精品解析：贵州遵义市凤冈县2025-2026学年高二下学期5月期中核心素养监测数学试题

2025-2026学年度第二学期高二年级期中数学学科 核心素养监测试题 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2．选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 3. （ ） A. 110 B. 120 C. 210 D. 240 4. 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 某校高二年级6名同学（包含同学甲、乙）平均分为3组，参加数学、物理、化学三个学科兴趣班，但甲同学和乙同学不能参加同一学科兴趣班，则不同的安排方案有（ ）种． A. 54 B. 72 C. 84 D. 90 7. 已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 方程的非负整数的个数为（ ） A. 495 B. 715 C. 1001 D. 2002 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 有一组成对样本数据，先计算相关系数为，再根据最小二乘法计算回归直线方程为，最后计算出残差．下列说法正确的是（ ） A. 回归直线经过点． B. 由这组数据得到新成对样本数据，再根据最小二乘法计算回归直线方程，则两条回归直线的斜率相同． C. 相关系数越大，两个变量之间的线性相关性越强． D. 残差和越小，回归直线方程为拟合效果越好． 10. 设，则下列正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当n为偶数时， D. 当时，能被10整除． 11. 已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随机变量X的数学期望，则________． 13. 展开式中的系数为________． 14. 已知向量，且，满足，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取5名同学去采集自然标本，设抽取的人中女生有名． （1）求抽取的人中至多有1名女生的概率． （2）设抽取的人中女生有名，求的分布列及数学期望． 16. 钠离子电池是我国新能源储能领域的核心攻关方向之一，某科研团队为优化电池循环寿命，在传统电解液配方与新型复合电解液配方下各取20组电池进行加速寿命实验，记录每组电池循环寿命是否达到“长寿命”标准（循环次数次为长寿命，否则为短寿命），整理得到如下列联表： 长寿命（次） 短寿命（次） 合计 传统配方 9 11 20 新型配方 15 5 20 合计 24 16 40 （1）能否有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关？ （2）用频率估计概率，从采用新型配方的量产电池中随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组数为，求的数学期望和方差． 参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.010 0.001 2.072 2.706 6.635 10.828 17. 在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求证：； （2）若的平分线交于，，，求的值. 18. 近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入（亿元） 经济收益（亿元） （1）的平均数记为，证明： （2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．） （3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益． 参考数据：，． 附：相关系数，线性回归方程的斜率. 19. 甲，乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两分的一方鴍得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． （1）若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当时， （i）若比赛最多进行6局（若到第6局时未分出胜负，也结束比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用，表示），无需写出过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级期中数学学科 核心素养监测试题 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2．选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由任意角正弦的定义，设角终边上任意一点，到原点距离，有. 角终边在第二象限，取终边与单位圆交点，此时，代入定义得. 2. 设复数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由复数模的定义，若，则， 因为，所以. 3. （ ） A. 110 B. 120 C. 210 D. 240 【答案】B 【解析】 【详解】 . 4. 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解. 【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有种方法. 故选：A. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】已知随机变量，则正态曲线关于直线对称， 因为，则 ， 根据对称性得到 ， 则 . 6. 某校高二年级6名同学（包含同学甲、乙）平均分为3组，参加数学、物理、化学三个学科兴趣班，但甲同学和乙同学不能参加同一学科兴趣班，则不同的安排方案有（ ）种． A. 54 B. 72 C. 84 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，运用分步乘法计数原理列式求解. 【详解】依题意，可分两步完成： 第一步，先安排甲与乙，由甲从3个学科中选1个，再由乙从剩下的2个学科中选1个，有 种方法； 第二步，再安排剩下的4人，从4人中选1人去甲的学科，再从剩下的3人中选1人去乙的学科，最后2人去剩下的学科，有 种方法. 由分步乘法计数原理，不同的安排方案有种. 7. 已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 8. 方程的非负整数的个数为（ ） A. 495 B. 715 C. 1001 D. 2002 【答案】B 【解析】 【分析】利用隔板法求解. 【详解】，， 则问题转化为将14个相同的元素分成5份，每份至少1个， 需要在14个元素之间的13个空隙中插入4个隔板， 则方程非负整数解的个数有. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 有一组成对样本数据，先计算相关系数为，再根据最小二乘法计算回归直线方程为，最后计算出残差．下列说法正确的是（ ） A. 回归直线经过点． B. 由这组数据得到新成对样本数据，再根据最小二乘法计算回归直线方程，则两条回归直线的斜率相同． C. 相关系数越大，两个变量之间的线性相关性越强． D. 残差和越小，回归直线方程为拟合效果越好． 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A回归直线必经过样本中心点；选项B代入计算新数据的斜率公式，可得两条回归直线的斜率相同；选项C绝对值越接近于，线性相关性越强；选项D无法通过残差和判断拟合效果. 【详解】回归直线必经过样本中心点，选项A正确； 新样本数据的样本中心点为， 其斜率为， 所以两条回归直线的斜率相同，选项B正确； 相关系数的取值范围为，其绝对值越接近于，线性相关性越强， 相关系数越大，不能说明两个变量之间的线性相关性越强， 比如与，所以选项C错误； 残差和是指，由于回归直线必过样本中心点，残差和恒为零， 无法通过残差和判断拟合效果，选项D错误. 10. 设，则下列正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当n为偶数时， D. 当时，能被10整除． 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可判断A，令可得各项系数和判断B，令和，再解方程组即可判断C，代入展开式可判断D． 【详解】对于A：令，得，故A正确； 对于B：当时，， 令，可得，故B错误； 对于C：当n为偶数时，令，可得 ， 令，可得， 得：， 则，故C正确； 对于D：时，， 则当时， 能被10整除，故D正确． 11. 已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可． 【详解】已知，则， 由. 对A：因为，所以事件与可能同时发生，故事件与不互斥，选项A错误； 对B：因为， ， 所以，所以事件与独立，选项B正确； 对C：，又， 所以，选项C正确； 对D：因为事件与互斥，事件与独立， 所以，选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随机变量X的数学期望，则________． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有，， 则，， 由， 故所求的系数为. 14. 已知向量，且，满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】借助绝对值三角不等式计算即可得. 【详解】由绝对值三角不等式可得， 故 ，即 ，当且仅当或时取等，故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取5名同学去采集自然标本，设抽取的人中女生有名． （1）求抽取的人中至多有1名女生的概率． （2）设抽取的人中女生有名，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求概率，再根据互斥事件的概率加法公式求解； （2）根据古典概型求出每一个可能取值的概率，进而得出分布列，然后根据期望公式求解. 【小问1详解】 抽取的人中没有女生的概率为， 抽取的人中有1名女生的概率为， 抽取的人中至多有1名女生的概率为. 【小问2详解】 的取值可能为， ， ， ， ， ， 的分布列如下： . 16. 钠离子电池是我国新能源储能领域的核心攻关方向之一，某科研团队为优化电池循环寿命，在传统电解液配方与新型复合电解液配方下各取20组电池进行加速寿命实验，记录每组电池循环寿命是否达到“长寿命”标准（循环次数次为长寿命，否则为短寿命），整理得到如下列联表： 长寿命（次） 短寿命（次） 合计 传统配方 9 11 20 新型配方 15 5 20 合计 24 16 40 （1）能否有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关？ （2）用频率估计概率，从采用新型配方的量产电池中随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组数为，求的数学期望和方差． 参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.010 0.001 2.072 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）没有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关. （2），. 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验来判断电池“长寿命”与电解液配方是否有关，计算出，得到小于，从而得到结论. （2）求出从采用新型配方的量产电池中随机抽取1组样品，该组为“长寿命”的概率，随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组数为，则，利用二项分布的期望和方差公式求解. 【小问1详解】 ， ， 故没有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关. 【小问2详解】 从采用新型配方的量产电池中随机抽取1组样品，该组为“长寿命”的概率为， 随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组数为，则， 则X的数学期望为，方差为. 17. 在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求证：； （2）若的平分线交于，，，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边转化为角可得，由内角和定理和两角和与差的正弦公式，结合角的范围即可求解； （2）由，为锐角，可得，由结合即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理， 可得， 因为， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递增， 所以，即； 【小问2详解】 因为，为锐角， 所以，， 依题意有， 由（1）可知， 所以， 又因为，所以， 化简得， 两边同除以可得， 所以. 18. 近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入（亿元） 经济收益（亿元） （1）的平均数记为，证明： （2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．） （3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益． 参考数据：，． 附：相关系数，线性回归方程的斜率. 【答案】（1）证明见解析 （2），具有较强的线性相关程度． （3）关于的线性回归方程为，预测研发投入亿元时的经济收益为亿元． 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式展开，再根据平均数定义，即，对展开后的式子进行化简，最终推导出目标等式； （2）先计算的均值，再分别求出、与交叉项，代入相关系数公式计算，最后根据与的大小关系判断线性相关程度； （3）利用已求出的交叉项与计算回归系数，再根据求出截距，得到回归方程，最后将代入方程，计算并得到预测的经济收益值． 【小问1详解】 已知，即， ， 所以； 【小问2详解】 ，， ，， ， 又因为， 所以 所以研发投入与经济收益之间具有较强的线性相关性． 【小问3详解】 ，则， 所以关于的线性回归方程为， 将代入线性回归方程，得， 所以预测研发投入亿元时的经济收益为亿元． 19. 甲，乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两分的一方鴍得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． （1）若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当时， （i）若比赛最多进行6局（若到第6局时未分出胜负，也结束比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用，表示），无需写出过程． 【答案】（1） （2）（i）分布列见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）明确四局比赛后甲学员赢得比赛的具体情况，然后根据独立事件概率乘法公式进行运算即可求解； （2）（i）先确定X的所有可能取值，在计算每个取值对应的概率即可求得分布列，再根据期望公式计算期望即可. （ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，根据当甲，乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同结合即可求出. 【小问1详解】 4局比赛结束后甲学员赢得比赛，甲乙学员的得分情况为2：0，3：1， 若甲乙学员得分情况为2：0，概率， 若甲乙学员得分情况为3：1，概率， 所以4局比赛结束甲学员赢得比赛的概率为． 【小问2详解】 （i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即， 由题意得X的所有可能取值为2，4，6，则， ， ， 所以X的分布列为： X 2 4 6 P 所以X的期望， 因为，所以，当且仅当时，等号成立．所以， 所以． 故的最大值为； （ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，当甲，乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同， 所以， 所以，即， 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $