称性以及数量积的几何意义可知： 中任意两个元素的数量积最大值为. 故选：D． 【变式2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（　　） A．8 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】取等边的中心为，利用向量的线性运算化简可得，然后结合数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取等边的中心为，的中点为， 则， 因为， 所以，则， 故点在以为圆心，1为半径的圆上． 过作交圆于点，且与方向相同， 由向量数量积的几何意义知，当点与点重合时，取最大值， 此时，过点作的垂线，垂足为，易知， 所以． 故选：D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 2．（24-25高一下�江苏宿迁�期中）图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（   ） A．23 B．29 C．21 D．24 【答案】A 【分析】利用可求解. 【详解】因为正方形的中心与圆的圆心重合，所以是的中点， 又正方形的边长为2，所以，所以， 所以 . 故选：A. 3．（25-26高三上·北京海淀·月考）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：利用几何法，延长线段至点，使得，然后由数量积的几何意义求得结果；方法2：利用代数计算法，将等式展开得到，进而可求得结果. 【详解】法1：由题意得，延长线段至点，使得， 易知在以为直径的圆上（不含两点），由数量积的几何意义可知 故选：C. 法2：由可得. 设夹角为，得，故，解得，故. 故选：C. 4．（25-26高三上·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 5．（24-25高一下·河北邢台·期末）如图，正方形的边长为4，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】为定值，所以在方向射影最大时，最大. 【详解】， 最大时，的值最大，即在方向射影最大时，的值最大 所以于同向共线时最大， 在所有于同向共线的位置中，当M位于A、D两点时最大. 此时， . 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·广东佛山·期中）折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合正弦函数的性质求出范围. 【详解】以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， ， 因此 ， 而，则，， 所以的范围为. 故答案为： 2．（24-25高一下·福建泉州·期末）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，以的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．已知为上的一点，为的中点，若，则的最大值为_________，最小值为_________． 【答案】 4 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角恒等变换可求的最值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则， 所以 ，其中， 则，则，所以， 所以当时，， 当时，. 故答案为：；. 3．（24-25高一下·河南濮阳·期末）在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 【答案】13 【分析】利用向量线性表示、向量数量积公式，可得，又在以为圆心，2为半径的圆上，进而求得的最大值，可得结论. 【详解】如图所示： 因为，，又点是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点是的中点，所以， 所以在以为圆心，2为半径的圆上，又， 故，即， 所以的最大值为5，即三点共线，且在两点之间取得最大值， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·福建莆田·期末）已知点是的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是__________. 【答案】 3 / 【分析】根据重心性质得到，进而，由共线定理得推论得到，并由余弦定理得到，，表达出，由基本不等式求出最小值. 【详解】点是的重心，故， 又，，所以， 又三点共线，故，解得， ，由余弦定理得 ， 故， 由余弦定理得， 因为，， 所以， 又，且， 由基本不等式得，解得， 所以. 故答案为：3， 5．（25-26高三上·天津南开·月考）在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为________，的最小值为________. 【答案】 【分析】先向量分解，可以用表示出，再根据向量数量积即可求出；以为原点，为轴建立坐标系，则可求出点，，坐标，分别求出，即可求解. 【详解】由题意知， 而， 所以， 由向量夹角公式可求出，因为所以可求得 又因，所以， 解之可得或（舍）； 以为原点，为轴建立坐标系，则可知点，， ，设点则， 所以， 又因，所以当时最小，最小值为.    故答案为： 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式表示出，再根据同角三角函数关系表示出，利用换元法和基本不等式即可求解． 【详解】∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令， 则， ∴， 当且仅当，即2（此时）时等号成立． 即的最大值为． 故选：C． 2．（25-26高二上·湖北·月考）已知等边的边长为2，点是平面内任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】记，用平面向量的数量积运算解题． 【详解】设等边的重心为，记， 则有， 从而 ， 又， 可得， 所以，当时，取得最小值. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则的夹角的最小值是______． 【答案】 【分析】解法1：设的夹角为，，，由推得，即得，结合，代入计算可得在上恒成立，由求得即得其最小值；解法2：由可得恒成立，只需，即，即，化简得在上恒成立，同法求得. 【详解】解法1：设的夹角为，，，由可得， 两边取平方，可得， 即，该式对任意恒成立， 所以，即， 从而，计算整理得：，该式对任意的恒成立， 所以，得，因，则． 故所求最小值为． 解法2：易知，，则， 即恒成立，故只需，即恒成立．因， ，则有， 即，由得，因， 所以．故所求最小值为． 故答案为：. 5．（2026高一下·全国·专题练习）已知平面向量两两都不共线．若，，的最大值是________． 【答案】/ 【分析】采用数形结合画出图象，的最大值即所有向量在上的投影之和最大，即可得到答案. 【详解】因为 ， 所以 ，则， 固定， 又因为，依次类推画出图象，如图所示： ,,,,. 则，或1，，或2，. 的最大值即所有向量在上的投影之和最大时，看图易得即当取远离时，取靠近时取得最大值， . 故答案为：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.6平面向量极化恒等式与最值（范围）问题（期中复 习讲义) 内容导航 明期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求模的取值范围 题型02求向量夹角的取值范围 题型03极化恒等式求数量积 题型04极化恒等式求向量数量积的最值（范围） 题型05定义法求向量数量积的最值（范围） 题型06基底法求向量数量积的最值（范围） 题型07投影法求向量数量积的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 求模的取值范围 掌握利用平方转化为数量积求模范围；理 基础题型，常与圆、三角形结合，难度中等， 解模的几何意义（距离）；能结合图形判 需注意不等式放缩的应用 断最值点 求向量夹角的取 熟练运用夹角公式，能根据条件确定数量 考查频率较高，常在小题中出现，需结合图 值范围 积的正负与模的关系；注意夹角的范围限 形判断夹角变化趋势，易忽略范围端点 制 极化恒等式求数 熟练掌握极化恒等式公式、几何意义，能 中等难度，是解决共起点数量积的利器，常 量积 将共起点向量的数量积转化为中线长与 与三角形中线结合考查，简化计算明显 底边半长的关系 求数量积的取值 高一阶段重点掌握定义法、基底法、极化 最值与范围问题是平面向量的难点，常在期 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 范围 恒等式三种方法，投影法可结合图形理解 中期末压轴题中出现，综合考查代数变形与 ,有中线结构优先用极化恒等式；有基底 几何直观能力 条件优先用基底法；图形规则可用坐标法 替代 记·必备知识 属知识点1极化恒等式 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： D a+b B 证明： a+2-(a+)=2+2a6+l@, a-=(a-6)2=a22a6+②， ①②两式相加得：后++后-=2+6 从几何角度理解与记忆，|AC2+|DB2=AB12+|BC2+CD2+|DA2 2、极化恒等式： ①②两式相减得极化恒等式：京石=[（京+）2.（京-）] 从三角形的几何意义理解与记忆：A·A=Aò2-O极化恒等式表明，向量的数量积可以由向 量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系 知识点2平面向量数量积的最值与范围 1、直接利用数量积公式求最值，两平面向量的数量积大小根据两个向量模长、夹角大小来确定，若模长固 定，则可根据夹角大小来确定。 2、利用极化恒等式来求数量积的最值。 (①)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：目++目-=2+的 (②极化恒等式京6=引（信+）2（京-）2] 3、利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式AB·A元=ABAC]cos<AB,AC>,如其中有一边 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB为固定的长度，则直接根据|ACcos<AB,AC>(可看做是AC在AB边上的投影数量)来决定数量 积的范围。 昼知识点3平面向量数量积的应用 1、利用数量积求模长 如果知道京：的模长，以及京石向量夹角，则可以根据|a士=a士B)-骨±2石·+不求 a土向量的模长 2、利用数量积求夹角 根据cos(a,)=: 五 可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 3、向量的投影： a.b.=la.cose. b 0 向量a在b上的投影向量： 同，其中同是与方同方向的单位向量 ab 向量a在b上的投影向量模长： 破·重难题型 它题型一 求模的取值范围 解|题|技|巧 1、利用a=√a·a及(a士)=a±2a.方+，将模长问题转化为数量积运算 2、川a-b川≤|a士b≤|a+b,对这个式子的理解，可以从向量加减的几何图形结合， 用三角形三边或者共线的时候长度关系来理解模长之间的关系。 【典例1】(2025高一，全国.专题练习)已知ā，6，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量ā与e的夹角 为行，向量石满足不-4e6+3=0,则-6的最小值是()。 A.1 B.√5 C.V3-1 D.V3+1 【典例2】(2026高一？全国？专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知0M=1,0N=5,MN=2 ,且P(2,5),则0M+0-20P的取值范围是 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26高二上湖南长沙开学考试)己知0为圆心，点A是圆0上一点，点P是圆0内部一点 若OA=2,且OA.AP=-2,则OA+OP的最小值为() A.1 B.3 C.2 D.3 【变式2】(2025高一全国.专题练习)已知ā，6，e是平面向量，e是单位向量，若满足ā·e=1，be=2, ab=3,则a+b的最小值是 题型二求向量夹角的取值范围 答|题模板 超 1、利于向量数量积公式C0s9=静来计算向量的夹角，将夹角问题转化为c0s日的取值范围问题。 2、通过已知的向量关系建立不等式或函数关系求解，注意余弦函数在[0，π]上的单调性。 【典例1】(25.26高一下全国课堂例题)已知a=2,同≠0，且关于x的方程x2+ax+a-i=0有实根， 测a与的夹角O的取值范围是() B. G c.[ D. 【典例2】(25-26高三上·上海期中)已知平面单位向量e,,满足2-6≤2，设ā=g+6,万=3+6， 若a与b夹角为O,则cos20的取值范围是 【变式1】(2025江苏苏州三模)已知向量ā在向量6上的投影向量为26，若=1，则向量2a+6与 ā+2b夹角余弦值的最小值为。 【变式2】(25-26高三上·河北月考)P为等边三角形ABC所在平面内的一点，向量AP=xAB+yAC,且 1≤x≤2,1≤y≤2.设向量AD与AB的夹角为0，则Cos的最大值为() A.6 B. 6 c.5v D. 2√7 4 3 14 1 它题型三 极化恒等式求数量积 答|题|模板 从极化恒等式的几何意义可知，向量的数量积可以由向量的模来表示，它等于中线的平方减去第三边一 半的平方。 【典例1】(25-26高一下·湖南长沙开学考试)设Q是线段MN的中点，P是直线MN外一点A,B为线段 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D上的两点，PA=40,且PM.PN=70,AM.不=16，BM.BN=6,则e=（) PB A昌 c. D 【典例2】(2025高三全国.专题练习)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AB=3,BC=CD=DA=2, AC与BD交于点0，记1=0A0B,I2=0B.0C,1=0C.0D,则(） D A.I<1,<I B.I<I3<1 C.I,<I<I D.I3<I1<2 【变式1】(2025青海模拟预测)青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮， 现存于三星堆博物馆.如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为A,B,C,D,E, 五边形ABCDE为正五边形，AB=25,则AB.AD=(） E B A.312.5 B.625 C.1250 D.625c0s36 【变式2】(25-26高一下？江苏泰州？月考)平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2且AB.AD=-4,点P 是边CD的一个四等分点（靠近C点），则PA.PB=」 它题型四极化恒等式求向量数量积的最值（范围） 答|题模板 1、 极化恒等式：6=[（京+）2(a-)2] 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 从三角形的几何意义理解与记忆：A·A而=Aò2O极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的 模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系。 2、用极化恒等式信号： (1)出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 (2)出现对角线长度已知的平行四边形。 (3)己知两个向量的和向量与差向量的长度。 【典例1】(25-26高一下陕西西安月考)在菱形ABCD中，AB=3,∠ABC=元， 3,点E是AB的中点，点F 在线段BD上（包含端点），则FCFE的取值范围为() A[利 99 B.[1,9] c.[0,9] 64 因为0≤2≤1，所以FC.FE的取值范围是 999 64 【典例2】(25-26高一下？安微六安？月考)已知ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点， 则PA:PB+PC)的最小值是 【变式1】(2026高一？全国？专题练习)设P是ABC所在平面内的一点，若2AP-BP-CP=2,则 PA·PB+PAPC的最小值为 【变式2】(25-26高三上辽宁大连期中)已知在ABC中，AB=4,AC=4,若2AB+(1-元)AC的最小 值是23，则对于ABC内的任意一点P,PA(PB+PC)的最小值是 亚题型五 定义法求向量数量积的最值（范围） 答|题|模板 1、定义：已知两个非零向量a,,则cos(a,)叫做a,的数量积，记作.，即 ·石=cos(京，）.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，京·京=a2 注意：数量积是数量，不是向量。 2、根据定义表示出向量数量积，然后通过讨论夹角或模长来讨论数量积的范围。 【典例1】(2026高一下全国专题练习)若向量ā，6满足=1，=2，且对任意的单位向量e满足 a.e+b.esv6,求a.b的最大值和最小值， 【典例2】(2025吉林长春模拟预测)已知平面内两个非零向量m,n满足园=V2,且m-”与的夹角为 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 135°，则mn的最大值为（) A. 3 +1 B.√2+1 C. +2 D.√2+2 2 【变式1】(2025高三全国.专题练习)平面向量a,6,c满足a=1,ab=b.c=1,a-万+c≤22，则ac的 最大值为 【变式2】(2025高三全国专题练习)已知d=1,同=2，对任意的单位向量e,a:+6.es6恒成立， 求a.b的最大值. 它题型六基底法求向量数量积的最值（范围） 答题模板 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，将所求的向量用一组已知 模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开后，再来确定数量积的取值范围 【典例1】(2026辽宁抚顺一模)已知菱形A8CD的边长为2，∠B4D=行，点P在线段8C上，点Q在线 段DC上，BP=QC,则DP.BO的最大值为() A月 B.2 D.-2 【典例2】(25-26高一下·全国·单元测试)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点， CE=DE,BE=2B丽+uBC,则2+= ;F为线段BE上的动点，G为AF中点，则 AF.DG的最小值为 【变式1】(2025高三全国·专题练习)在平行四边形ABCD中，已知AB=2,AD=1,∠DAB=60°，M 为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则AP.DM的取值范围是 【变式2】(2026湖北二模)如图，ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大 正三角形，若AD=8,BD=4,点M为线段CE上的动点，则(AM-BC)·MD的最大值为() 64 A. B.21 C.24 D.40 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 它题型七 投影法求向量数量积的最值（范围） 答|题模板 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去 求数量积的最值或范围。注意投影数量的正负性。 【典例1】(25-26高三下？江苏泰州？开学考试)由六个边长为1的正六边形构成如图所示的图形，若两两 不重合的三点A,B,C均为正六边形的顶点，且A,B的位置如图所示，则AB.AC最小值、最大值分别为 () A55 2’2 B.3,25 C.25 n39 【典例2】(25-26高一上江苏南通·月考)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术 之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形 ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP.AB的范围是() H B 图1 图2 A.[-2,2N2] B.「-2v2,221 C.「-2,4+22] D.[-2√2,4+2V21 【变式1】(25-26高三上广东深圳期末)已知正六边形A,A,A,A,4,A。的边长为1，集合 M={A,Ai,01,2,3,4,5,6,则M中任意两个元素的数量积最大值为() A月 B.5 C.2 D.3 【变式2】(25-26高三上·湖南长沙·月考)已知ABC是边长为4的等边三角形，点P是ABC所在平面 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 内的一点，且满足AP+BP+CP=3,则亚4B的最大值是() A.8+25 B.8 C.16v3 D.12 3 过·分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(2025北京东城二模)已知单位向量a,6的夹角为0，若ā+>1，则0的取值范围为() c后刳 . 2.(24-25高一下？江苏宿迁？期中)图中正方形ABCD的边长为2，圆0的半径为5，正方形的中心与圆的 圆心重合，动点P在圆上，则PA.PC的值为() A.23 B.29 C.21 D.24 3.(25-26高三上北京海淀月考)在ABC中，己知3AB-AC(AB-AC)=0且A=1,则AB.AC的取 值范围为() B. C.(1,3 D.(1,3] 4.(25-26高三上云南曲靖月考)如图，正方形ABCD的边长为1，P为△BCD的边上一点，则AB.AP的 取值范围为() 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.[0,刂 c.[o,v2] D.[0,2] 5.(24-25高一下·河北邢台·期末)如图，正方形ABCD的边长为4，O是BC的中点，M是正方形ABCD边 上的一动点，N是以BC为直径的半圆弧上一动点，则MN.O的最大值为 D B 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下·广东佛山期中)折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把 折扇，既可解暑，又有雅趣图2中的扇形0CD为一把折扇展开后的平面图，其中∠CO0=红， 3， OC=OD=1,点M在弧CD上（包括端点）运动，其中E,F分别是OC,OD的中点，则ME.M厅的范 围为 图1 图2 2.(24-25高一下·福建泉州期末)数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的 画法如下：先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C为圆心，以AB的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角 形（如图所示）.己知P为AC上的一点，Q为AB的中点，若BC=4,则PQ·PC的最大值为 最小值为 3.(24-25高一下.河南濮阳·期末)在平面四边形ABCD中，E,F分别是边AB和CD的中点， AB=4,CD=4√5，EF=3.四边形ABCD所在平面内一点P满足PA.PB=0,则PC.PD的最大值为 10/12