精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2024-2025学年高一下学期5月期中质量监测数学试题

2025年上半年中小学质量监测试卷 高一级数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，求出其在复平面内的对应点，即可判断. 【详解】复数在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数的几何意义，属于基础题. 2. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解. 【详解】由已知有，. 故. 故选：C. 3. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】，共轭复数为. 故选：B 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理， 所以，， 则. 故选：C 5. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 6. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C. 在中，是为锐角三角形的充要条件 D. 在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量减法法则判断A，根据向量的定义判断B，根据数量积的定义判断C，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误； 对于C：由，即，即， 又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立， 故C错误； 对于D：由，可得 又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角， 故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：D 7. 苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ） A. 350米 B. 400米 C. 450米 D. 500米 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求得，利用直角三角形求得金融中心的高度. 【详解】在中，由正弦定理得：， 即， 又，所以， 所以金融中心的高度为 . 故选：C 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算将用、用分别含，的两种形式表示出来，再由平面向量基本定理建立方程，求出，即可求得． 【详解】因为在上，为的中点， 设， 因为，，三点共线，所以， 因为、不共线， 所以，解得， 所以． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据三角形大边对大角与正弦定理判断即可；对B，举反例判断；对C，根据余弦函数的单调性判断即可；对D，由A结合余弦的二倍角公式判断即可. 【详解】对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理可得，故A正确； 对B，若，则，，，故B错误； 对C，在中，，又在上为减函数，故，故C正确； 对D，由A可得，若，则，则，故，即，故D正确. 故选：ACD 10. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据复数的乘方结合复数的相关概念分析判断；对于C：根据共轭复数的概念结合复数的几何意义分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】设，， 对于选项A：若，则，可得或， 当时，，则； 当时，，不符合题意； 综上所述：，， 所以是纯虚数，故A正确； 对于选项B：例如，则，符合题意， 但，故B错误； 对于选项C：若，则，可得，， 可知在复平面内对应的点的坐标为，即， 且在复平面内对应的点的坐标为， 所以，在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确； 对于选项D：若，， 则，，满足， 但、的大小无法比较，故D错误． 故选：AC． 11. 已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据可得，从而确定在正六边形的对角线上运动，进而根据到的距离为定值判断即可；对B，根据正六边形的对称性判断即可；对C，根据正六边形的对称性分析最值即可；对D，根据当时，有最小值判断即可. 【详解】对A，由可得， 即，可得， 因此，在正六边形的对角线上运动， 所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对B，因为正六边形关于对角线对称，故，故B错误； 对C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值， 当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确； 对D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离， 又当时，有最小值，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据共线向量满足的性质求解即可. 【详解】由题意若与共线，则， 则，因为为两个不共线的非零向量，故， 解得. 故答案为： 13. 中，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合两角差的正弦公式与同角三角函数关系求解即可. 【详解】中，若，则，则. 故 . 故答案为： 14. 已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，设的外接圆圆心为，化简可得，进而可得当反向共线且时取最大值即可. 【详解】取中点，设的外接圆圆心为，则， . 又，故. ，当且仅当反向共线时取等号 又，当且仅当时取等号. 即的最大值为. 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到、，根据和的虚部为2联立方程组解出、，再根据复数在复平面上对应点在第一象限得到复数； （2）分别求出、，得到点、、的坐标，求出. 【小问1详解】 设，，， 由题意得，解得或，又因复数在复平面上对应点在第一象限，所以. 【小问2详解】 ，，， 所以对应的点，，，从而，，. 16. 已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： （1）若，则点P是线段AB的中点； （2）是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. 【小问1详解】 因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. 【小问2详解】 充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 17. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，设点的坐标为，根据得到，从而求出，再由三角函数的定义得到，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得； （2）由（1）求出，，再求出即可得解. 【小问1详解】 由题意，可知， 因为， 故可设点的坐标为， 则有，所以， 又为锐角，所以， 因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 18. 如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理与勾股定理可得，再根据三角形面积公式求解即可； （2）设，由余弦定理可得，再根据正弦定理可得，进而可得，再结合求解即可. 【小问1详解】 在中由余弦定理， 故，则，所以. 又为等边三角形，故，且， 故. 【小问2详解】 不妨设，在中，由余弦定理 ， . 在中，由正弦定理，即，所以. 故 ， 又，所以，所以， 即的面积的取值范围为. 19. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． （1）如图1，求的最小值； （2）如图2，证明：为定值； （3）如图3，证明：到的距离为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，由锐角三角函数与三角形的周长得到，从而表示出，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得； （2）设，，则，，从而可得，，，再通过的周长为，建立等式，再由两角和的正切公式求出，即可求出； （3）由三角形的面积公式得到，再将（2）中数据代入求出，即可得证. 【小问1详解】 设，，则，， 的周长为， ， 所以， 又，， ， 当，即时，取得最小值，且的最小值为； 【小问2详解】 设，，， 则，， ，，， 的周长为， ， ， ， ，又，， ， ， ，为定值； 【小问3详解】 ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 由（2）知， ， ，即到的距离的定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上半年中小学质量监测试卷 高一级数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. i是虚数单位，则共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C. 在中，是为锐角三角形的充要条件 D. 在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 7. 苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ） A. 350米 B. 400米 C. 450米 D. 500米 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 11. 已知P是边长为1正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为__________． 13. 中，若，则__________． 14. 已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 16 已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： （1）若，则点P是线段AB的中点； （2）是A、B、P三点共线的充要条件. 17. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 18. 如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积的取值范围． 19. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． （1）如图1，求的最小值； （2）如图2，证明：为定值； （3）如图3，证明：到的距离为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $