6.3　三元一次方程组及其解法（课件）2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组的概念及解法，通过小明纸币问题导入，引导学生分析数量关系，关联二元一次方程组知识，搭建从二元到三元的学习支架，助力知识自然过渡。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，如勇士队比赛问题抽象为方程组强化抽象能力，解法教学通过消元步骤培养数学思维体现推理与运算能力，例题与判断练习结合提升模型意识。学生能提升问题解决能力，教师可依托结构化内容提高教学效率。

*6.3　三元一次方程组及其解法 第6章　一次方程组 初中数学华东师大版（2024）七年级下册 学习目标 1.了解三元一次方程组的概念，会解简单的三元一次方程组.(重点) 2.针对方程组的特点，选择最合适最简便的解法.(难点) 新课导入 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张. 问1：想一想题干中有哪些数量关系？ 1元纸币张数＋2元纸币张数+5元纸币张数＝总张数 1元纸币金额＋2元纸币金额+5元纸币金额＝总金额 1元纸币张数＝ 2元纸币张数×4 问2：可以怎样设未知数列出方程？ 讲授新课 在第6.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数。 在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 知识点1 三元一次方程组的概念 4 这个问题可以用多种方法（算术法、列出一元一次方程或 二元一次方程组）来解决。 小明同学提出了一个新的思路： 问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛中胜， 平，负的场数分别为x，y，z，又将怎样呢？ 知识点1 三元一次方程组的概念 新课讲授 知识点一 三元一次方程组的概念 解：设1元纸币x张，2元纸币y张，5元纸币z张. x＋y＋z=12 x＋2y＋5z=22 x=4y 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 如何求解三元一次方程组？ 新课讲授 【三元一次方程组的定义】 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且方程组中有两个或两个以上的方程（一般情况下，是三个方程），像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【命名解读】 ①三元：共含有三个未知数； ②一次：每个方程中含未知数的项的次数都是1． eg： 问题1　在6.1节中，我们应用二元一次方程组，可以求出勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 提示　如果设这个队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为x，y，z， 列出方程组得 问题2　该方程组有什么特点？ 提示　在这个方程组中，x＋y＋z＝10 和 x＝y＋z 都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1. 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组. 知识梳理 分析：审题，可得数量关系. 胜的场数+平的场数+负的场数=10 胜的得分+平的得分+负的得分=18 胜的场数=平的场数+负的场数 知识点1 三元一次方程组的概念 分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写 成方程组的形式，得 知识点1 三元一次方程组的概念 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 新课讲授 【三元一次方程组需要满足的3个条件】 ①方程组中的每个方程都是整式方程； ②方程组中共含有三个未知数； ③每个方程都是一次方程． 【注意点】 方程组中的每个方程都是一次方程，但不一定都是三元一次方程，方程组中共计含有三个未知数即可 eg：也是三元一次方程组 练一练 议一议1：下列方程中是三元一次方程组的有_________个 (1)；(2)；(3)； (4)。 (2)×，y+2yz=1不是一次方程； (4)×，y+=1不是整式方程； (1)×，多了一元； 1 (3)√； 　　　请你判断下列方程组是不是三元一次方程组. (1)　　　 　 (2) (3) (4) 解　(1)(2)是三元一次方程组；(3)中每个方程中含未知数的项的次数不是1，故不是三元一次方程组；(4)中少了一个方程，不是三元一次方程组. 例1 在这个方程组中，x+y+z=10和x=y+z都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程. 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组. 知识点1 三元一次方程组的概念 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 知识点2 解三元一次方程组 新课讲授 知识点二 三元一次方程组的解法 思考：如何解三元一次方程组： 【回顾】解二元一次方程组的关键是什么？ 二元一次方程组 一元一次方程 以此类推~ 消元法 （先消去一个元） 三元一次方程组 消元法（先消去一个元） 【结论】解三元一次方程组的关键也是消元法 新课讲授 【分析】选择一个未知数去消元——以消去y为例 由②-①得：2x-z=25……④， 联立③、④得：， 将③代入④得：2(4z+2)-z=25， 解得：z=3， 将z=3代入③得：x=14， 将代入①得：14+y+3=22， 解得：y=5， ∴原方程组的解为. 问题3　该如何解这个方程组呢？ 提示　像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”再求解. 将③分别代入①②，得 解由④⑤组成的二元一次方程组，得y＝3，z＝2， 把y＝3，z＝2代入③，得x＝5， 所以原方程组的解是 　　　　解方程组： 解　将③分别代入方程①和②，得 整理，得 解这个二元一次方程组，得 将y＝2代入③，得x＝8， 所以这个三元一次方程组的解为 跟踪训练1 解方程组   x=5， y=3， z=2. 知识点2 解三元一次方程组 把y=3, z=2代入③，得x=5. 所以原方程组的解是 例1 解方程组： 解：由方程②，得z=7-3x+2y. ④ 代入④，得z=7-3-6=-2.         知识点2 解三元一次方程组 新课讲授 【消元法解三元一次方程组的一般步骤】 （1）代入/加减消元：利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）求值：解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值； （3）代回：把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程，求出第三个未知数的值； （4）写解：把求得的x、y、z的值用“{”联立起来，就是方程组的解． 　　　(课本P43例2)解方程组： 解　③－②，得3x＋6z＝－24， 即x＋2z＝－8. ①×3＋②×4，得 17x－17z＝17， 即x－z＝1. 得方程组 例3 解得 把x＝－2，z＝－3，代入方程②，得y＝0. 所以原方程组的解是 概括 这里，我们用的是代入消元法：先由方程②，用含x,y的代数式表示z，再分别代入方程①和③，消去未知数z，转化为只含有x、y的二元一次方程组求解. 能否先消去x（或y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？ 知识点2 解三元一次方程组 解：③-②，得3x+6z=-24，即x+2z=-8.       ①×3+②×4，得17x-17z=17，即x-z=1. 将x=-2，z=-3代入方程②，得y=0. 通过“加减”，先消去y，得到关于x、z的二元一次方程，然后解方程组！ 知识点2 解三元一次方程组 例2 解方程组： 反思感悟 (1)解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程； (2)要根据方程的特点，选择先消去哪一个未知数； (3)灵活选择解法，有的用代入法、有的用加减法. 课堂小结 【三元一次方程组的定义】 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且方程组中有两个或两个以上的方程（一般情况下，是三个方程），像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【命名解读】 ①三元：共含有三个未知数；②一次：每个方程中含未知数的项的次数都是1． 【三元一次方程组需要满足的3个条件】 ①方程组中的每个方程都是整式方程； ②方程组中共含有三个未知数； ③每个方程都是一次方程． 课堂小结 三元一次方程组 定义 含未知数的项的次数都是 1 含有 3 个未知数 解答思路 化“三元”为“二元” 一共有三个方程 谢谢 $