专题09 二元一次方程组（期末真题汇编，辽宁专用）七年级数学下学期人教版

专题09 二元一次方程组 高频考点概览 考点01二元一次方程（组）的识别与求解 考点02二元一次方程（组）求参问题 考点03二元一次方程组的实际问题 考点01 二元一次方程（组）的识别与求解 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列各式，属于二元一次方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解方程组，用加减法消去x得到的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）解方程组：． 7．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）（1）用代入消元法解方程组 （2）用加减消元法解方程组 8．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）解方程组． 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解方程组： (1)； (2) 10．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）解方程组： (1)； (2)． 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当的方法解下列方程组： ． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组：． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当方法解下列方程组： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当的方法解方程组： (1) (2) 15．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组方法叫做_____，其中第一步的依据是_____； (2)第_____步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 16．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 考点02 二元一次方程（组）求参问题 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知是方程的一组解，那么a的值是（    ） A．1 B．−1 C．3 D．−3 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为______． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）关于x，y的二元一次方程的解是则k的值为______． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知是二元一次方程的解，则的值为______． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知是关于x和y的二元一次方程的解，则的值是__________． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）关于x，y的方程组的解也是方程的解，则m的值为______． 9．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是______． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则______． 考点03 二元一次方程组的实际问题 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醴厚酒醇醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醴酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮下瓶酒试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，求这个队胜的场数．若设胜x场，平y场，则可列的方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来表示纸张的幅面规格，一张A3纸可裁成2张A4纸或4张A5纸．现计划将300张A3纸裁成A4纸和A5纸，两者共计800张．设用x张A3纸裁成的A4纸，用y张A3纸裁成的A5纸，根据题意，列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两种商品原来的单价和为300元．因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了．设甲种商品原来的单价为x元，乙种商品原来的单价为y元，可列出的方程组是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？其大意是：今有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车，若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设有人，有辆车，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长有多少尺？若设绳长有尺，木长尺，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）为丰富学生的社会实践活动，八年级（1）班开展了一次水果售卖体验活动．其中第一小组花380元从水果批发市场批发了苹果和桔子共50千克到零售市场售卖，苹果和桔子当天的批发价与零售价如下表所示： 价格水果种类 批发价（元／千克） 零售价（元／千克） 苹果 6 8.4 桔子 10 13 (1)第一小组当天批发苹果和桔子各多少千克？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚多少元？ 8．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，又可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数之和为1200克．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 9．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）根据以下素材，探索完成任务； 生活中的数学问题 案材1 为了激发学生学习的积极性，李老师决定在某饮品店购买单价为8元和6元的饮品分别奖励在阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生； 素材2 李老师班第一次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生共8人；一个月后李老师班第二次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等的学生共11人，其中获得A+等级的有5人： 素材3 该饮品店推出优惠活动方案： 活动1：累计购买6元及6元以上饮品10杯可赠送1杯6元饮品； 活动2：一次性购买10杯以上（含10杯）单价为6元及6元以上的饮品的，单价8元一杯的饮品可打m折． 注：两种优惠活动不可同时使用，经计算，第二次阶段性学习反馈李老师用优惠活动1和活动2的花费是相同的． 问题解决 问题1 第一次阶段性学习反馈后，李老师买奖品共花了 54 元，则获得 A+等级和 A 等级的学生各有多少人? 问题2 请求出m的值； 问题3 若第二次阶段性学习反遗中李老师班获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有6人，选择哪个优惠活动更合算?请说明理由． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一建筑公司租用甲、乙两种货车向工地运送水泥，共运送了两次，每一辆车都是满载运输，具体情况如下表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第一次 2 1 10 第二次 3 5 29 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装水泥多少吨？ (2)现工地需要35吨水泥，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满．求有哪几种租车方案？ 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表： 销售量/件 销售额/元 冰墩墩 雪容融 第1个月 第2个月 (1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格； (2)“冰墩墩”和“雪容融”玩具的进价分别为100元，60元，某商家用1080元购进该型号a个“冰墩墩”和b个“雪容融”，若这批玩具都销售完，a，b的值分别为多少时？获得的利润最大，最大利润是多少？ 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）学校体育组准备购买一批篮球和足球，已知购买1个篮球和2个足球共需280元；购买2个篮球与购买3个足球的价钱相同．求每个篮球和每个足球分别是多少元． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）法库寒富苹果以果实硕大、酸甜多汁、营养丰富、风味独特而驰名省外，沈阳某特产品商店购进、两种不同包装的寒富苹果共件，总费用为元，这两种包装苹果的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该特产品店购进、两种包装的苹果各多少件？ (2)来自外地的王先生到该特产品商店打算购买、两种包装的苹果各件．现在该特产品店在做销售活动： 方案一：打“九折”销售； 方案二：总价“满元减元”， 请问王先生会选择到哪个方案买更优惠？说明理由． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 15．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 16．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小明家果园种植水果，去年收支相抵后，结余1200元．今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加，支出比去年减少，今年比去年多结余1140元．如果设小明家去年收入为x元，支出为y元，那么： (1)小明家今年收入为 元，支出为 元（用含x或y的代数式表示）； (2)列方程组求出x和y的值． 17．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 18．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 (1)求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二元一次方程组 高频考点概览 考点01二元一次方程（组）的识别与求解 考点02二元一次方程（组）求参问题 考点03二元一次方程组的实际问题 考点01 二元一次方程（组）的识别与求解 1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可． 【详解】解：符合二元一次方程组的定义，则A符合题意； 中不是整式，则B不符合题意； 中的次数不是1，则C不符合题意； 中的次数不是1，则D不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有2个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，是二元一次方程，符合题意； B、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意； C、，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意； 故选A． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列各式，属于二元一次方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程），逐一判断各式的符合情况． 【详解】① ：含二次项，是二元二次方程，不符合， ② ：化简为，仅含一个未知数，是一元一次方程，不符合， ③ ：分母含未知数，是分式方程，不符合， ④ ：变形为，含两个未知数且次数均为1，是二元一次方程，符合， ⑤ ：含二次项，是二元二次方程，不符合， ⑥ ：是代数式而非方程，不符合， 综上，只有④符合条件，总个数为1， 故选A． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解方程组，用加减法消去x得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解是解题的关键． 通过加减消元法消去变量x，将两个方程相减即可得到关于y的方程． 【详解】解： 为了消去x，用方程②减去方程①： 展开并化简：得 故选：A． 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为， 故选：． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由②得③ 把③代入①得 ， 解得， 把代入③中，得 ， ∴方程组的解为． 7．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）（1）用代入消元法解方程组 （2）用加减消元法解方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 由①，得， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是； （2）解： ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴这个方程组的解是． 8．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）解方程组． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键．把方程①变形后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①得，③ 得 解得，， 把代入②得， 解得，， ∴ 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， 由①得， 把③代入②，得． 解这个方程得． 把代入③，得， ∴这个方程组的解为 （2）解： 由，得， 由，得 ，得， ∴． 把代入①，得， ∴． ∴这个方程组的解为． 10．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由①，得③ 将③代入②，得， 解得． 将代入②，得． 所以原方程组的解是； （2）解： ，得③ ，得， 解得． 将代入①，得． 所以原方程组的解是． 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当的方法解下列方程组： ． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程，掌握加减消元法是解题的关键． 先将方程组化简得，再①②解得，，把代入②得，，由此即可求解． 【详解】解： 整理得，， ①②得，， ∴， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程的解为． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键在于正确掌握消元法． 将原方程组整理为，再利用加减消元法求解，即可解题． 【详解】解：， 整理得， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）观察方程组系数，选择加减消元法消去x，将第一个方程乘以2后与第二个方程相减，消去x求出y，再将y值代入原方程求出x即可； （2）先将第二个方程整理为整式方程，便于后续计算，整理后与第一个方程组成新的二元一次方程组，用加减消元法消去y，求出x后再回代求y． 【详解】（1）解：， 由得，， 由得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴． （2）解：， 由得，，化简整理得：， 由得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当的方法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解决本题的关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得， 代入②中得到 这个方程组的解为； （2） 方程组整理为：， 得：， 解得：， 代入中， 解得：， 这个方程组的解为． 15．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组方法叫做_____，其中第一步的依据是_____； (2)第_____步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质 (2)二 (3)过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可． （2）根据得，判断即可． （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：加减消元法，等式的基本性质； （2）解：得； 所以从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （3）解：得 得， 将代入得， 所以，原方程组的解为 16．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）本题先得，在求得，然后即可求解； （2）本题先①②得： ③，③得：④，然后即可求解； 【详解】（1）解：①②得：，即③， ③：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：猜测关于x、y的方程组的解为， 理由如下： ， ①②得：，即③， ③得：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， ∴这个方程组的解是． 考点02 二元一次方程（组）求参问题 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：将，与，代入方程得： ， 由方程②得， 将③代入方程①得， 解得； 将代入③得； 因此，，， 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知是方程的一组解，那么a的值是（    ） A．1 B．−1 C．3 D．−3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．根据能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解，将方程的解代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， 解得：． 故选：C． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】是二元一次方程的一个解， ， 解得， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）关于x，y的二元一次方程的解是则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据二元一次方程的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x，y的二元一次方程中，得， 解得， 故答案为：3． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知是二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据是二元一次方程的解，得，解出的值，即可作答． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：5． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知是关于x和y的二元一次方程的解，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义．本题先将代入，然后化简即可求解． 【详解】解：把代入， 得到：， 化简为：， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）关于x，y的方程组的解也是方程的解，则m的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键．先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出m的值． 【详解】解：解关于x，y的方程组得，， 把代入方程中，得， 解得， 故答案为： 9．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是______． 【答案】8 【分析】本题考查二元一次方程的解和代数式求值． 将解代入方程得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入方程得：， ∴． 故答案为：8． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 把x与y的值代入方程组求出，即可求得的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 考点03 二元一次方程组的实际问题 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醴厚酒醇醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醴酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮下瓶酒试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，读懂题意，找准等量关系列出二元一次方程组是解决问题的关键．设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意，好酒和薄酒的总瓶数为19，醉倒的客人总数为33，好酒每瓶醉3人，薄酒每3瓶醉1人，据此等量关系建立方程组即可得到答案． 【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶， 好酒和薄酒共饮了19瓶， ； 好酒每瓶醉3人，共醉人；薄酒每3瓶醉1人，共醉人，总醉客数为33人， ； 综上所述，方程组为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了14场比赛，负5场，共得19分，求这个队胜的场数．若设胜x场，平y场，则可列的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组，设胜x场，平y场，根据“打了14场比赛，负5场，共得19分”列方程组解答即可． 【详解】解：设设胜x场，平y场，根据题意列方程得， 故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来表示纸张的幅面规格，一张A3纸可裁成2张A4纸或4张A5纸．现计划将300张A3纸裁成A4纸和A5纸，两者共计800张．设用x张A3纸裁成的A4纸，用y张A3纸裁成的A5纸，根据题意，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题关键．先根据将300张A3纸裁成A4纸和A5纸可列方程，再根据一张A3纸可裁成2张A4纸或4张A5纸可列方程，由此即可得． 【详解】解：根据题意，列方程组为， 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两种商品原来的单价和为300元．因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了．设甲种商品原来的单价为x元，乙种商品原来的单价为y元，可列出的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是正确理解题意． 根据甲、乙两种商品原来的单价和为元及甲商品降价，乙商品提价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了这两个等量关系即可列式得解． 【详解】解：由题意得：甲种商品原来的单价是元，乙种商品原来的单价是元， 甲、乙两种商品原来的单价和为元， ， 甲商品降价即为， 乙商品提价即为， 调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了即为， ， 综上，． 故选：． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？其大意是：今有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车，若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设有人，有辆车，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设有人，辆车．当每辆车坐3人时，空余2辆车，总人数为；当每辆车坐2人时，9人步行，总人数为．由此建立方程组． 【详解】解：设有人，有辆车，根据题意得 若每辆车坐3人，空余2辆车，则实际使用的车辆数为，总人数为， 若每辆车坐2人，所有车坐满后仍有9人步行，总人数为， 列出方程组得 故选：C． 6．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长有多少尺？若设绳长有尺，木长尺，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解题的关键． 根据等量关系“”和“”列方程组即可解答． 【详解】解：设绳长有尺，木长尺，， 依题意得，整理为：． 故选：A． 7．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）为丰富学生的社会实践活动，八年级（1）班开展了一次水果售卖体验活动．其中第一小组花380元从水果批发市场批发了苹果和桔子共50千克到零售市场售卖，苹果和桔子当天的批发价与零售价如下表所示： 价格水果种类 批发价（元／千克） 零售价（元／千克） 苹果 6 8.4 桔子 10 13 (1)第一小组当天批发苹果和桔子各多少千克？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚多少元？ 【答案】(1)第一小组当天批发苹果30千克，批发桔子20千克 (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚132元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用知识点，解题的关键是根据题目中的条件找到合适的等量关系，列出二元一次方程组并求解． （1）设批发苹果千克，批发桔子千克．题目中存在两个等量关系，一是苹果和桔子共 50 千克，可列方程；二是批发苹果和桔子总共花费 380 元，根据批发价可列方程．联立这两个方程组成方程组，通过消元法求解即可得； （2）利润=售价-成本，通过计算每种商品的利润再求和，可得到总利润． 【详解】（1）设第一小组当天批发苹果千克，批发桔子千克， 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：第一小组当天批发苹果30千克，批发桔子20千克 （2）（元）． 答：该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚132元． 8．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，又可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数之和为1200克．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 【答案】黄金240克，白银1000克 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，再求解即可． 【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克与白银y克，根据题意得， ， 解得 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克与白银1000克． 9．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）根据以下素材，探索完成任务； 生活中的数学问题 案材1 为了激发学生学习的积极性，李老师决定在某饮品店购买单价为8元和6元的饮品分别奖励在阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生； 素材2 李老师班第一次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生共8人；一个月后李老师班第二次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等的学生共11人，其中获得A+等级的有5人： 素材3 该饮品店推出优惠活动方案： 活动1：累计购买6元及6元以上饮品10杯可赠送1杯6元饮品； 活动2：一次性购买10杯以上（含10杯）单价为6元及6元以上的饮品的，单价8元一杯的饮品可打m折． 注：两种优惠活动不可同时使用，经计算，第二次阶段性学习反馈李老师用优惠活动1和活动2的花费是相同的． 问题解决 问题1 第一次阶段性学习反馈后，李老师买奖品共花了 54 元，则获得 A+等级和 A 等级的学生各有多少人? 问题2 请求出m的值； 问题3 若第二次阶段性学习反遗中李老师班获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有6人，选择哪个优惠活动更合算?请说明理由． 【答案】问题1：获得 A+等级的学生有3人，获得 A 等级的学生有5人 问题2： 问题3：活动2更合算，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量关系并列出方程． 问题1：设获得 A+等级的学生有x人，获得 A 等级的学生有y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； 问题2：分别表示出李老师用优惠活动1和活动2的花费，根据“花费是相同”即可求出m的值； 问题3：根据题意求出李老师用优惠活动1和活动2的花费，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：问题1：设获得 A+等级的学生有x人，获得 A 等级的学生有y人， 根据题意得，， 解得， 答：获得 A+等级的学生有3人，获得 A 等级的学生有5人； 问题2：根据题意，第二次阶段性学习反馈中获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有5人，则获得A等级的学生有6人， 活动1的花费：（元）， 李老师用优惠活动1和活动2的花费是相同的， 活动2的花费：， 解得 问题3：活动2更合算，理由如下： 第二次阶段性学习反遗中李老师班获得A+等级和A等级的学生共11人，其中获得A+等级的有6人，则获得A等级的学生有5人， 活动1的花费：（元）， 活动2的花费：（元）， ， 活动2更合算． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一建筑公司租用甲、乙两种货车向工地运送水泥，共运送了两次，每一辆车都是满载运输，具体情况如下表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第一次 2 1 10 第二次 3 5 29 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装水泥多少吨？ (2)现工地需要35吨水泥，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满．求有哪几种租车方案？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装水泥3吨，4吨 (2)有三种租车方式，分别是租用1辆甲种货车与8辆乙种货车或租用5辆甲种货车与5辆乙种货车或租用9辆甲种货车与2辆乙种货车 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆甲种货车能装水泥x吨，每辆乙种货车能装水泥y吨，根据第一、二次的运输情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，根据租用的两种货车恰好一次运输35吨水泥，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装水泥x吨，y吨． 则有， 解方程组得：， 答：甲、乙两种货车每辆分别能装水泥3吨，4吨． （2）解：设需要租用甲种货车辆，乙种货车辆． 则， ∴ ∵，都是正整数， ∴只能取1，5，9 ，代入得为8，5，2； 答：有三种租车方式，分别是租用1辆甲种货车与8辆乙种货车或租用5辆甲种货车与5辆乙种货车或租用9辆甲种货车与2辆乙种货车． 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表： 销售量/件 销售额/元 冰墩墩 雪容融 第1个月 第2个月 (1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格； (2)“冰墩墩”和“雪容融”玩具的进价分别为100元，60元，某商家用1080元购进该型号a个“冰墩墩”和b个“雪容融”，若这批玩具都销售完，a，b的值分别为多少时？获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)冰墩墩元，雪容融元 (2)，，最大利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； （1）设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）根据题意得出，设利润为，代入 ，进而根据是正整数，且是的倍数，分别求得利润，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元， 依题意得：， 解得：． 答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元． （2）依题意， ∴ 设利润为，依题意， 结合且，可得，即； ∵是整数，则是的倍数， ∴ 的可能取值为、、 当时，； 当时，； 当时，； 当时， 当时， ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴，，最大利润为元 12．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）学校体育组准备购买一批篮球和足球，已知购买1个篮球和2个足球共需280元；购买2个篮球与购买3个足球的价钱相同．求每个篮球和每个足球分别是多少元． 【答案】每个篮球为120元，每个足球为80元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每个蓝球为x元，每个足球为y元，根据购买1个篮球和2个足球共需280元；购买2个篮球与购买3个足球的价钱相同列方程组求解即可． 【详解】解：设每个篮球为x元，每个足球为y元，根据题意得， ， 解得 答：每个篮球为120元，每个足球为80元. 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）法库寒富苹果以果实硕大、酸甜多汁、营养丰富、风味独特而驰名省外，沈阳某特产品商店购进、两种不同包装的寒富苹果共件，总费用为元，这两种包装苹果的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该特产品店购进、两种包装的苹果各多少件？ (2)来自外地的王先生到该特产品商店打算购买、两种包装的苹果各件．现在该特产品店在做销售活动： 方案一：打“九折”销售； 方案二：总价“满元减元”， 请问王先生会选择到哪个方案买更优惠？说明理由． 【答案】(1)该特产品店购进包装的苹果50件，包装的苹果件 (2)王先生选择方案二购买更优惠，理由见解析 【分析】（）设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件，根据题意列出方程组即可求解； （）求出产品销售活动前购买所需费用，再分别求出销售活动后两种方案购买所需费用，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件， 根据题意得，， 解得， 答：该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件； （2）解：王先生选择方案二买更优惠，理由如下： （元）， 选择方案一购买所需费用为（元）， 选择方案二购买所需费用为（元）， ， 王先生选择方案二购买更优惠． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)大米生产了袋，玉米糁生产了袋 (2)该工厂每日所得利润不能是元，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂某日的生产成本为元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂每日所得利润能是元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再结合每日生产的大米和玉米糁均为整数袋，可得出假设不成立，即该工厂每日所得利润不能是元． 【详解】（1）解：设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋， 根据题意得：， 解得：． 答：大米生产了袋，玉米糁生产了袋； （2）解：该工厂每日所得利润不能是元，理由如下： 假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋， 根据题意得：， 解得：， 又∵每日生产的大米和玉米糁均为整数袋， ∴不符合题意， ∴假设不成立， ∴该工厂每日所得利润不能是2810元． 15．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 16．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小明家果园种植水果，去年收支相抵后，结余1200元．今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加，支出比去年减少，今年比去年多结余1140元．如果设小明家去年收入为x元，支出为y元，那么： (1)小明家今年收入为 元，支出为 元（用含x或y的代数式表示）； (2)列方程组求出x和y的值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据收入比去年增加，支出比去年减少即可求解； （2）根据等量关系：收入支出结余，结合去年结余1200元，今年比去年多结余1140元，列出方程组；接下来利用代入消元法求解上面的方程组，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，小明家今年收入为元，支出为元， 故答案为：，； （2）解：根据题意得， ， 解得． 17．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元 (2)该店共有3种购买方案，最大利润为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设A种型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为y万元，根据“购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A种型号的新能源汽车，n辆B种型号的新能源汽车，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出该公司共有四种购买方案，再求出各方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型号的新能源汽车每辆进价为万元，型号的新能源汽车每辆进价为万元， 由题意可得： ， 解得， 答：、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元． （2）解：设购买型号的新能源汽车辆，型号的新能源汽车辆，由题意可得，且，为正整数， 解得：，，， 所以该4S店共有3种购买方案． 当，时，获得的利润为（万元）， 当，时，获得的利润为（万元） 当，时，获得的利润为（万元）， 综上所述，最大利润为13.5万元． 18．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 (1)求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 【答案】(1)甲万元，乙万元 (2)共有种购买方案： 方案：甲辆，乙辆 方案：甲辆，乙辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元，根据“总价单价数量”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车，根据“总价单价数量”，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型汽车的单价是25万元，乙型汽车的单价是10万元； （2）解：设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车， 根据题意得：， ∴，，， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴该公司共有2种购买方案， 方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车； 方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车． 1 / 8 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