山东省济南市天桥区瑞景中学2025—2026学年七年级第二学期数学期中考试试题

**基本信息** 2025-2026学年七年级期中数学试卷，以文化传承（如袁枚《苔》引入科学记数法）、生活实践（如飞镖概率、绿化面积计算）为情境，融合代数运算、几何推理与概率应用，通过基础题与探究题梯度设计，考查抽象能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|科学记数法、三角形内角和、平行线性质|第1题以古诗“苔花”渗透文化，第9题“安全出口”标志抽象几何模型| |填空题|5/20|余角计算、完全平方公式、中点面积问题|第14题通过中点关系层层推导面积，考查空间观念| |解答题|10/90|整式运算、全等证明、综合实践探究|23题结合太阳能烧水器探究平行线性质，24题几何综合题需构造全等转化线段关系，培养创新意识|

2025—2026 学年度第二学期七年级期中测试 数学试题 注意事项： 本试题共 8 页，满分为 150 分．考试时间为 120 分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用 2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第 Ⅰ 卷（选择题共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．” 这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为 “坚韧之花”．袁枚所写的 “苔花” 很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.00000084m，将数据0.00000084用科学记数法表示为（ ） A. 8.4×107 B. 8.4×10−7 C.8.4×10−6 D.0.84×10−6 2.下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和为360∘ 3.下列运算正确的是（ ） A.2m+3n=5mn B.m2·m3=m6 C.(m−n)2=m2−2mn+n2 D.(2m2)3=6m6 4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A.2,3,5 B.3,3,7 C.5,6,7 D.2,2,5 5.如图，直线a∥b，将含30∘角的直角三角板△ABC按如图方式放置（其中∠C=60∘），若∠1=40∘，则∠2的度数为（ ） A. 20∘ B.30∘ C.40∘ D.50∘ （第5题图） （第6题图） 6.如图 1 所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为3m，宽为2m的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图 2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ） A.3m2 B. 2.4m2 C.1.8m2 D. 1.2m2 7.下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A.(−x+2y)(x−2y) B.(3x−5y)(−3x−5y) C.(1−5m)(5m−1) D.(a+b)(b+a) 8.我们曾经学习 “过直线外一点P作直线l的平行线” 的一种方法，如图： （1）在直线 l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B； （2）以点P为圆心，以PA的长为半径作弧； （3）以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C； （4）过点P，C作直线PC，则PC∥l．如果用全等三角形的知识来解释作图的道理，最恰当的是（ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS （第8题图） （第9题图） 9.如图，小明在走廊看到一个 “安全出口” 标志，他从中抽象出一个数学图形，其中AB∥DG，AE∥CF，∠BAC=50∘，∠CDG=70∘，∠EAC=80∘，则∠DCF的度数为（ ） A.20∘ B.25∘ C.30∘ D.35∘ 10.数学领域中，18 世纪数学家欧拉率先引进求和符号 “∑”．如记，；已知，则的值是（ ） A. −8 B. 8 C. −10 D. 10 第 Ⅱ 卷（非选择题共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 个小题．每小题 4 分，共 20 分．） 11.一个角的余角是40∘，则这个角是 度． 12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为 ． （第12题图） （第14题图） （第15题图） 13.已知关于x的代数式x2+2(k+1)x+25是一个完全平方式，则k的值为 ． 14.如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形的面积为3，则△ABC的面积为 ． 15.如图，∠BAD=∠CAE=90∘，AB=AD，AC=AE，连结BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC=m，AF=n，则△ADG的面积为_ ． 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分 16 分，每小题 4 分）计算： （1）∣−4∣+(π−3)0+(−1)2026−(−)−2； （2）a3·a5+(−3a4)2； （3）(m−n)2−(m+2n)(m−2n)+2mn； （4）2027×2025−20262.（简便运算） 17．（本小题满分 6 分）先化简，再求值：[(a−2b)2+(a+2b)(a−2b)]÷2a，其中a=2，b=−1． 18.（本小题满分 8 分）如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，DB、EC分别交AF于点G、H，∠A=∠F，∠C=∠D，求证：∠AGB=∠EHF． 证明：∵∠A=∠F， ∴DF∥AC（ ）． ∴∠D=∠DBA（ ）． ∵∠D=∠C， ∴∠C=∠DBA． ∴ ∥ （ ）． ∴∠AGB=∠ （ ）． 又∵∠EHF=∠AHC（ ）， ∴∠AGB=∠EHF． 19.（本小题满分 6 分）如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身GD与拉绳AB构成的∠GBA为110∘，上半身GD与滑轨CH构成的∠GDH为70∘． （1）证明：AB∥CD； （2）若拉绳与地面平行，即AB∥EF，∠ACE=90∘，∠CEF=50∘，求∠A的度数． 19.（本小题满分 6 分）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：△ABF≌△DCE． 20.（本小题满分 6 分）一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的 20 个小球，只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据． （1）上表中的a= ； （2）摸到白球的概率的估计值是（精确到 0.1）． （3）若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加 4 个黑球，求此时摸到白球的概率． 21.（本小题满分 8 分）如图，现有一块长为(4a−b)m，宽为(a+2b)m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为a m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． （1）求需要进行绿化的空地面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a=3，b=2，绿化空地的价格为 20 元/m2，则完成绿化共需要多少元？ 22.（本小题满分 10 分） （1）【阅读材料】数学课上，某数学学习小组发现，在不求m，n的值的情况下，求出(m+n)2的值．因为(m+n)2=m2+2mn+n2，(m−n)2=m2−2mn+n2，所以(m+n)2−(m−n)2=4mn，即(m+n)2=(m−n)2+4mn． 根据材料回答问题： （1）已知m−n=3，mn=4则(m+n)2=______； （2）若x满足(x−15)(10−x)=6，求(2x−25)2的值； （3）【问题解决】如图，某校有一块长方形空地ABCD，长AB比宽AD长4m，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地ABCD中划出长方形AEFG和长方形PQCH，两个长方形的重合部分刚好建一个长为3m，宽为2m的喷泉水池PMFN，并将长方形DQNG和长方形BEMH（阴影部分）区域建成花圃，且花圃总周长为42m，求长方形空地ABCD的面积． 23.（本小题满分 12 分） 综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．如图 1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P． 探索发现： （1）如图 1，太阳光线AB，CD平行，利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究，则∠BPD，∠ABP和∠CDP之间存在的数量关系是________________________． （2）如图 2，AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，CD之间，且位于MN右侧的任意一点，连接PM，PN，试探究∠MPN，∠AMP与∠CNP之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图 3，在（2）的条件下，在AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN．若使∠AMQ=∠AMP，∠CNQ=∠CNP，请直接写出∠P与∠Q之间的数量关系． 24.（本小题满分 12 分）如图，在△ABC中，AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60∘，D，E 分别为AC，AB边上的点，连接BD，CE交于点F，AD=BE． （1）如图 1，求证：∠ABD=∠BCE； （2）如图 2，以AF为边作△AFH，AF=FH=AH，∠FAH=∠AFH=∠AHF=60∘，连接CH，G为BC中点，连接FG，求证：AF=2FG； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长FG至点P，使得PG=FG，连接CP，通过证明△BFG≌△CPG推出BF=CP； ②通过证明△ABF≌△ACH推出BF=CH，则CH=CP；…… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． （3）如图 3，P为AB上一点，连接CP，H为CP中点，连接BH．M，N分别为BC，BP上的点，连接PM，CN交于点O，若BM=BN，∠MON=120∘，请直接写出CN，BH与PM之间的数量关系． 答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．” 这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为 “坚韧之花”．袁枚所写的 “苔花” 很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.00000084m，将数据0.00000084用科学记数法表示为（ B ） A. 8.4×107 B. 8.4×10−7 C.8.4×10−6 D.0.84×10−6 2.下列事件中，属于不可能事件的是（ D ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和为360∘ 3.下列运算正确的是（ C ） A.2m+3n=5mn B.m2·m3=m6 C.(m−n)2=m2−2mn+n2 D.(2m2)3=6m6 4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ C ） A.2,3,5 B.3,3,7 C.5,6,7 D.2,2,5 5.如图，直线a∥b，将含30∘角的直角三角板△ABC按如图方式放置（其中∠C=60∘），若∠1=40∘，则∠2的度数为（ A ） A. 20∘ B.30∘ C.40∘ D.50∘ （第5题图） （第6题图） 6.如图 1 所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为3m，宽为2m的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图 2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ B ） A.3m2 B. 2.4m2 C.1.8m2 D. 1.2m2 7.下列各式中能用平方差公式计算的是（ B ） A.(−x+2y)(x−2y) B.(3x−5y)(−3x−5y) C.(1−5m)(5m−1) D.(a+b)(b+a) 8.我们曾经学习 “过直线外一点P作直线l的平行线” 的一种方法，如图： （1）在直线 l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B； （2）以点P为圆心，以PA的长为半径作弧； （3）以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C； （4）过点P，C作直线PC，则PC∥l．如果用全等三角形的知识来解释作图的道理，最恰当的是（ C ） A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS （第8题图） （第9题图） 9.如图，小明在走廊看到一个 “安全出口” 标志，他从中抽象出一个数学图形，其中AB∥DG，AE∥CF，∠BAC=50∘，∠CDG=70∘，∠EAC=80∘，则∠DCF的度数为（ C ） A.20∘ B.25∘ C.30∘ D.35∘ 10.数学领域中，18 世纪数学家欧拉率先引进求和符号 “∑”．如记，；已知，则的值是（ A ） A. −8 B. 8 C. −10 D. 10 第 Ⅱ 卷（非选择题共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 个小题．每小题 4 分，共 20 分．） 11.一个角的余角是40∘，则这个角是 50 度． 12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为 ． （第12题图） （第14题图） （第15题图） 13.已知关于x的代数式x2+2(k+1)x+25是一个完全平方式，则k的值为 4或﹣6 ． 14.如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形的面积为3，则△ABC的面积为 24 ． 15.如图，∠BAD=∠CAE=90∘，AB=AD，AC=AE，连结BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC=m，AF=n，则△ADG的面积为_ 0.5mn ． 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分 16 分，每小题 4 分）计算： （1）∣−4∣+(π−3)0+(−1)2026−(−)−2； （2）a3·a5+(−3a4)2； =4+1+1﹣4 =a8+9a8 =2 =10a8 （3）(m−n)2−(m+2n)(m−2n)+2mn； （4）2027×2025−20262.（简便运算） =m2﹣2mn+n2﹣m2+4n2+2mn =（2026+1）（2026﹣1）﹣20262 =5n2 =﹣1 17．（本小题满分 6 分）先化简，再求值：[(a−2b)2+(a+2b)(a−2b)]÷2a，其中a=2，b=−1． 解：原式=[a2﹣4ab+4b2+a2﹣4b2]÷2a =[2a2﹣4ab]÷2a =a﹣2b 将a=2，b=−1代入原式=2﹣2×（﹣1）=4 18.（本小题满分 8 分）如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，DB、EC分别交AF于点G、H，∠A=∠F，∠C=∠D，求证：∠AGB=∠EHF． 证明：∵∠A=∠F， ∴DF∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）． ∴∠D=∠DBA（ 两直线平行，内错角相等 ）． ∵∠D=∠C， ∴∠C=∠DBA． ∴ BD ∥ CE （ 同位角相等，两直线平行 ）． ∴∠AGB=∠ ∠AHC （ 两直线平行，同位角相等 ）． 又∵∠EHF=∠AHC（ 对顶角相等 ）， ∴∠AGB=∠EHF． 19.（本小题满分 6 分）如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身GD与拉绳AB构成的∠GBA为110∘，上半身GD与滑轨CH构成的∠GDH为70∘． （1）证明：AB∥CD； （2）若拉绳与地面平行，即AB∥EF，∠ACE=90∘，∠CEF=50∘，求∠A的度数． （1）证明：∵∠GDH+∠GDC=180°，∠GDH 为 70°， ∴∠GDC=110°，……………………………………………………………1 分 ∵∠GBA 为 110°， ∴∠GBA=∠GDC，……………………………………………………………2 分 ∴AB∥CD；…………………………………………………………………3 分 （2）解：∵AB∥CD，AB∥EF， ∴AB∥CD∥EF，……………………………………………………………4 分 ∴∠A=∠ACM，∠ECM=∠CEF=50°，………………………………………5 分 ∵∠ACE=∠ACM+∠ECM=90°， ∴∠ACM=40°， ∴∠A=40°。…………………………………………………………………6 分 19.（本小题满分 6 分）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：△ABF≌△DCE． 证明: ∵ BE = CF， ∴ BE + EF = CF + EF， ∴ BF = CE， 在△ABF 和△DCE 中， ∴ △ABF≌△DCE (SAS). 20.（本小题满分 6 分）一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的 20 个小球，只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据． （1）上表中的a= ； （2）摸到白球的概率的估计值是（精确到 0.1）． （3）若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加 4 个黑球，求此时摸到白球的概率． （1）0.58……………………………………………………………………1 分 （2）0.6………………………………………………………………………3 分 （3）解：原有小球总个数为 20，可得白球个数为 20×0.6 = 12（个），添加 4 个黑球后，总球数为 20 + 4 = 24（个），摸到的球共有 24 种等可能结果，摸到白球的结果有 12 种， 则 P（此时摸到白球）== 答：此时摸到白球的概率是。………………………………………6 分 21.（本小题满分 8 分）如图，现有一块长为(4a−b)m，宽为(a+2b)m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为a m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． （1）求需要进行绿化的空地面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a=3，b=2，绿化空地的价格为 20 元/m2，则完成绿化共需要多少元？ （1）解：由题意得， S=(4a−b)(a+2b)−a2………………………………………………1 分 =4a2+8ab−ab−2b2−a2 =(3a2+7ab−2b2) m2；……………………………………………4 分 （2） 解：当a=3，b=2时，S=3×32+7×3×2−2×22 =27+42−8 =61 (m2)，……………………………………………………………6 分 20×61=1220元。 答：完成绿化共需要 1220 元。……………………………………………8 分 22.（本小题满分 10 分） （1）【阅读材料】数学课上，某数学学习小组发现，在不求m，n的值的情况下，求出(m+n)2的值．因为(m+n)2=m2+2mn+n2，(m−n)2=m2−2mn+n2，所以(m+n)2−(m−n)2=4mn，即(m+n)2=(m−n)2+4mn． 根据材料回答问题： （1）已知m−n=3，mn=4则(m+n)2=______； （2）若x满足(x−15)(10−x)=6，求(2x−25)2的值； （3）【问题解决】如图，某校有一块长方形空地ABCD，长AB比宽AD长4m，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地ABCD中划出长方形AEFG和长方形PQCH，两个长方形的重合部分刚好建一个长为3m，宽为2m的喷泉水池PMFN，并将长方形DQNG和长方形BEMH（阴影部分）区域建成花圃，且花圃总周长为42m，求长方形空地ABCD的面积． （1）25………………………………………………………………………2 分 （2）解：设a=x−15，b=10−x， 则a+b=(x−15)+(10−x)=−5，ab=6，a−b=2x−25。…………4 分 ∵(a−b)2=(a+b)2−4ab， ∴(a−b)2=(−5)2−4×6=25−24=1， 即(2x−25)2=1。………………………………………………………6 分 （3）解：设AB=a m，AD=b m。 根据题意，得a−b=4，PN=MF=2m，PM=NF=3m， ∴BE+MH+GN+DQ=2(a−3)=(2a−6)m，GD+QN+ME+BH=2(b−2)=(2b−4)m。 ∵长方形 DQNG 和长方形 BEMH（阴影部分）的总周长为 42m， ∴2a−6+2b−4=42， 即a+b=26。 ∵(a+b)2−(a−b)2=4ab， ∴262−42=4ab， 解得ab=165。 答：长方形空地 ABCD 的面积为165m2。………………………………10 分 23.（本小题满分 12 分） 综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．如图 1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P． 探索发现： （1）如图 1，太阳光线AB，CD平行，利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究，则∠BPD，∠ABP和∠CDP之间存在的数量关系是________________________． （2）如图 2，AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，CD之间，且位于MN右侧的任意一点，连接PM，PN，试探究∠MPN，∠AMP与∠CNP之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图 3，在（2）的条件下，在AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN．若使∠AMQ=∠AMP，∠CNQ=∠CNP，请直接写出∠P与∠Q之间的数量关系． （1）∠BPD = ∠ABP + ∠CDP。 （2）如图，过点 P 作 PH 平行于 AB， ∵PH∥AB，AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠HPN + ∠CNP = 180°，∠AMP + ∠HPM = 180°， ∴∠HPN + ∠CNP + ∠AMP + ∠HPM = 360°， ∴∠MPN + ∠AMP + ∠CNP = 360°。 （3）由（1）知，∠Q = ∠AMQ + ∠CNQ。 由（2）知，∠P + ∠AMP + ∠CNP = 360°。 ∵∠AMQ =∠AMP，∠CNQ =∠CNP， ∴∠AMQ + ∠CNQ =(∠AMP + ∠CNP) =(360° - ∠P) = 120° -∠P， ∴∠Q = 120° -∠P，即∠P + ∠Q = 120°。 ∴∠P 与∠Q 之间的数量关系是∠P + ∠Q = 120°。 24.（本小题满分 12 分）如图，在△ABC中，AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60∘，D，E 分别为AC，AB边上的点，连接BD，CE交于点F，AD=BE． （1）如图 1，求证：∠ABD=∠BCE； （2）如图 2，以AF为边作△AFH，AF=FH=AH，∠FAH=∠AFH=∠AHF=60∘，连接CH，G为BC中点，连接FG，求证：AF=2FG； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长FG至点P，使得PG=FG，连接CP，通过证明△BFG≌△CPG推出BF=CP； ②通过证明△ABF≌△ACH推出BF=CH，则CH=CP；…… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． （3）如图 3，P为AB上一点，连接CP，H为CP中点，连接BH．M，N分别为BC，BP上的点，连接PM，CN交于点O，若BM=BN，∠MON=120∘，请直接写出CN，BH与PM之间的数量关系． （1）证明：∵在△ABD 与△BCE 中， 得 ∴△ABD≌△BCE (SAS) ∴∠ABD = ∠BCE . …………………………………………………………5 分 （2）证明：延长 FG 至点 P，使得 PG = FG，连接 CP， ∴PF = PG + FG = 2FG， ∵G 为 BC 中点， ∴BG = GC， ∵在△BFG 与△CPG 中， 得 ∴△BFG≌△CPG (SAS)，…………………………………………………6 分 ∴∠6 = ∠7，BF = CP， ∵∠BAC = ∠FAH = 60°， ∴∠BAC - ∠2 = ∠FAH - ∠2，即∠1 = ∠3 . ∵在△ABF 与△ACH 中， 得 ∴△ABF≌△ACH (SAS)……………………………………………………8 分 ∴BF = CH，∠4 = ∠8 ∴CP = CH 由（1）得△ABD≌△BCE， ∴∠4 = ∠5， ∴∠5 = ∠8， ∵∠ABC = ∠ACB = 60°， ∴∠4 + ∠6 = 60°，∠5 + ∠9 = 60°， ∴∠5 + ∠7 = 60°，即∠PCF = 60°， ∠8 + ∠9 = 60°，即∠HCF = 60°， ∴∠PCF = ∠HCF （3）如图 3，点 P 在 AB 上一点，连接 CP，H 为 CP 中点，连接 BH，M，N 分别为 BC，BP 上点，连接 PM、CN 交于点 O，若 BM=BN，∠MON=120°，请直接写出 CN，BH 与 PM 之间的数量关系。 答案：∴∠PCF = ∠HCF . ∵在△PCF 与△HCF 中， 得 ∴△PCF≌△HCF (SAS)……………………………………………………9 分 ∴FP = FH ∵AF = FH ∴AF = FP ∴AF = 2FG . ………………………………………………………………10 分 （3）CN = 2BH - PM ……………………………………………………12 分 解：延长 BH 至点 K，使得 HK = BH，连接 CK，则 BK = 2BH ∵点 H 是 PC 的中点， ∴PH = CH， ∵在△BPH 和△KCH 中， 得 ∴△BPH≌△KCH (SAS)， ∴∠PBH = ∠K，BP = KC， ∴AB∥CK， ∴∠BCK = 180° - ∠ABC = 180° - 60° = 120° . 延长 PM 至点 L，使得 ML = NC，连接 BL， ∵∠ABC = 60°，∠MON = 120°， ∴在四边形 BNOM 中，∠1 + ∠2 = 360° - (∠ABC + ∠MON) = 180°， ∵∠2 + ∠3 = 180°， ∴∠1 = ∠3， ∵在△BCN 和△BLM 中， 得 ∴BC = BL，∠MBL = ∠NBC = 60°， ∵在△BCN 和△BLM 中， 得 ∴△BCN≌△BLM (SAS)， ∴BC = BL，∠MBL = ∠NBC = 60°， ∴∠PBL = ∠ABC + ∠MBL = 60° + 60° = 120°， ∴∠PBL = ∠KCB . ∵在△PBL 和△KCB 中， 得 ∴△PBL≌△KCB(SAS)， ∴PL = BK = 2BH， ∵ML = PL - PM， ∴CN = 2BH - PM . 1 学科网（北京）股份有限公司 $