11.2 全等三角形 培优作业 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

**基本信息** 初中数学全等三角形同步练习，通过“夯基础”“练能力”分层设计，实现从单一判定/性质到综合应用的知识进阶，培养推理意识与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|全等三角形判定方法（SSS、SAS、ASA等）及性质基础应用|以选择、填空、简单证明为主，如判定条件辨析题，巩固基础考点| |练能力|判定与性质综合、动态几何、半角模型等复杂问题|含多问解答题，如动态点运动问题，提升推理与创新能力|

第十一章三角形的证明及其应用 2 全等三角形 第1课时 全等三角形的判定 夯基础 1.根据下列条件能画出唯一确定的△ABC 的是 ( ) A. AB=4,BC=3,∠A=30° B. AB=3,BC=4,AC=8 C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4 D.∠A=50°,∠B=60°,∠C=70° 2.一个三角形的三边长为5，x，14，另一个三角形的三边长为5，10，y，如果由“SSS”可以判定两个三角形全等，则x+y的值为( ) A.15 B.19 C.24 D.25 3.如图,已知AE=AC,∠C=∠E,下列条件中,无法判定△ABC≌△ADE 的是( ) A.∠B=∠D B. BC=DE C.∠1=∠2 D. AB=AD 4.如图,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC 和△FED 全等时,下面的 4 个条件中:①AE=FB ②AB=FE ③AE=BE ④BF=BE.其中可利用的是( ) A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或④ 5.如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 6.如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,且AB=AC,要说明△ABE≌△ACD. (1)若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件是 ； (2)若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件是 . 7.教材中有如下一段文字： 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)全等. 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等.请你判断小明的说法 (填“正确”或“不正确”). 8.如图,AC∥DF,∠B=∠DEF,BE=CF,求证:△ABC≌△DEF. 9.如图,∠A =∠B,点 D 在 AC 边上,AE 和BD 相交于点 O. (1)若∠2=36°,求∠AEB 的度数; (2) 若 ∠1 = ∠2, AE = BE, 求 证:△AEC≌△BED. 10.如图，已知AB=CD,点 E,F 在线段BD 上,且AF=CE. 请从①BF=DE ②∠BAF=∠DCE ③AF=CF 中.选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE. 你添加的条件是 (只填写一个序号).添加条件后，请证明AE∥CF. 练能力 11.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点 E,F 分别在边AB,AD 上, AE = AF, CE = CF,连接AC. (1)求证:AC 平分∠DAB; (2)若AB=8,CD=6,求四边形ABCD 的面积； (3)猜想∠DAB+∠ECF 与∠DFC 之间的数量关系，并证明你的猜想. 12.如图,已知△ABC 中,AB =AC=10 cm,BC=8cm,点 D 为AB 的中点.如果点 P在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向 A 点运动. (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过1秒后,△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； (2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 在某一时刻全等? 第2课时 全等三角形的性质与判定综合 夯基础 1.如图,已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°,则∠DCE 的度数为( ) A.40° B.60° C.80° D.100° 2.油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示,伞骨 AB=AC,支撑杆OE=OF, 当O 沿 AD 滑动时,油纸伞开闭,若 ∠BAC = 130°,则∠BAD 的大小为 ( ) A.50° B.55° C.65° D.无法确定 3.如图,点 B,C,D 三点在同一直线上,且 AB = AE,AC = AD,∠BAE =∠CAD.若∠1+∠2+∠3=100°,则∠3的度数为 ( ) A.45° B.50° C.55° D.60° 4.如图所示,在△ABC 中,AC=BC,AE =CD,AE⊥CE 于点 E,BD⊥CD 于点 D,AE=7,BD=2,则 DE 的长是 ( ) A.7 B.5 C.3 D.2 5.如图所示,BC,AE 是锐角△ABF 的高,相交于点 D,若AD=BF,AF=10,CF=3,则 BD 的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图,在△PAB 中,∠A=∠B,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=40°,则∠P 的度数为 . 7.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点 A 处绕着点O 经过最低点 B，最终荡到最高点 C 处，若∠AOC=90°,OA=8.5米,水平距离 BD=4 米,则点 C 与点 B 的高度差 CE 为 米. 8.如图,AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,EF=6,BG=3,DH=4,图中实线所围成的图形的面积S 是 . 9.如图,在△ABC 中,D为AB 边上一点,E 为AC 的中点,连接DE并延长至点 F,使得 EF=ED,连接CF. (1)求证:CF∥AB; (2)若∠ABC=50°,且 AC 平分∠BCF,求∠A 的度数. 10.如图,在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中,AB = AD,AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,连接 BD,CE,二者相交于点 H.判断 BD 与CE 的关系，并说明理由. 练能力 11. “山高水阔知何处?巧构全等觅飞痕”.如图所示，两条互相垂直的数轴相交于O，点 A 在x 轴正半轴上距离点O 6个单位长度处，点 B 是点O 下方y 轴上一动点,连接 AB,过点 A 作AC⊥AB,若AC=AB,点 M 在x 轴负半轴上距离点O 1个单位长度处，连接CM，CM的最小值为 个单位长度. 12.如图1,在四边形 ABCD 中, AB = AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是：延长 FD到点 G,使 DG=BE,连接 AG,先证明△ABE ≌ △ADG,再证明 △AEF ≌△AGF,即可得出 BE,EF,FD 之间的数量关系，他的结论应是 .像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型. 拓展:如图2,若在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B +∠D =180°,E,F 分别是边BC,CD 上的点,且 则BE,EF,FD 之间的数量关系是 .请证明你的结论. 第1课时 全等三角形的判定 1. C 2. C 3. D 4. A 5. C 6.(1)∠B=∠C (2)∠AEB=∠ADC(或∠BEC=∠BDC) 7.不一定 正确 8.证明:∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,∴BC=EF. ∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F,在△ABC 和△DEF 中. ∴△ABC≌△DEF(ASA). 9.解:(1)∵∠AOD=∠BOE,∠A=∠B,∴∠AEB=∠2=36°; (2)证明:由(1)得∠1=∠2=∠BEO,∴∠BED=∠AEC, 在△AEC 和△BED 中, ∴△AEC≌△BED(ASA). 10.解: 当选 择 ① BF = DE 时,△ABF ≌△CDE,证明如下: 在△ABF 和△CDE中, ∴△ABF≌△CDE(SSS), ∴∠B=∠D. ∵BF=DE, ∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF,在△ABE 和△CDF 中, ∴△ABE≌△CDF(SAS), ∴∠AEB=∠CED,∴AE∥CF; 当选择②∠BAF=∠DCE 时,△ABF≌△CDE,证明如下: 在△ABF 和△CDE中, ∴△ABF≌△CDE(SAS), ∴∠B=∠D,BF=DE. 同①可证△ABE≌△CDF(SAS), ∴∠AEB=∠CFD,∴AE∥CF; 当选择③AF=CF 时,不能判定△ABF≌△CDE. 11.解:(1)证明:∵在△ACE 和△ACF中, ∴△ACE≌△ACF(SSS), ∴∠CAE=∠CAF,∴AC平分∠DAB; (2)∵△ACE≌△ACF,∴∠AEC=∠AFC, ∴∠CEB=∠CFD, 在△BCE 和△DCF 中, ∴△BCE≌△DCF(AAS), ∴BE=DF,BC=DC=6, ∴AD=AF+DF=AE+BE=AB=8,∴ 四 边 形 ABCD 的 面 积 = S△ABC + (3)∠DAB+∠ECF=2∠DFC, 理由如下： ∵△ACE≌△ACF, ∴∠ACE=∠ACF. 又∵∠CAE=∠CAF, ∴∠DAB+∠ECF=(∠CAE+∠CAF)+(∠ACE + ∠ACF) = 2 (∠CAF +∠ACF)=2∠DFC. 12.解:(1)结论:△BPD 与△CQP 全等. 理由:经过1秒后,PB=3cm,PC=5cm ,CQ=3cm. ∵AB=10cm,D 为AB 的中点, ∴BD=PC=5cm. ∵△ABC中,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∴在△BPD 和△CQP 中, ∴△BPD≌△CQP(SAS); (2)设点 Q 的运动速度为x(x≠3) cm/s,经过t s,△BPD 与△CQP 全等,则 PB =3t cm,PC=(8-3t) cm,CQ= xt cm, ∵AB=AC,∴∠B=∠C. 有两种情况： ①当BD=PC且BP=CQ时,8-3t=5且3t= xt,解得x=3,∵x≠3,∴舍去此情况;②BD=CQ 且BP=PC时,5= xt 且3t=8-3t,解得 故若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为 时，能够使△BPD 与△CQP 在某一时刻全等. 第 2 课时 全等三角形的性质与判定综合 1. C 3. B 4. B 5. C2. C 6.100°7.4.58.50 9.解:(1)证明:在△AED 和△CEF 中, ∴△AED≌△CEF(SAS), ∴∠A=∠ACF, ∴CF∥AB; (2)∵CF∥AB, ∴∠A=∠ACF,∠ABC+∠BCF=180°. ∵∠ABC=50°, ∴∠BCF=130°. ∵AC平分∠BCF, ∴∠ACB=∠ACF=65°, ∴∠A=∠ACF=65°. 10.解:BD=CE,BD⊥CE,理由如下： ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD 和△ACE 中, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE,∠ADB=∠AEC. ∵∠AEC+∠CED+∠ADE=90°, ∴∠ADB+∠CED+∠ADE=90°, ∴∠BDE+∠CED=90°, 90°,∴BD⊥CE, 综上所述,BD=CE,BD⊥CE. 11.6 解析:如图,过点C作CD⊥x轴于点D, 由题意得A(6,0), ∵∠ACD + ∠CAD = 90°, ∠BAC =∠CAD+∠BAO=90°, ∴∠ACD=∠BAO, 在△ACD 和△BAO 中, ∴△ACD≌△BAO(AAS),∴CD=AO. ∵A(6,0),∴CD=AO=6, ∴点 C 在平行于x轴且与x 轴距离为6 的直线上运动，当CM 垂直于这条直线时，CM 最短,此时CM=CD=6. 12.解:EF=BE+FD; 拓展:EF=BE+FD, 理由:如图所示,延长 FD 到点G,使 DG=BE,连接AG, ∵ ∠B + ∠ADC = 180°, ∠ADC +∠ADG=180°,∴∠B=∠ADG,在△ABE 和△ADG中, ∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,DG=BE,∠BAE=∠DAG. ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF, ∴∠EAF=∠GAF, 在△EAF 和△GAF 中, ∴△EAF≌△GAF(SAS),∴EF=FG. ∵FG=DG+FD=BE+FD, ∴EF=BE+FD. 学科网（北京）股份有限公司 $