命题大赛 新疆喀什2025-2026学年高一数学下学期期中测试卷（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一年级第二学期数学期中测试卷，覆盖复数、向量、立体几何等核心知识，通过空间图形旋转（如第3题）、新定义运算（如第19题）等设计，考查数学抽象、空间观念与推理能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数概念、向量共线|基础巩固，如第1题实数判断| |多选题|3/18|圆台表面积、单位向量|能力提升，如第11题蚂蚁爬行最短路径| |填空题|3/15|投影向量、外接球表面积|空间想象，如第14题三棱锥表面最短距离| |解答题|5/77|圆锥表面积、新定义运算|创新应用，如第19题非零向量新运算|

密 封 线 内 不 得 答 题 座位号 姓 名 学 校 考场号 班 级 密 封 线 密 封 线 内 不 得 答 题 高一年级第二学期数学期中测试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．下列复数中，是实数的是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量共线，则实数的值是（ ） A．1 B． C．6 D． 3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的空间图形是（ ） A．圆锥 B．两个圆锥组合体 C．圆柱 D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥 4．向量与互相垂直，则（ ） A．-18 B．18 C．-9 D．9 5．已知复数满足，则（ ） A．0 B．1 C．-1 D． 6．如图，是水平放置的 的直观图，，，，则原的面积为（ ） A．6 B． C．12 D．24 7．的内角A、B、C的对边分别为知，，，则（ ） A． B． C．2 D．3 8．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（ ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．若是直线上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．与的夹角为 D． 10．已知复数满足，则下列选项正确的是（ ） A． B．复数的虚部为 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 11．如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．在复平面内，对应的点位于第_________象限． 13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______． 14．如图，在三棱锥中，平面，，， 已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13 分) 已知向量，，. (1)求向量； (2)证明：向量与共线； (3)已知实数满足，求的值. 16．(15 分) 已知复数（其中且为虚数单位），且为纯虚数． （1）求实数的值； （2）若，求复数的模． 17．(15 分) 如图，已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，是底面圆心． （Ⅰ）求圆锥的表面积； （Ⅱ）经过圆锥的高的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 18． (17 分) 在内角的对边分别为， 已知． (1)求B； (2)若，，求面积． 19．(17 分)对任意两个非零向量，，定义： (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值； (3)若非零向量，满足，向量的夹角是锐角，且4是整数，求的取值范围． 第3 页 共4页 第4 页 共4页 第 1 页 共4页 第 2 页 共4页考 号 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第二学期数学期中测试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B A C D A BC AD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】本题先判断1+i是虚数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数，再给出答案. 【详解】解：1+i是虚数，不是实数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的分类，是基础题 2．C 【分析】利用向量平行的坐标运算，即可得答案； 【详解】向量共线， ， 故选：C. 3．D 【分析】由旋转体的概念判断． 【详解】如图，钝角三角形，以较小边所在直线为轴旋转一周形成的几何体，是以为母线的大圆锥挖去以为母线的小圆锥所得． 故选：D． 4．B 【分析】根据题意列式计算即可. 【详解】因为向量与互相垂直， 所以，解得. 故选：B 5．A 【分析】先通过复数除法将，化简为，再利用复数相等求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的基本运算和复数相等，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．C 【分析】根据斜二测画法画出原图，从而计算出原图的面积. 【详解】根据斜二测画法的知识画出原图如下图所示，    则原的面积为. 故选：C. 7．D 【详解】由余弦定理，得，解得（舍去）．故选D． 8．A 【分析】 设圆锥母线长为，小圆锥半径为、高为，大圆锥半径为，高为，根据侧面积之比可得，再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到，利用勾股定理得到关于的表达式，从而将两个圆锥的体积都表示成的表达式，求出它们的比值即可. 【详解】 设圆锥母线长为，侧面积较小的圆锥半径为， 侧面积较大的圆锥半径为，它们的高分别为、， 则，得， 因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆， 所以，得， 再由勾股定理，得， 同理可得， 所以两个圆锥的体积之比为： . 故选：A. 9．BC 【分析】根据条件可得，进而可判断ABC，然后利用向量数量积的概念可判断D. 【详解】因为，， 所以，故A错误，B正确，C正确； 所以，故D错误. 故选：BC. 10．AD 【分析】对A，由复数除法求得，根据共轭复数的概念判断；对B，根据复数的虚部的概念判断；对C，计算，根据复数的几何意义判断；对D，根据计算判断. 【详解】对于A：由得，所以，A正确； 对于B：复数的虚部是，B错误； 对于C：，对应的点为，在第四象限，C错误； 对于D：，D正确； 故选：AD. 11．ACD 【分析】利用圆台的表面积公式和体积公式，梯形的面积公式计算即可判断A，B，C项；将圆台侧面展开，利用弧长公式和勾股定理即可求解. 【详解】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中， 则其面积为：，故A正确； 对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误； 对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为， 又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确. 故选：ACD. 12．一 【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 所以对应的点为，位于第一象限. 故答案为：一. 13． 【分析】 直接根据投影向量的公式求解即可. 【详解】 ，， 则在上的投影向量为． 故答案为： 14． 【分析】先展开平面图，根据最短距离，利用余弦定理求得，然后将该棱锥补成一个长方体求得其外接球的半径，进而代入球的表面积公式求解即可. 【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 15．（13分） (1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）利用平面向量加法的坐标表示可求得向量的坐标； （2）利用平面向量共线的坐标表示可证得结论成立； （3）利用平面向量线性运算的坐标表示可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】（1）由题意可得． (3分) （2） 因为向量，，所以， (5分) 所以向量与共线． （8分） （3）因为，所以， （10分） 可得方程组， （12分） 解得. （13分） 16．（15分） （1）；（2）. 【分析】（1）先根据，求出，结合纯虚数的特点可求； （2）把代入，利用复数的除法运算化简复数，结合模长公式求出模长. 【详解】（1）因为，所以， （2分） 又为纯虚数，所以， （4分） 解得． （6分） 因为，所以 （7分） （2）由（1）知：， 所以， （12分） 所以． （15分） 17．（15分） （I）；（II）． 【分析】（I）由公式计算； （II）圆台体积等于大圆锥体积减去小圆锥体积． 【详解】（Ⅰ）∵r＝1，＝2， ∴ （3分） ； （7分） （Ⅱ）设圆锥的高为h，则h＝，r＝1， ∴小圆锥的高＝， 小圆锥的底面半径＝， （11分） ． （15分） 18．（17分） (1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求得即可得解； （2）首先有，结合余弦定理求出，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）∵，由正弦定理得， （3分） ， （5分） ∴， ∴，∴． （7分） （2）因为，由正弦定理得， （9分） 由余弦定理得， （12分） 解得或（舍去），（13分） ∴， （14分） ∴． （17分） 19．（17分） (1) (2) (3) 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值. （2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可. （3）结合条件得出的范围、向量与的夹角的余弦值的范围，再根据题目所给定义和题目条件，求出的值，将转化为，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以，(2分) 所以， 故的值为. （5分） （2）因为向量、是单位向量，所以，， （6分） 由， 可得， （8分） 解得， （9分） 由，可得， （10分） ， 故向量与的夹角的余弦值为. （12分） （3）设向量与的夹角为，由题意可知，则， 因为，所以，. （13分） 因为，所以，. （14分） 因为是整数，所以， 所以，， （15分） 而 ，即，所以， （16分） 因为， ，所以，即， 故的取值范围为. （17分） 答案第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 高一年级第二学期数学期中测试卷 双向细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 复数的分类 0.94 2 单选题 5 平面向量共线定理 0.94 3 单选题 5 空间几何体 0.94 4 单选题 5 平面向量的数量积 0.94 5 单选题 5 复数的相等 0.85 6 单选题 5 直观图 0.85 7 单选题 5 余弦定理解三角形 0.65 8 单选题 5 柱、锥、台的体积 0.65 9 多选题 6 平面向量的线性运算 0.94 10 多选题 6 复数的几何意义 0.85 11 多选题 6 柱、锥、台的表面积,柱、锥、台的体积 0.65 12 填空题 5 在各象限内点对应复数的特征,判断复数对应的点所在的象限 0.94 13 填空题 5 投影向量 0.85 14 填空题 5 多面体与球体内切外接问题 0.65 15 解答题 13 用向量证明线段垂直,平面向量共线定理证明线平行问题 0.85 16 解答题 15 求复数的模,复数代数形式的四则运算 0.85 17 解答题 15 棱台表面积的有关计算,台体体积的有关计算 0.85 18 解答题 17 余弦定理,三角形面积公式及其应用 0.65 19 解答题 17 向量新定义 0.65 Sheet2 Sheet3 $